2018-2019学年江西省宜春市田南中学高三数学文联考试卷含解析

2018-2019学年江西省宜春市田南中学高三数学文联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，
，则关于的方程在上根的个数是
A．B．C．
D．
参考答案：
B
2. 已知函数,则( )
A．4 B． C．
D．
参考答案：
B
3. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直
线() A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在
参考答案：
4. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
参考答案：
B
5. 如图，正方体中，为底面上的动点，于，且
，则点的轨迹是
A.线段
B.圆弧
C.椭圆的一部分
D.抛物线的一部分
参考答案：
A
6. 设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间
为（）
A．（－4，1） B．（－5，
0） C．（） D．（）
参考答案：
B
7. 若全集，集合，，则等于（）
A．B．或
C．D．
参考答案：
B
由题意得，或，，∴或，
故选B．
8. 执行如图程序，输出的结果为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 设O在△ABC内部，且则△ABC的面积与△AOC的面积之比
为
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
10. 若共线，则k的值为（）
A.2
B.1
C.0
D.-1
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在单位圆中，，△MON为等边三角形；30°<∠POM<90°，则
sin∠POM的值为。

参考答案：
12. 设，则．
参考答案：
【考点】定积分．
【分析】根据分段函数以及定积分的法则计算即可．
【解答】解：，
则x2dx+（2﹣x）dx=|+（2x﹣）|=+（4﹣2）﹣（2﹣）=，
故答案为：
13. 的展开式中的系数是（用数字作答）
参考答案：
．
，所以的系数为
14. 函数的反函数是_____________.
参考答案：
15. 已知直线2x+my﹣8=0与圆C：（x﹣m）2+y2=4相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则m= ．
参考答案：
2或14
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，
∴圆心C（m，0）到直线2x+my﹣8=0的距离d=rsin45°，即=，
解得：m=2或14，
故答案为2或14．
【点评】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
16. 已知f（x）=，则f（f（））的值
为．
参考答案：
3e
【考点】对数的运算性质．
【专题】分类讨论；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．
【解答】解：∵＞3，
∴=log3（15﹣6）=2．
∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．
故答案为：3e．
【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题．
17. 若函数f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a的范围．
【解答】解：函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，
f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a．
当x∈[，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（）=2a+，令2a+＞0，解得
a，
所以a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，考查计算能力．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中，圆C1：x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线
l的极坐标方程为cosθ+sinθ=．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）在C2上求一点M，是点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】综合题；转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简
可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=化为：
ρcosθ+ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵后得到曲线C2，
∴，代入圆C1：x2+y2=1得：，
故曲线C2的直角坐标方程为；
直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=．
即ρcosθ+ρsinθ=10，即x+y﹣10=0，
（Ⅱ）将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，
设过M的直线为x+y+C=0，
则由得：13x2+18Cx+9C2﹣36=0，
由△=（18C）2﹣4×13×（9C2﹣36）=0得：C=±，
故x=，或x=﹣，（舍去），
则y=，
即M点的坐标为（，），
则点M到直线l的距离d=
【点评】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．
19. （12分）设函数f(x)=ln x+,m∈R.
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;
(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
参考答案：
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．B12
【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只
有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点. (Ⅲ) [，+∞）
解析：(Ⅰ)由题设,当m=e时, f(x)=ln x+,则f '(x)=,
∴当x∈(0,e), f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,
当x∈(e,+∞), f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∴x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,
∴f(x)的极小值为2.
(Ⅱ)由题设g(x)=f '(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<时,函数g(x)有两个零点.
(Ⅲ) 对任意b＞a＞0，＜1恒成立，
等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；
设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），
∴m≥；
对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；
∴m的取值范围是[，+∞）．
【思路点拨】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f
（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，
＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

20. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
若点在曲线C的参数方（为参数．）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求的范围．
(2)若射线与曲线C相交于A，B两点，求的值．
参考答案：
21. 在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为（为参数，），曲
线N的参数方程为（t为参数，且）．
（1）以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数，写出曲线N的参数方程；
（2）若曲线M与N的两个交点为A，B，直线OA与直线OB的斜率之积为，求r的值．
参考答案：
（1）将消去参数，得（未写扣一分），
由得（为参数，且）．
（2）曲线的普通方程为，
将代入并整理得：
；
因为直线与直线的斜率之积为，所以，
解得，又，，
将代入，得：，故．
23.解：
22. 如图所示，多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°
（1）求证：BC⊥AF
（2）求平面BDF与平面CDF所成夹角的余弦值．
参考答案：
（1）证明：
∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC
又∵BC⊥AC ∴BC⊥平面ACFE
又∵AF平面ACFE ∴BC⊥AF
方法二：建系后用向量证之（略）
（2）解：由已知，以C为坐标原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，连接BD交AC于O点，连接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF
∵AD＝DC＝BC＝CF＝1，∠ADC＝120°
∴AC＝BD＝，OC＝，
即B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1）
∴＝（，，－1），＝（0，1，－1），＝（0，0，－1）
设平面BDF的法向量为＝（x，y，z）
令z＝1，则y＝1，x＝，∴＝（，1，1）设平面CDF的法向量为＝（x，y，z）
令x＝1，则y＝，z＝0，∴＝（1，，0）设平面BDF与平面CDF的夹角为α。