(好题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则
1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫
-+++- ⎪⎝⎭
的最小值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．3
2．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4
B ．25
C ．325+
D ．6
3．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为
1
2
．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）
A ．14
-
B ．12
-
C ．0
D ．
12
4．如图，在ABC 中，1
3
AN NC =
，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，则实数m 的值为( )
A ．
19
B ．
13
C ．1
D ．3
5．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
34
D ．
32
6．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点
E 位于线段OD 上，若3
4
OE EA ⋅=
，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．
1
2或32
B ．1
C ．1或
1
2
D ．
32
7．已知平面向量a 与b 的夹角为23
π
，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3
B ．4
C 3
D ．2
8．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
9．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）
A ．
13
B ．26
C 6
D ．
22
3
10．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）
A ．⎡⎣
B ．⎣
C ．⎤⎦
D ．[]0,3
11．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，
(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）
A ．
56
π
B ．
23
π C ．
3
π D ．
6
π 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；
③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
二、填空题
13．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若
3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________
14．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，1
4DQ DC λ
=，则AP BQ ⋅的最大值为______.
15．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21
x y
+的最小值是__________.
16．已知圆22:1O x y +=，A 点为圆上第一象限内的一个动点，将OA 逆时针旋转90°得
OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．
17．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.
18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点
5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.
19．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为
1S ，ABC ∆的面积为2S ，则
1
2
S S =______. 20．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2
b 的最大值是_______.
三、解答题
21．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-． （1）若点A ，B ，C 三点共线，求x 的值；
（2）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求x 的值． 22．已知||6a =，||4=b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-. （1）求向量a ，b 的夹角θ； （2）求|3|a b +.
23．已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），()2,5OA =，()3,1OB =，(),3OC x =． （1）若A ，B ，C 共线，求x 的值；
（2）当6x =时，直线OC 上存在点M 使MA MB ⊥，求点M 的坐标． 24．设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当4
3
θπ=
时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b ，求
2
2cos 1
2
24θ
πθ-⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭的值．
25．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值；
（2）x 为何值时，xa b -与3a b 垂直？
26．已知||1a =，||2b =
.
（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】
设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，
则1
cos 2
θ=，因为0θπ≤≤ 所以3
π
θ=
，
记a OA =，b OB =,
以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，
则()2,0A ，(B ，
所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，
()
(1)2x a xb x -+=-，
所以((1)2x a xb x -+=
-=
，
表示点()
P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=
113
222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫
+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=-
⎪ ⎝⎭，
表示点()
P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭
两点间的距离，
∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫
-+++- ⎪⎝⎭
的最小值转化为
P 到,A Q 两点的距离和最小，
()
P x 在直线y =上，
()
2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，
PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题
的关键是将向量的模转化为点()
P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭
两点间的距离，考查了运算求解能力.
2．B
解析：B 【分析】
利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用
平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】
因为1a a b =-=， 所以2
2
2
2
2cos ,1a a b
a a
b a b b =-=-〈〉+=，
则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则(
)
2
3232a b a b
-=
-
2
2
124a a b t b =-+
== ()
2
2
2
2a b a b a a b t b +=
+=++
418t t =+=+，
所以29832a b a b t -+-=+，
利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，
≤
=，
=
此时t =.
则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】
思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到
29832a b a b t -+-=+，最后利用基本不等式即可解决.
3．C
解析：C 【分析】
记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1
cos 2
a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】
记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2
a θ=， ∵()()
2a b a b λ+⊥-，
∴()(
)
()2
2
13
22221(2)022
a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅
==， 故0λ=， 故选：C ． 【点睛】
结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a b
θ⋅=；
（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．
4．A
解析：A 【解析】
因为2299AP m AB BC ⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭29mAB AC =+，设BP tBN =，而31
()()(1)44
AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-
=-+，所以1m t =-且249t =，故81
1199
m t =-=-=，应选答案A ． 5．A
解析：A 【分析】
分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得
OD OE λ=-，进而可得1
3
OAC AEC S S =△△，即可得解.
【详解】
分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，
所以DE 是ABC 的中位线，
因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()
OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，
所以111
363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，
所以13OD ED =
即12OD OE =-，所以12
λ-=-即12λ=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】
Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2
AOB π
∠=
，
∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，
建立平面直角坐标系，如图所示； 则)
5,0A
、(025B ，、设(),D m n ，
则OAD BAO ∽，∴OA AD
AB OA
=， ∴1AD =，∴1
5
AD AB =， 即()(
155,255m n =
-，，求得55
m =， ∴452555D ⎛
⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 45255,EA ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎭
；
∵3
4
OE EA ⋅=
，
∴2
34⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭
， 解得34
λ=
或1
4λ=；
∴向量EA 在向量OD 上的投影为))411ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
当3
4
λ=
时，12ED ⎛== ⎝⎭；当1
4λ=时，3
2ED ==⎝⎭
． 即向量EA 在向量OD 上的投影为
1
2或32
，故选A. 7．A
解析：A 【解析】
分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23
π
， 由2213a b -=，则2
2
2222444442cos
523
a b
a b a b b b π
-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2
120b b +-=，解得3b =，故选A.
点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．D
解析：D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
9．C
解析：C 【分析】
由题意结合平面向量数量积的运算可得1
3
a b ⋅=，进而可得()
b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】
因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()
()
2
2
2a b
a b +=-
所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，
所以1
3
a b ⋅=，则(
)
2
26
3
a b a b
+=
+
=
，()
243a a b a a b ⋅+=+⋅=，
所以a 在a b +上的投影为
(
)4
326a a b a b
⋅+=
=
+ 故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】
∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，
∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1
()2
DE DA DB =
+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则
()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，
DE DF ⋅1()(1)2
DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣
⎦ []1
22(1)24(1)3(1)2
x x x x x =
-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC
=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．
11．B
解析：B 【分析】
由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】
(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，
()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，
整理得222c a b ab =++. 又
2221
2cos ,cos 2
c a b ab C C =+-∴=-.
()20,,3
C C π
π∈∴=.
故选：B. 【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.
12．B
解析：B 【分析】
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】
对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，
则存在唯一的实数2λ，使得2λb
c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得
12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所 解析：
1314
【分析】
以AB ，AC 为邻边作平行四边形
ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到
3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =，利用勾股定理分别求得EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求
解. 【详解】 如图所示：
以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-，
所以3AD CB =，设3CB =3AD =， 因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形， 所以CB AD ⊥，
所以2
2
3333,223AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以2
2
3321263AE AF ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
2
2
2
21211
13993cos 214
21212AE AF EF EAF AE AF +-
+-∠===⋅⋅.
故答案为：13 14
【点睛】
本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
14．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾
函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下
所示图形：∵∴又P和Q分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可
解析：
5
4
【分析】
由题可知
1
1
4
CQ DC
λ
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，据平面向量的混合运算法则可化简得到
117
5
24
AP BQλ
λ
⋅=+-；设函数()117
5
24
fλλ
λ
=+-，
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，由对勾函数的性
质推出()
fλ在
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
上的单调性，求出最大值即可得解.
【详解】
根据题意，作出如下所示图形：
∵BP BC
λ
=，
1
4
DQ DC
λ
=，∴
1
1
4
CQ DQ DC DC
λ
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
，
又P和Q分别在线段BC和CD上，
∴
01
1
01
4
λ
λ
≤≤
⎧
⎪
⎨
≤≤
⎪⎩
，解得
1
,1
4
λ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
.
()()()11
4
AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DC
λ
λ
⎡⎤
⎛⎫
⋅=+⋅+=+⋅+-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
2
11
11
44
AB BC AB DC BC BC DC
λλ
λλ
⎛⎫⎛⎫
=⋅+-⋅++-⋅
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
11117 22cos120121cos04121cos1205
4424
λλλ
λλλ
⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
设函数()117524f
λλλ=
+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
由对勾函数的性质可知，()f λ在1,410⎡⎢⎣⎭上单调递减，在,110⎛⎤
⎥ ⎝⎦
上单调递增， ∵114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()514f =，
∴()()max 514
f
f λ==
，即AP BQ ⋅的最大值为54.
故答案为：5
4
. 【点睛】
本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．
15．9【分析】根据可得然后根据利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向量且又均为正数当且仅当即时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和转化思想属于中档题
解析：9 【分析】
根据a b ⊥，可得21x y +=，然后根据()21212x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
利用基本不等式可求出最
小值． 【详解】 解：
向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥
∴21(1)0a b x y =+-=，
21x y ∴+=，又x ，y 均为正数，
∴
()222255292121y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当
22y x x y =，即1
3
x y ==时取等号， ∴
21
x y
+的最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】
本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
16．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积
的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2
【分析】
由题意可设(cos ,sin )A αα，02
π
α<<
，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量
积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围； 【详解】
由题意，设(cos ,sin )A αα，02
π
α<<
，则(sin ,cos )B αα-，即有
(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，
∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 12)1
4
PA PB π
ααααααα⋅=---+=-+=-+，而(,)444π
ππ
α-
∈-，即2
sin()4πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈， 故答案为：()0,2 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；
17．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：2
13
+
【分析】
根据向量线性关系的几何应用有12 33
AD AB AC
=+，令
DE
k
DF
=结合已知条件有11
x ky
AD AB AC
k k
=+
++
，即可列方程组，得到关于k的表达式表示x + y，最后由基本不等式即可求得最小值
【详解】
由题意，连接AD可得如下示图
∵在△ABC中BD＝2DC ，即有
12
33
AD AB AC
=+
若令
DE
k
DF
=，则有
1
11
k
AD AE AF
k k
=+
++
又AE＝x AB，AF＝y AC（x＞0，y＞0）
∴
11
x ky
AD AB AC
k k
=+
++
即
1
13
2
13
x
k
ky
k
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
有
1
(1)
3
21
(1)
3
x k
y
k
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(0)
k>
∴2222
111
3333
k k
x y
k k
+=++≥⋅=+2
k=
min
22
()1
3
x y
+=+
故答案为：
22
1+
【点睛】
本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值
18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个
思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基
解析：5
8
【分析】
将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2
223
,82
7FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】
因为2222
11436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2
2
11114223234FD BC
BF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，
因此2223
,827FD BC ==，
2
2
2
2
11416.22445
8
ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===
故答案为：58
. 【点睛】
研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
19．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在
解析：1
6
【分析】
将230OA OB OC ++=化为()
2OA OC OB OC +=-+，再构造向量
()
1
2
OA OC +和()
1
2
OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S
【详解】
因为230OA OB OC ++=，所以()
2OA OC OB OC +=-+，
分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，
则13OBC DBC S S ∆∆=
，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以1
6
OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16
【点睛】
本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.
20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最 521
+ 【分析】
设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，
22
(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2
22
2
(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，
2
2
2
2
(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令2
1,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.
【详解】
设2a b c =-，2b d a =-，
由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒， 所以cos120c d c d ⋅=︒，①
且2
2
(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，②
222
2(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2
2
2
2
(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④
因为11,cos1202
a =︒=-
，
联立①②③④，2
2222
44104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，
令2
1,m b n a b =+=⋅，
即410m n -=
2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--，
整理得2228204330n mn m m -+-+=，
将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有2
2
(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，
整理得2770m m -+≤，解得
7722
m +≤≤
因为2
1m b =+，所以2
b 的最大值是75122
++-=
，
故答案为：52
+. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下： （1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积； （2）根据向量数量积运算法则求得其结果；
（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；
（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.
三、解答题
21．（1）19x =-；（2）1x =． 【分析】
（1）由点A ，B ，C 三点共线可得AB 和BC 共线，解关于x 的方程可得答案； （2）由ABC 为直角三角形可得AB BC ⊥，即0AB BC ⋅=，解关于x 的方程可得答案． 【详解】 （1）
(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-，
∴(3,1)AB OB OA =-=，(1,6)BC OC OB x =-=--
点A ，B ，C 三点共线，∴AB 和BC 共线， 361x ∴⨯=--，解得19x =-；
（2）
ABC 为直角三角形，且B 为直角，
∴AB BC ⊥，∴3(1)60AB BC x ⋅=--+=，
解得1x =． 【点睛】
方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量
平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
22．（1）23
π
θ= （2）【分析】
()1利用平面向量数量积的分配律求出a b ⋅,然后代入夹角公式求解即可;
()2结合()1中a b ⋅的值,利用平面向量数量积的性质：()
2
2
22
2a b
a b
a a
b b
+=+=+⋅+进行运算，求出2
3a b +的值,然后再开方即可. 【详解】
∵(2)(3)72a b a b -⋅+=-,∴2
2
672a a b b +⋅-=-， ∵6a =，4b =,∴3661672a b +⋅-⨯=-, 解得12a b ⋅=-,由平面向量数量积的夹角公式得, ∴121
cos 642a b a b
θ⋅-=
=
=-⨯, ∵0θπ≤≤∴23
π
θ=
. （2）因为2
2
2
369a b a a b b +=+⋅+， 所以()2
336612916a b +=+⨯-+⨯108= ∴363a b +=. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型. 23．（1）52x =；（2）()2,1或2211,55⎛⎫
⎪⎝
⎭． 【分析】
（1）利用//AB BC ，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.
（2）设M 点的坐标为()6,3λλ，利用MA MB ⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值，进而求得M 点的坐标. 【详解】
（1）()1,4AB OB OA =-=-；()3,2BC OC OB x =-=- ∵A 、B 、C 共线，∴//AB BC ∴()2430x +-=
∴52
x =． （2）∵M 在直线OC 上，∴设()6,3OM OC λλλ==
∴()26,53MA OA OM λλ=-=--
()36,13MB OB OM λλ=-=--
∵MA MB ⊥
∴()()()()263653130λλλλ--+--=
即：24548110λλ-+= 解得：13λ=或1115
λ=. ∴()2,1OM =或2211,55OM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
． ∴点M 的坐标为()2,1或2211,55⎛⎫
⎪⎝⎭． 【点睛】
本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.
24．（1
；（2）23． 【分析】
（1）直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案.
（2）根据向量平行得到1tan 2θ=
，再化简利用齐次式计算得到答案. 【详解】
（1）43θπ=
，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以
2322
a ⎛⎫== ⎪； （2）//a
b ，则3cos 32sin 0θθ
-+⨯=，所以1tan 2θ=
， 故2
2cos 1
cos 122sin cos tan 13
4θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
25．（1）34-2）当245x =-
时，xa b -与3a b 垂直．
【分析】 （1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得
22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案.
（2）由xa b -与3a
b 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.
【详解】
（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-． 22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．
222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=
（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，
所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-
时，xa b -与3a b 垂直． 【点睛】
本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.
26．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.
【分析】
（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；
（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得；
【详解】
解：（1）由已知得2222()2121()212
a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-
+=，∴1a b +=；
b 在a 方向上的投影为||cos1352(1b ==- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即2
0a a b -⋅=∴1a b ⋅=，
∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.。