中山市年高三期末数学理科试卷及答案

中山市年高三期末数学理科试卷及答案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．函数2sin(2)2
y x π
=+是
A ．周期为π的奇函数
B ．周期为π的偶函数
C ．周期为2π的奇函数
D ．周期为2π的偶函数
2．已知物体的运动方程为t
t s 3
2+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻t=2时的
速度为
A ．
4
19 B ．
4
17 C ．
4
15
D ．
4
13 3．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a a
A ．－2
B ．2
C ．－12
D ．12
4．已知在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为
A ．60
B ．62
C ．70
D ．72
5．ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径为
A ．
15
15
8 B ．
15
15
16 C ．
13
13
6 D ．
13
13
12 6．若实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+1
0042052y x y x y x , 目标函数y x z -=2，则
A ．2
5
max =z B ．1max -=z
C ． 2max =z
D ．0min =z
7．底面是矩形的四棱柱''''D C B A ABCD -中，5,3,4'===AA AD AB ，︒=∠90BAD ，
︒=∠=∠60''DAA BAA ，则='AC
A ．95
B ．59
C ．85
D ．58
8．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 种。

A ．24
B ．28
C ．36
D ．48
第II 卷（非选择题共110分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差22σ=，则数据
12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均数为 （2分），方差为 （3分）。

10．直线x y 2=与抛物线32-=x y 所围成图形的面积为 . 11．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα
++-= .
12．已知函数)(x f 满足，00
2)2()(≥<⎩
⎨⎧+=x x x f x f x
，则)5.7(-f = . 13．以下有四种说法：
（1）若q p ∨为真，q p ∧为假，则p 与q 必为一真一假；
（2）若数列}{n a 的前n 项和为*2,1N n n n S n ∈++= ，则*,2N n n a n ∈=； （3）若0)(0'=x f ，则)(x f 在0x x =处取得极值；
（4）由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程
:l y bx a =+，则l 一定经过点(,)P x y .
以上四种说法，其中正确说法的序号为 ． 14．为迎接校庆，学校准备投入a 元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD 的造价为40元/2m ，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/2m ．两圆的直径分别为矩形
的长和
宽，由于矩形ABCD 要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD 的面积越大越好．那
么，当矩形ABCD 的面积达到最大时，
=AB
AD
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤） 15. （本题满分12分）
已知向量)sin ,(cos αα=a
, )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a .
（Ⅰ）求cos()αβ-的值;
（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5
sin 13
β=-, 求sin α.
16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为11
4a =，公比14
q =的等比数列，设
*)(log 324
1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.
（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n . 17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.
（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检验？
18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， （I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦；
（III ）求点E 到平面ACD 的距离．
19. （本题满分14分）已知423
2
)(23++-=cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-，
（1）若f(x)在21+=x 处取得极值，试求c 的值和f(x)的单调增区间；
（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
),,(b a c ∈使得=)('c f （用含有a,b,f(a),f(b)的表
达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4. 20. （本题满分14分）已知函数()()21f x x ,g x x ==-.
（1）若x R ∃∈使()()f x b g x <⋅,求实数b 的取值范围;
（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围.
中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试
数学科试卷（理科）答案
题号 1 2 3 4
5 6 7 8 答案
B
D
D
B
A
C
C
D
9． 16 （2分），18 （3分） 10． 332
11． 516
12． 2 13． （1） （4） 14． 2
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
15. （本题满分12分）
已知向量)sin ,(cos αα=a
, )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a .
（Ⅰ）求cos()αβ-的值;
（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5
sin 13β=-, 求sin α.
解：（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,
()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分
25-=
a b , ()()
22
25
cos cos sin sin αβαβ-+-=
, ………3分 即 ()422cos 5αβ--=, ………5分 ()3
cos 5
αβ∴-=. ……………6分 （Ⅱ）0,0,02
2
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<-<, ……………7分
()3cos 5αβ-=, 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12
cos 13
β=……………9分
()()()sin sin sin cos cos sin 11ααββαββαββ∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦分4123533
51351365
⎛⎫=
⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ……………12分 16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为114
a =，公比14
q =的等比数列，， 设*)(log 324
1N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.
（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n .
解（1）由题意知，*)()4
1
(N n a n n ∈= ，……………2分
又14
3log 2n n b a =-，
故 32(*)n b n n N =-∈……………4分
（2）由（1）知，*)(23,)4
1
(N n n b a n n n ∈-==
*)(,)4
1
()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分
,)41
()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分
于是1432)4
1()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S
…………………………9分
两式相减，得 …………………………12分
2321()(*)334
n
n n S n N +∴=
-⨯∈……………12分 17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.
（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检验？
解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为3
3
710/7/24
C C =…………3分
故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分
A D
B
O
E
（2）设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为33
37
10
.n n C C C -………8分
由3
710
7!610!
0.6,,(3)!(10)!10!(10)!
n n
C C n n n n ->>⋅---即
……………9分
整理得：(1)(2)986n n n -->⨯⨯，……………………11分
,10,n N n ∈≤ ∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分
答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取9件产品作检验.………………14分 18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离． 解：方法一： （I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥………1分 在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO ==
而2,AC =
222
,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥……………3分
又,AO BD BD OC O ⊥=，
AO ∴⊥平面BCD ……………5分
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知
ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。

……………6分
在OME ∆中，
1211,22
EM AB OE DC =
===……………7分
OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，
1
1,2
OM AC ∴=
= ……………8分
∴异面直线AB 与CD 24；……………9分
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
y
,
11
(33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= ……………11分
在ACD ∆中，2,CA CD AD ===
12ACD S ∆∴= ……………12分 而211,22
CDE AO S ∆===……………13分
∴点E 到平面ACD 的距离为
7
……………14分 方法二：
（I ）同方法一．……………5分
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，
则(1,0,0),(1,0,0),B D -1(0,0,1),(2C A E ………………6分 (1,0,1),(1,BA CD =-=-…………7.2
cos ,4
BA CD BA CD BA CD
∴<>=
=
………9分∴异面直线AB 与CD （III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则
.(,,).(1,0,1)0,
.(,,1)0,
n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨
=-=⎪⎩……………11分 令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量．……………12分
又1(,22
EC =- ∴点E 到平面ACD 的距离 .37
EC n h n
=
=
=……………14分 19. （本题满分14分）已知423
2)(23
++-=
cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-，
（1）若f(x)在21+=x 处取得极值，试求c 的值和f(x)的单调增区间； （2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),
,(b a c ∈使得=)('c f （用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4. 解：（1）c x x x f +-=42)(2'，………1分
依题意，有0)21('=+f ，即 2)21(4)21(22-=+++-=c ．……………2分
4223
2)(23
+--=
∴x x x x f ，242)(2'--=x x x f ． 令,0)('>x f 得2121+>-<x x 或，……………4分
从而f(x)的单调增区间为：),21[]21,(+∞+--∞及；……………5分 （2）'()()
()f b f a f c b a
-=
-；……………8分
（3）=+-=-)()(2x f e e x g x x 4223
223
2+--+
-=-x x x e e x x ，…………9分 =)('x g 24222--++-x x e e x x ……………10分
222(1)4x
x e e x e =++--2
22042 4.x x e e e e ≥⋅⋅-=-………12分 由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A 、B ，在A 、B 之间一定存在一点
))(,('c g c C ,使得AB K c g =)('，又42)('-≥e x g ，故有42)('-≥=e c g K AB ，证毕．………
14分
20. （本题满分14分）已知函数()()21f x x ,g x x ==-. （1）若x R ∃∈使()()f x b g x <⋅,求实数b 的取值范围;
（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围. 解：（1）由x R ∃∈,()()f x bg x <，得x R ∃∈,2
0x bx b -+<，……………1分
所以，()2
40b b ∆=-->……………3分
04b b <>解得或；……………4分
（2）由题设得()2
2
1F x x mx m =-+-，……………5分
对称轴方程为2
m x =
，()
222
4154m m m ∆=--=-。

……………7分 由于()F x 在[]01,上单调递增，则有 (Ⅰ)当0∆≤
即55
m -
<<时,有
m m ≤⎧⎪⎨⎪
⎩0m ≤≤解得。

……………9分 (Ⅱ)当0∆>
即55
m m <-
>
或时， 设方程()0F x =的根为()1212x ,x x x <，
①
若5m >,
则25m >，有2
1/21,0(0)10.
m x F m ≥⎧⎨<⇔=-<⎩ 解得2m ≥；……………11分
②若5m <-,
即25
m <-，有1200x ,x <≤；
15
m -≤<-
解得。

……………13分 由①②得
125
m m -≤<-
≥。

综合(Ⅰ)， (Ⅱ)有 102m m -≤≤≥或．……………14分。