曲线运动干货

曲线运动干货
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一、知识清单
1．合力、速度、轨迹之间的关系
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直
线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：
(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示。

(2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。

(3)根据合力方向与速度方向间的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。

2．曲线运动的分类
曲线运动按照合外力是否恒定可分为：
①匀变速曲线运动——合外力为恒力，如平抛运动；
②变加速曲线运动——合外力为变力，如圆周运动。

3．曲线运动的速度和加速度
(1)速度v：①方向沿该点的切线方向，且时刻改变；②大小：可以恒定。

(2)加速度a：①方向：指向曲线的凹侧，与速度方向夹角可能为锐角（加速）、可能为钝角（减速）；②大
小：可以恒定（匀变速曲线运动）、可以变化（变加速曲线运动），但a≠0。

4．曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
[思维深化]
判断下列说法是否正确．
(1)变速运动一定是曲线运动．(×)
(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．(×)
(3)做曲线运动的物体加速度可以为零．(×)
(4)做曲线运动的物体加速度可以不变．(√)
(5)曲线运动可能是匀变速运动．(√)
(5)匀变速曲线运动在相同时间内速度变化量相同．(√)
5．运动的合成与分解
6．两种渡河方式
说明
当船头垂直河岸时，渡河时间最短
7．绳、杆末端速度分解四步
①找到合运动——物体的实际运动；②确定分运动——沿绳(杆)和垂直于绳(杆)；③作平行四边形；④根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。

常见的模型如图所示。

8．平抛运动经典问题
9．平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带； 时间为明线，角度为暗线。

10．平抛的相遇问题
11．平抛运动中的推论
在水平方向，做匀速直线运动，因此从a 到b 、从b 到c 的时间相等，设为T 。

有2L = v 0T 在竖直方向，做自由落体运动，根据逐差法：Δx=aT 2，有L =gT 2 联立解得：， v 0=
12．既擦网又压线的双临界问题
根据2
0v s g h ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21，可得比值：2212
1
1
21)(-s s s h h h += 13．平抛运动中的临界速度问题 从网上擦过的临界速度)-(2111
h h 2g
s v = 出界的临界速度1212)
(2h g s s v +=
14．撞斜面平抛运动中的最小位移问题 分解位移，构建位移三角形。

水平位移：x ＝v 0t ; 竖直位移：y ＝½gt 2
;
tan θ=x /y ，解得gtan θ
2v t 0=。

15．平抛与圆相切问题
在切点，速度与接触面相切，分解速度可得0
v tan θgt
=。

16．台阶平抛运动问题
个台阶末端的临界速度x: ns =v n t y: nh =½g t 2 联立解得：n 2h
g s
v n
⋅=
把各台阶端点连接起来，构成一斜面，小球平抛落到斜面上，
所用时间为t ＝2v 0tan θ
g
，
17．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。

根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。

18．底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
从斜面底端的正上方高H 处平抛垂直打斜面，除了速度三角形之外，还有几何三角形的应用：
x
y
H tan θ-=
，如图。

v 0 h s θ(
)θ
v 0 h s
19．斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tan α=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。

20．撞墙平抛运动的推论
21．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

22．决定因素
(1)飞行时间：t ＝
2h
g
，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。

(2)水平射程：x ＝v 0t ＝v 0 2h
g
，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关。

(3)落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 2
＋2gh ，以θ表示落地时速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2gh v 0，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关。

23．半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h ＝1
2gt 2，R ±R 2－h 2＝v 0t ，联立两方程
可求t 。

（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v 0t ，y: Rsinθ=½g t 2，联立两方程可求t 或v 0。

24．圆周运动和其他运动的综合问题
=0,1,2,……
或t=(2πRn+l )/v n =0,1,2,……；
②等时性问题：圆周运动和其他运动同时运动具有等时性。

25．转筒测高速物体的速度
t =l /v ，v=ωD/2
v=D/t
ωD 2
26．描述圆周运动快慢的物理量
（1）转动快慢：角速度ωπππ===222T
f n （ ω、T 、f 、n 四个物理量“知一求一”）
（2）运动快慢：线速度v r r T
rf rn ====ωπππ222（运动快，转动不一定快，ω一定，v ∝r ；v 一定，ω∝1/r ）
（3）速度方向变化快慢：向心加速度a v r r r T
f r n r n =====22
22
2222444ωπππ（ω一定，a n ∝r ；v 一定，a n
∝1/r ）
27．传动装置中各物理量间的关系
(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度大小a ＝rω2
与半径r 成
正比。

(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角
速度、向心加速度关系可根据ω＝v r 、a ＝v 2
r 确定。

28．二力合成水平加速度问题：a
=gtanθ
29．多绳圆锥摆问题
30．深空人造重力问题
根据弹力提供向心力可得：mg ＝F ＝mω2r ，即g ＝ω2r . 31．水平路面转弯问题
（1）汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。

它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。

（2）最大安全转弯速度v m ：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg =mv m 2/r ，得 v m =gr 。

（3）当速度小于v m 时：侧向静摩擦力提供向心力，f =mv m 2/r 。

32．圆盘问题
33．火车转弯问题
（1）火车车轮结构：火车的车轮上有突出的轮缘，如图。

（2）在水平轨道上转弯：在水平轨道上转弯时，由于内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是使火车转弯的向心力（如图）．火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏．
（3）在倾斜轨道上转弯
①设计时速v ：向心力由重力G 和铁轨对火车的支持力F N 的合力提供。

由牛顿第二定律可得：mgtanθ=mv 2/R 得：v θ角很小，所以tanθ=sinθ=h/l ，则火车行驶的设计时速为v =
②若火车经过弯道时的速度 v > ③若火车经过弯道时的速度 v < 34．圆锥筒问题 特别注意：转弯的向心力是水平的
35．圆锥摆问题
36．过拱形桥问题
37．竖直面内的变速圆周运动
物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见的两种模型——轻绳模型和轻杆
38．研究平抛运动的实验方法
描迹法 喷水法 频闪照相法
39．平抛运动初速度的测量方法 每格L。