高中数学《第三章空间向量与立体几何小结》45PPT课件

5 A. 5
5 B. 3
5 C. 6
5 D. 4
设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向
量A→B1＝(－2,2,1)，B→C＝1 (0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈A→B1，B→C1〉
0＋4－1 4＋4＋1× 0＋4＋1＝
(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q－AC－D 的余弦值为 36？ 若存在，求出QPQD的值；若不存在，请说明理由. 解答
当堂检测
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平
面α所成的角等于 答案 解析
A.120°
B.60°
√C.30°
D.60°或30°
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量， 则二面角的大小θ满足|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ，二面角的平面角大小
是向量n1与n2的夹角(或其补角).
知识拓展
利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝ |A→B|＝
A.15
B.2 5 5
√C. 55
D.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2 2，E为CC1的中 点，则直线AC1到平面BDE的距离为 答案 解析
A.2
B. 3
C. 2
√D.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
15＝
5 5
，故选A.
题型一 求异面直线所成的角 例1 (2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形， ∠ABC ＝ 120° ， E ， F 是 平 面 ABCD 同 一 侧 的 两 点 ， BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； 证明
跟踪训练1 如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′， 已 知 点 H 在 A′B′C′D′ 的 对 角 线 B′D′ 上 ， ∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小. 解答
题型二 求直线与平面所成的角
例2 (2016·全国丙卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底 面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB； 证明
故
cos〈A→E，C→F〉＝
A→E·C→F →→
＝－
|AE||CF|
3 3.
3， 22.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为 3. 3
思维升华
用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 解答
如图，以 G 为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为 x 轴，y 轴正方向，
|G→B|为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz，由(1)可得 A(0，－ 3，0)，
E(1,0， 2)，
F－1，0，
22，C(0，
3，0)，
所以A→E＝(1， 3， 2)，C→F＝－1，－
跟踪训练4 (2Biblioteka 16·四川成都外国语学校月考)如图所示， 在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝ PD＝ 2 ，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD， AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点. (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值； 解答
(2)求B点到平面PCD的距离； 解答
答案
解析
A.30°
B.60° C.120°
D.150°
设 l 与 α 所成角为 θ，∵cos〈m，n〉＝－12， ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12， ∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选A.
3.(2016·郑州模拟)如图，在空间直角坐标系中有直三
棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直 线AB1所成角的余弦值为 答案 解析
§3.2（小结）立体几何中的向量方法(二)——求空间角 和距离
成都市龙泉中学
李琴
知识梳理
1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
范围 求法
l1与l2所成的角θ π
(0， 2 ]
|a·b| cos θ＝ |a||b|
a与b的夹角β [0，π] cos β＝|aa|·|bb|
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为 |a·n|
θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝ |a||n| .
3.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈A→B，C→D〉 .
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 . (2)点到平面的距离 如平面图α所的示距，离已为知|B→AOB|＝为平|A→B面·nα|的.一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到
|n|
考点自测
1.(2017·烟台质检)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， 则两平面所成的二面角为 答案 解析
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 解答
思维升华
利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个 方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所 夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
跟踪训练2 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1， AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥ 平面BCD，如图所示. (1)求证：AB⊥CD； 证明
题型四 求空间距离
例4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3 ，求 点A到平面MBC的距离. 解答
思维升华
求点面距一般有以下三种方法： (1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)等体积法； (3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.
设直线l与平面α所成的角为β，直线l与平面α的法向量的夹角为γ. 则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝ 1 .
2 又∵β∈[0°，90°]，∴β＝30°，故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.(2016·广州模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个
1 A.2
√B.23
3 C. 3
2 D. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.(2016·长春模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线
PA与平面DEF所成角的正弦值为 答案 解析
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD， AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值. 解答
题型三 求二面角 例3 (2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的 直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线. (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
证明
(2)已知 EF＝FB＝12AC＝2 3，AB＝BC，求二面角 F-BC-A 的余弦值.
解答
思维升华
利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然 后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱 垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二 面角的大小.
二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，
CD＝2 17，则该二面角的大小为 答案 解析
A.150°
B.45°
√C.60°
D.120°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平 面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 答案 解析
跟踪训练3 (2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB 的中点，AB＝BE＝2. (1)求证：EG∥平面ADF； 证明
(2)求二面角O—EF—C的正弦值； 解答
(3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH＝23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角 的正弦值. 解答
A.45° C.45°或135°
B.135° D.90°
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝1×1 2＝ 22， 即〈m，n〉＝45°. ∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，
n〉＝－
1 2
，则l与α所成的角为