(人教版)广州市九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）
A ．函数图象过点()1,1-
B ．函数图象与x 轴无交点
C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小
D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小 2．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 3．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（ ）
A ．32
B ．32或2
C ．32或6
D ．32
或2或6 4．已知抛物线229(0)y x mx m =-->的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M '，若点M '在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）
A ．(1,5)-
B ．(2,8)-
C ．(3,18)-
D ．(4,20)- 5．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列
说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．下列各图象中有可能是函数()20y ax a a =+≠的图象（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：
①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43
c =；其中正确的有（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．方程20ax bx c ++=的两根是121
3x x =-=， C ．20a b -=
D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．
10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ）
A ．3a 1-<<-
B ．2a 1-<<
C ．1a 0-<<
D ．2a 4<< 11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）
A ．0b <
B ．0c >
C ．0a b c ++=
D ．240b ac -< 12．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）
A ．图象开口向上
B ．对称轴是直线2x =-
C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小
D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小
二、填空题
13．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．
14．已知抛物线y ＝x 2+9的最小值是y ＝_____．
15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么
()b a b c a ++的值为______． x
… 3- 2- 0 … y … 3 1.68- 1.68-
… 16．已知二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为
___________．
17．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x 1-
0 3 y
n 3 3 _______．（填序号即可）
①0abc <；②若点()12,C y -，()2,D y π在该拋物线上，则12y y <；③4n a < ；④对于任意实数t ，总有()2496at bt a b +≤+．
18．抛物线y ＝x 2+2x-3与x 轴的交点坐标为____________________．
19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）
20．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2
220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．
三、解答题
21．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．
（1）几秒时PCQ △的面积为4？
（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由． （3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？
23．已知关于x 的方程(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0．
（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围．
（3）已知抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标
24．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？
25．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系202600y x =+．
（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
26．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC 的面积；
②抛物线上是否存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x 轴有两个交点，
故此选项错误；
C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，
∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，
故此选项错误；
D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
2．B
解析：B
【分析】
由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，
∴a ＞0；
又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，
∴c ＜0；
∴ac ＜0，即①正确；
②由图象知，对称轴x ＝2b a
-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；
④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选：B ．
【点睛】
此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．
3．C
解析：C
【分析】
依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得．
【详解】
∵()2
=+3y x h -中a=1＞0， ∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ，
解得：h= 32
； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ，
即()2
132h h -+=，
解得：h=2＞1（舍去）；
③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ，
即()2332h h -+=，
解得：h=2（舍）或h=6，
综上，h 的值为
32
或6， 故选C ．
【点睛】 本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
先利用配方法求得点M 的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M′的坐标，然后将点M′的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【详解】
解：∵22229()9y x mx x m m =--=---，
∴点M 为（m ，29m --），
∴点M′的坐标为（m -，29m +），
∴222299m m m -=++，
解得：3m =±；
∵0m >，
∴3m =；
∴点M 的坐标为：（3，18-）．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点M′的坐标是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下
∴a ＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴x=2b a
-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；
由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；
由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
6．B
解析：B
【分析】
从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．
【详解】
解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴；
当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
b 2a
=1， ∴b=-2a ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；
∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
而b=-2a ，
∴a+2a+c=0，即c=-3a ，
∴a+2b-c=a-4a+3a=0，
即a+2b=c ，所以③正确；
a+4b-2c=a-8a+6a=-a，所以④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．C
解析：C
【分析】
分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】
解：①当a＞0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y=ax2-a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
9．B
解析：B
【解析】
解：
A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故本选项错误；
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．
故选B．
根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．
10．C
解析：C
【分析】
根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．
【详解】 解：二次函数2
y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9， 0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，
设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，
∴当5x =时，0y >，
即2(52)90a -+>，解得，1a >-，
a ∴的取值范围时10a -<<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．C
解析：C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】
A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-
2b a
>0，所以b>0，故A 错误；
B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；
C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；
D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 12．C
解析：C
【分析】
由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】
解：∵2(2)7y x =---，
∵a ＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，
∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
二、填空题
13．【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题 解析：13x
【分析】
先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．
【详解】
由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，
则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，
结合图象得：当0y <时，13x
， 故答案为：13x
．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 14．9【分析】直接利用二次函数的最值问题求解【详解】解：∵y ＝x2+9∴当x ＝0时y 有最小值最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h 当a ＞0时x=ky 有
解析：9
【分析】
直接利用二次函数的最值问题求解．
【详解】
解：∵y ＝x 2+9，
∴当x ＝0时，y 有最小值，最小值为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=a （x-k ）2+h ，当a ＞0时，x=k ，y 有最小值h ；当a ＜0时，x=k ，y 有最大值h ．
15．6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1则−＝−1所以＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线
解析：6
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a
＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算
b a （a ＋b ＋
c ）的值．
【详解】
解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），
∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−
2b a ＝−1， ∴b a
＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，
∵x ＝−3时，y ＝3，
∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3， ∴
b a
（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6． 故答案为：6．
【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案 解析：()0,2
【分析】
先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案．
【详解】
二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，
即()
2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，
∴二次函数的解析式为232y x =-+，
∴其顶点坐标为()0,2，
故答案为：()0,2．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 17．①②④【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【详解】解：由图表知当x=0时y=3当x=3时y=3∴对称轴为且∴①∵∴异号故①正确；②对称轴为 解析：①②④
【分析】
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=
32，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：由图表知，当x=0时，y=3，当x=3时，y=3
∴对称轴为0+33=222
b x a =-=，且3
c =，3b a =- ∴23y ax bx =++
①∵3b a =-，3c =
∴a b ，异号，0abc <，故①正确；
②对称轴为32
x =，且当1x =-时，.y n = 将(1
)n -，代入23y ax bx =++中得3a b n -+=， ∴3a b n -=-
又∵0n <
∴-0a b <
又∵a b ，异号，
∴0a ＜，0.b >
∴23y ax bx =++的图象开口向下， ∵33|2|||22
π-->- ∴12y y <，故②正确；
③∵3b a =-， 3.a b n -=-
∴(3)3a a n --=-
∴4 3.a n =-
∴4.a n <，故③错误；
④当32
x =时，y 有最大值， ∴最大值为3492
a b c ++ ∴对任意实数t ，总有29342
at bt c a b c ++≤++， ∴24()96at bt a b +≤+，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
18．【分析】要求抛物线与x 轴的交点即令y ＝0解方程即可【详解】令y ＝0则x2+2x ﹣3＝0解得x1＝﹣3x2＝1则抛物线y ＝x2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣30）（10）故答案为：（﹣30）（10）
解析：()()3.0,1,0-
【分析】
要求抛物线与x 轴的交点，即令y ＝0，解方程即可．
【详解】
令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1．
则抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）．
故答案为：（﹣3，0），（1，0）．
【点睛】
此题考察二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即为二次函数图像与x 轴交点的横坐标．
19．①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故； 解析：①②
【分析】
根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a
-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．
【详解】
解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物
线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确
对称轴为1x =-，故有12b a
-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误
当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误
由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，
20．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围
【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点
解析：1＜a≤2
【分析】
画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．
【详解】
解：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点式为y ＝a （x ＋1）2−2，
∴函数的对称轴：x ＝−1，顶点坐标为（−1，−2），
∴M 和N 两点关于x ＝−1对称，
根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0）， 如图所示：
∵当x ＝0时，y ＝a−2，
∴−1＜a−2≤0，
当x ＝1时，y ＝4a−2＞0，
即：120420a a --≤-⎧⎨⎩
＜＞， 解得1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．
三、解答题
21．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）
【分析】
（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；
（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．
【详解】
解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，
09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；
（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212
x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，
∴MC +MA 最小，
∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，
∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，
设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，
∵B （3，0），C （0，﹣3），
∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13
k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，
当x ＝1时，132y =-=-，
∴点M （1，﹣2），
∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．
22．（1）2s 或4s ；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，
92
【分析】
（1）根据题意，利用t 表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解．
（2）利用第一问中PCQ △的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解．
（3）利用求得的PCQ △的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积．
【详解】
解：（1）由题意得：AP CQ t ==，6PC AC AP t ∴=-=-， 11(6)422
PCQ S PC CQ t t ∴=⋅=-⋅=， 2680t t ∴-+=，(2)(4)0t t --=，12t =，24t =，
∴2s 或4s 后PCQ △的面积为4．
（2）1(6)52
PCQ S t t =-=，26100t t -+=， 2(6)41040∆=--⨯=-<，方程无解，
故PCQ △的面积不能为5．
（3）1(6)2PCQ S
t t =-()216992t t =--+-219(3)22
t =--+，， ∴当3t =时，max 92
PCQ S =． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．
23．（1）证明见解析；（2）a ＞1或a ＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．
【分析】
（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方
程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；
（2）通过解(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0得到k＝2，由此得到该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，结合图象回答问题．
（3）根据题意得到(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．
【详解】
（1）证明：①当k＝1时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠1时，
∵△＝（2k-1）2﹣4x(k-1)×2＝4k2-12k+9=(2k-3)2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根
（2）解：令y＝0，则(k-1)x2+（2k-1）x+2＝0，
（x-2）[(k-1)x+1]=0
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝
1
1-k
，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴1-k＝-1，k=2．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得(k-1)x2+（2k-1）x+2﹣y＝0恒成立，
即k（x2+2x）-x2-x﹣y+2＝0恒成立，得：x2+2x=0；x1=0，y1=2；x2=-2，y2=0
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．
24．当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大．
【分析】
直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出
1
2
S AC BD
=⋅，再利用配方法求出二次
函数最值即可．
【详解】
解：设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10-x，
则：211125(10)(5)2222
S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252
， 所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．
【点睛】
本题考查二次函数的应用．理解对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．
25．（1）这种衬衫定价为70元；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元
【分析】
（1）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；
（2）求出w 的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少.
【详解】
解：（1）()()5020260024000x x --+=，
解得，170x =，2110x =，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（2）由题意可得，
()()()250202600209032000w x x x =--+=--+，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50x ≤，()505030%x -÷≤，
解得，5065x ≤≤，
∴当65x =时，w 取得最大值，此时19500w =，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元，
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答.
26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①32PBC S =△；②1P ⎝⎭，
21122P ⎛ ⎝⎭
．
【分析】
（1）将A （-1,0），B （3，0）代入y=-x 2+bx+c ，可求出答案；
（2）①先求出点C 的坐标，进而可求得直线BC 的函数关系式，再设
()2,23P m m m -++，进而可表示出点E 的坐标为(,3)E m m -+，再根据PD=3ED 列出方程求解即可；
②设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++，根据PB=PC 可得PB 2=PC 2，进而可列出方程求解即可．
【详解】
（1）抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -，()3,0B ， 22(1)0330b c b c ⎧---+=∴⎨-++=⎩
， 解得23b c =⎧⎨=⎩
∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）①在2y x 2x 3=-++中，当0x =时，3y =，
()0,3C ∴
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
则330b k b =⎧⎨+=⎩
， 31b k =⎧∴⎨=-⎩
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
若2PE ED =，则3PD ED =，
设()
2,23P m m m -++，则(,3)E m m -+， 2233(3)m m m ∴-++=-+，
即2560m m -+=，
解得12m =，23m =（舍）
当2m =时，()2,3P ，()2,1E ，
则1PE =，
131322
PBC S ∴=⨯⨯=△， ②假设存在点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
设点P 的坐标为()
2,23P m m m -++， ∵PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，
∴PB=PC ，
∴PB 2=PC 2，
∵()2,23P m m m -++，B （3，0），C （0，3），
∴（m-3）2+（-m 2+2m+3）2=m 2+(-m 2+2m+3-3)2
整理得m 2-m-3=0，
解得m 1=1132+，m 2=1132-， 当m=1132+时，-m 2+2m+3=1132
+， ∴点P 的坐标为（
1132+，1132+）， 当m=1132-时，-m 2+2m+3=1132
-， ∴点P 的坐标为（
113-，113-）， 综上所述：抛物线上存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，此时点P 的坐标为1113113,22P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，2113113,2
2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法解题的关键．。