中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习图形的变化 第讲 图形的对称、平移、旋转与位似实用

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【解答】 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°. ∵把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 30°得到线段 BP，∴PB＝BC＝AB，∠PBC＝30°， ∴∠ABP＝60°，∴△ABP 是等边三角形，∴∠BAP＝60°，AP＝AB＝2 3.∵AD＝2 3， ∴AE＝4，DE＝2， ∴CE＝2 3－2，PE＝4－2 3，过 P 作 PF⊥CD 于 F，∴PF＝ 23PE＝2 3－3， ∴S△PCE＝12CE·PF＝12×(2 3－2)×(2 3－3)＝9－5 3.
第一 部 (dìyī) 分
教材 同步复习 (jiàocái)
第七章 图形 的变化 (túxíng)
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第28讲 图形的对称(duìchèn)、平移、旋转与位似
知识要点 ·归纳
知识点一 图形(túxíng)的对称 1．轴对称与轴对称图形(túxíng)
轴对称图形
轴对称
图形
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3.位似
如果两个图形不仅是⑩__相_似__(_xi_ān_ɡ_sì_)图，形而且对应顶点的连线相交于⑪_一__点__(_yī，diǎn) 概念 像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做⑫__位_似__中__心___，此时的相似比
又称为⑬__位_似__比_____ (1)位似图形的⑭__对__应__(d_u_ìyì_ng_)角相等，⑮__对__应_边_____成比例； (2)位似图形对应点的连线所在的直线相交于一点，即经过位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； 性质 (4)位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于位似比，面积比 等于位似比的平方； (5)在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，位似比为k， 那么位似图形对应点的坐标比为k
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′， 点C与点C′
区别
(1)具有某种性质的一个图 形． (2)对称点在一个图形上
(1)反映两个图形的位置关系． (2)对称点分别在两个图形上
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中心对称图形
中心对称
联系
(1)如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个 整体是中心对称图形． (2)如果把中心对称图形的两部分看成是两个图形，那么它们成中 心对称
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重难点3 网格(wǎnɡ ɡé)中的变换作图 重点 例4 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长
度，△ABC在平面直角坐标系中的位置(wèi zhi)如图所示． (1)将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出
△A1B1C1； (2)作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2； (3) 将 △ABC 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90° ， 请 画 出 旋 转 后 的
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【解答】 ∵在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 的坐标为(2,0)，∴OC＝OA＝2，C(0,2)．∵将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移12OB 个单位，即将正方形 OABC 先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，∴点 C 的 对应点坐标为(1,3)．
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2．(2018·官渡区一模)如图，在平面直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo) 系中，A(－2,4)，B(－6,1)，C(－1,0)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； (2) 在 图 中 作 出 △ABC 关 于 原 点 O 成 中 心 对 称 的 图 形 △A2B2C2，并写出A2点的坐标； (3)在y轴上找一点P，使△PAC的周长最小，请直接写出 点P的坐标．
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重难点 ·突破
重难点1 轴对称和中心对称图形(túxíng)的识别 重点
例1 (2018·广东)下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( D ) A．圆源自B．菱形C．平行四边形
D．等腰三角形
【解答】 圆、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，平行四边形不是轴对
称图形，是中心对称图形，故此选项错误(cuòwù)；等腰三角形是轴对称图形，不是中
心对称图形，故此选项正确．
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方法(fāngfǎ) 指导
(1)轴对称图形的判断方法：寻找对称轴，使图形按对称轴折叠后两部分(bù fen)重 合．
(2)中心对称图形的判断方法：①将图形倒过来，看是否与原来的图形完全一致 ；②先找对称中心，连接两对应点，看对称中心是不是两对应点连线的中点．
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轴对称图形
轴对称
对应角相等 性
∠B＝②____∠__C____
质
点A与点A，点B与③
对应点 ___点__C_____
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C ＝∠C′
点A与点A′，点B与点B′， 点C与点C′
区别
(1)具有某种特性的一个图 形． (2)对称轴不一定只有一条
(1)反映两个图形的位置关系． (2)对称轴只有一条
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知识点二 图形(túxíng)的平移、旋转、位似
1．平移(pínɡ yí)
概念 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移 (1)平移是全等变换，即平移前后两图形全等；
性质 (2)平移前后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等； (3)对应点所连线段平行(或共线)且相等； (4)平移不改变图形的形状和大小，只是位置发生变化 (1)平移①___起__点__(_qǐ_di_ǎn；)
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(3)旋转作图的基本步骤 ①根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角度； ②找出原图形(túxíng)的关键点； ③连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角度将它们旋转，得到各关键点的 对应点； ④按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到旋转后的图形． (4)位似作图的基本步骤 ①确定位似中心； ②分别连接位似中心和能代表原图形的关键点并延长； ③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形．
△A3B3C3，并求点B所经过的路径长．(结果保留π)
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【解答】 (1)如答图，△A1B1C1 为所作．
(2)如答图，△A2B2C2 为所作．
(3)如答图，△A3B3C3 为所作，
点 B 所经过的路径长＝90π·18402＋12＝901π8·017＝
17 2 π.
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答图
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方法(fāngfǎ) 指导 在解答有关图形旋转的题目时主要应掌握旋转的性质，即旋转前后的两个图形
全等，对应角、对应线段相等，对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角．求 在图形旋转过程中，点经过的路径长及线段扫过的面积，其实质是求旋转中心和线 段旋转过程中形成的扇形的弧长及面积，利用扇形弧长公式 l＝1n8π0r，面积公式 S＝ n3π6r02＝12rl 来求解．
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1．(2018·哈尔滨)下列图形(túxíng)中既是轴对称图形(túxíng)又是中心对称图形C (túxíng)的 是( )
A．
B．
C．
D．
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重难点2 图形的平移(pínɡ yí)与旋转的相关计算 重点
类型 1 图形平移的相关计算 例 2 如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 C 在 y 轴正半轴上，点 A 的坐标为(2,0)，将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移12OB 个单位，则点 C 的对应点坐 标为___(_1_,3_)____.
常见的轴 等腰三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
对称图形
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2.中心对称(zhōnɡ xīn duìchēnɡ)与中心对称(zhōnɡ xīn 图形 duìchēnɡ)
中心对称图形
中心对称
图 形
把一个图形绕着某一点旋转 180°，如 把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果 定 果旋转后的图形能够与原来的图形 它能够与另一个图形⑨___重__合__(c_hó_n_gh，é) 那 义 ⑦__重__合_(_ch_ó_ng，hé那) 么这个图形叫做中心 么就说这两个图形关于这个点对称或
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轴对称图形
轴对称
联系
(1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图 形是轴对称图形． (2)如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成 轴对称
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轴对称图形
轴对称
总结
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等图形． (2)轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的④____位_置__(_wè_i _zh.i) (3)对应点的连线被对称轴⑤__垂__直__平__分__. (4)两个图形关于某条直线对称，若对应线段或其延长线相交，则⑥ ___交__点__(ji_āo_d_iǎn在) 对称轴上
对称图形，这个点叫做⑧_对__称__中_心___ 中心对称，这个点叫做对称中心
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中心对称图形
中心对称
对应线段相等
AB＝CD，AD＝BC
AB＝A′B′，BC＝⑩ ___B_′_C_′____，AC＝A′C′
性 质
对应角相等
∠A＝⑪____∠__C____， ∠B＝⑫∠__D________
要素 (2)平移②___方__向_____； (3)平移③___距__离_____
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2．旋转(xuánzhuǎn)
在平面内，将一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形的变 概念
换叫做旋转．定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角 (1)旋转前后两图形④____全_等_____； 性质 (2)对应点到旋转中心的距离⑤____相__等__(x_iā_ng；děng) (3)对应点与旋转中心的连线所成的角等于⑥__旋__转__(x_uá_n_zh_uǎn)角 (1)旋转⑦___中__心_____； 要素 (2)旋转⑧___方__向_____； (3)旋转⑨___角__度_____
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类型 2 图形旋转的相关计算 例 3 (2018·枣庄)如图，在正方形 ABCD 中，AD＝2 3，把边 BC 绕点 B 逆时 针旋转 30°得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的 面积为__9_－__5___3__.
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定义
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条 直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图 形就叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴
性质 对应线段相等
AB＝AC
轴对称
把一个图形沿着某一条直线 折叠，如果它能够与另一个 图形重合，那么这两个图形 就关于这条直线(成轴)对称， 这条直线叫做对称轴 AB＝①____A_′B__′ ___，BC＝ B′C′，AC＝A′C′
总结
(1)对称中心平分中心对称图 (1)关于中心对称的两个图形全等；
形内通过该点的任意线段且使 (2)对称点所连线段都经过对称中心
中心对称图形的面积被平分； 且被对称中心平分；
(2)中心对称图形上对称点所 (3)对应线段平行(或者在同一条直
连线段被中心对称平分
线上)且相等
常见的中心 对称图形
平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
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方法(fāngfǎ) 指导
(1)对称作图的基本(jīběn)步骤 ①找出原图形的关键点； ②按要求分别描出各个关键点的对应点； ③按原图将各对应点依次连接． (2)平移作图的基本步骤 ①定：根据题意，确定平移的方向和距离； ②找：找出原图形的关键点； ③移：按平移的方向和距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点； ④连：按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到平移后的图形．
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知识点三 网格中的变换(biànhuàn)作图步骤
1．找出图形的关键点，是多边形找它的顶点，是圆找它的圆心(yuánxīn)，是不规 则的图形找能说明问题的点．
2．把关键点进行平移、对称或旋转得到每个点的对应点． 3．按照原图形依次连接得到的各关键的对应点，得到变换后的图形．