高三数学一模试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三高考数学一模试卷〔理科〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的
，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可解出集合A，B，然后进展交集的运算即可．
【详解】∵，；
∴．
应选：A．
【点睛】考察描绘法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于简单题目.
2.复数：，那么z在复平面内对应的点位于〔〕
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限【答案】B
【解析】
【分析】
对复数z进展化简，从而求出其所在的象限即可．
【详解】，
故z在复平面内对应的点位于第二象限，
应选：B．
【点睛】此题考察了复数的运算，考察复数的几何意义，是一道根底题．
3.一组数据的茎叶图如下列图，那么该组数据的平均数为〔〕
A.85
B.84
C.83
D.81
【答案】A
【解析】
【分析】
利用茎叶图、平均数的性质直接求解．
【详解】由一组数据的茎叶图得：
该组数据的平均数为：
．
应选：A．
【点睛】此题考察平均数的求法，考察茎叶图、平均数的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．，，，那么＝〔〕
A.2
B.3
C.6
D.12
【答案】B
【解析】
【分析】
将两边平方可得．
【详解】∵，∴，∴，
∴
应选：B．
【点睛】此题考察了平面向量数量积的性质及其运算，属根底题．
的焦点为F，线段OF〔O为坐标原点〕的垂直平分线交抛物线于M，N两点，假设，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．
【详解】抛物线的焦点为，
线段OF〔O为坐标原点〕的垂直平分线交抛物线于，两点，
假设，可得：，可得，
所以，
应选：C．
【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，是根本知识的考察．
，，,那么a，b，c的大小关系是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．
【详解】因为在上是为增函数，且，
所以，即．
，而．
所以．
应选：B．
【点睛】此题考察了不等关系与不等式，考察了根本初等函数的单调性，是根底题．
7.的最小值为〔〕
A.18
B.16
C.8
D.6
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的变换和根本不等式的应用求出结果．
【详解】
，
应选：B．
【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的变换，根本不等式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．
的展开式中，x的系数为〔〕
A.32
B.﹣40
C.﹣80
D.80
【答案】C
【解析】
【分析】
写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，那么答案可求．
【详解】的展开式的通项为
，
令，得r＝1．
∴x的系数为，
应选：C．
【点睛】此题考察二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属根底题．
的局部图象如下列图，那么以下区间使函数单调递减的是A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象求出三角函数的解析式，再由正弦函数的单调性求出其单调区间即可。

【详解】通过图象可知，即
所以
由图象可知，当时，
解得
所以
令
解得
当k=0时，函数单调递减区间为，即
所以选D
【点睛】此题考察了正弦函数图象与性质的综合应用，根据局部函数图象求解析式，运用整体法求单调区
间，属于根底题。

10.某几何体的三视图如下列图，假设该几何体的外接球体积为，那么h＝〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h.
【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：
∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱和底面垂直，
可以将该棱锥补成直三棱柱，如下列图：
可知其球心在上下底面外心连线的中点处，
因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH的中点即为其外接球的球心，
因为该几何体的外接球体积为，
所以外接球的体积,，
所以有，
解得．
应选：C．
【点睛】此题考察了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高.
〔〕仅在处有极值，那么a的取值范围为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号．
【详解】由题意，
要保证函数仅在x＝0处有极值，必须满足在x＝0两侧异号，
所以要恒成立，
由判别式有：，∴
∴，
∴a的取值范围是
应选：A．
【点睛】此题考察导数知识的运用，考察函数的极值，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．
的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，那么当获得最小值时，＝〔〕
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】B
【解析】
【分析】
求得圆心可得焦点，，由渐近线方程，可得a，b的方程，解得，设，运用
双曲线的定义，化简所求式子，利用根本不等式的性质即可得出最小值时所求值．
【详解】由圆Ω：的圆心〔2，0〕，可得焦点，，
双曲线C的渐近线方程为，可得，
且，
解得，，
设，可得，
，当且仅当时取等号，
可得．
应选：B．
【点睛】此题考察双曲线的定义、HY方程与几何性质、根本不等式的性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分
上随机取一个数x，那么的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件知，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【详解】在区间之间随机抽取一个数x，那么，
由得，
∴根据几何概型的概率公式可知满足的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考察几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决此题的关键，比较根
底．
14.x，y满足约束条件那么的最小值是_____．
【答案】-7
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值．
【详解】作出x，y满足约束条件
对应的平面区域如图：
，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，
直线的截距最大，此时z最小．
由解得，
此时z的最小值为．
故答案为：﹣7．
【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目的函数的几何意义．
中，O是BD的中点，点P在线段OB上挪动〔不与点O，B重合〕，异面直线与所成的角为，那么的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
那么A1〔2，0，2〕，D〔0，0，0〕，设P〔a，a，0〕，，C1〔0，2，2〕，
，，
∵异面直线A1D与C1P所成的角为θ，
∴
，
∵，∴，，，
所以，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．
16.如图，平面四边形MNPQ中，，，，，那么NP的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，由正弦定理可得，在中，设，由余弦定理得，根据二次函数的性质即可求出最小值．
【详解】设，，
那么在中，,，
由正弦定理可得，那么．
在中，设，，
由余弦定理得
，
当时，NP最小，那么
故答案为：
【点睛】此题考察了正余弦定理的应用，考察了转化思想、函数思想，属于中档题．
三、解答题：一共60分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

为等差数列，，且满足，数列满足，．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；
〔Ⅱ〕假设，求数列的前n项和．
【答案】〔I〕；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔I〕由等差数列的性质可得：，解得．利用等比数列的通项公式即可得出．
〔Ⅱ〕，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．
【详解】〔I〕由等差数列的性质可得：，
解得．
数列满足，
可得：数列是等比数列，公比为2．
∵．∴，解得．
∴．
〔Ⅱ〕假设，
∴数列的前n项和，
，
∴，
可得．
【点睛】此题考察了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．
18.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，侧面
是菱形，，点D，E分别为，AC的中点．
〔1〕证明：平面；
〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】〔I〕见解析；〔Ⅱ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕取的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证；
〔Ⅱ〕利用平行把转化为，只需作于M，可证得平面，从而确定为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解．
【详解】〔1〕证明：取的中点F，连接FD，FE，
∵D为的中点，∴，
又E为AC中点，∴，∴，，
∴四边形AEFD为平行四边形，∴，
又AD⊄平面，EF⊂平面，∴AD∥平面；
〔2〕在三棱柱中，，∴只需求与平面所成角，
在平面内作于M，
∵平面平面ABC，，∴平面ACC1A1，∴，
∵，∴，∴平面，∴即为与平面所成角，
∵，，∴，
∵侧面是菱形，，∴，CE＝，∠ECC1＝120°，
由余弦定理可得，
再由正弦定理得，得．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
此题考察了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中．
19.为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城准备出台新的交通限行，为了理解民对“汽车限行〞的态度，在当地民中随机选取100人进展调查，调查情况如表：
年龄段[15，25〕[25，35〕[35，45〕[45，55〕[55，65〕[65，75]
调查人数 5 15 20 n 20 10
赞成人数 3 12 17 18 16 2
〔Ⅰ〕求出表格中n的值，并完成参与调查的民年龄的频率分布直方图；
〔Ⅱ〕从这100人中任选1人，假设这个人赞成汽车限行，求其年龄在[35，45〕的概率；
〔Ⅲ〕假设从年龄在[45，55〕的参与调查的民中按照是否赞成汽车限行进展分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成汽车限行的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【答案】〔I〕见解析；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由样本容量求出n的值，填写上频率分布表，画出频率分布直方图；
〔Ⅱ〕利用条件概率公式计算所求的概率值；
〔Ⅲ〕利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】〔Ⅰ〕由题意知，，填写上频率分布表如下；
年龄段
调查人数 5 15 20 30 20 10
频率
画出频率分布直方图如下
〔Ⅱ〕从这100人中任选1人，那么这个人赞成汽车限行，且年龄在的概率为；
〔Ⅲ〕从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取〔人〕，不赞成的抽取4人，再从这10人中随机抽取3人，那么随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
计算，，
，；
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望值为．
【点睛】此题考察了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考察了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的间隔最大值为，最小值为．
〔Ⅰ〕求椭圆E的HY方程；
〔Ⅱ〕过点F作两条互相垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值．【答案】〔I〕；〔Ⅱ〕2.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的HY方程；
〔Ⅱ〕对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论．
①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；
②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值．
〔Ⅰ〕设椭圆E的焦距为，那么有，解得，∴，【详解】
因此，椭圆E的方程为；
〔Ⅱ〕如以下列图所示，椭圆E的上焦点为．
①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，那么，，
此时，四边形PMQN的面积为；
②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，那么直线MN的方程为，
设点、，
将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，
，由韦达定理可得，，∴
，
同理可得，
所以，四边形PMQN的面积为，令，那么，
所以，
∵，所以，，由二次函数的根本性质可知，当，
所以，．
综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．
【点睛】此题考察直线与椭圆的综合问题，考察椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考察了弦长公式的应用，考察计算才能，属于中等题．
．
〔Ⅰ〕假设函数在点处的切线斜率为，求a的值；
〔Ⅱ〕假设函数，且在上单调递增，求a的取值范围；
〔Ⅲ〕假设，且，求证：．
【答案】〔I〕；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕求出函数的导数，根据，求出a的值即可；
〔Ⅱ〕求出h〔x〕的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可；
〔Ⅲ〕问题转化为证明，设，根据函数的单调性证明即可．
【详解】〔Ⅰ〕，
故，解得：；
〔Ⅱ〕，，
由函数在递增，得在恒成立，
即，，故，
由，当且仅当时取最小值2，
故，解得：，
即；
〔Ⅲ〕要证明，
只需证明，即证，
设，
由〔Ⅱ〕得，在〔递增，而，
故，即，
故．
【点睛】此题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用以及不等式的证明，考察转化思想，是一道综合题．
中，直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，的极坐标为.
〔1〕写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标；
〔2〕设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】〔1〕，；〔2〕3
【解析】
分析：〔1〕由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程及点M的直角坐标．
〔2〕由于M点在直线，因此可知过M点的的HY参数方程〔为参数〕，代入曲线C的直角坐标方程，利用可得结论．
详解：〔1〕曲线的极坐标方程为，
将代入可得直角坐标方程为.
的直角坐标为.
〔2〕联立方程与，可得
即，
所以
点睛：过，倾斜角为的直线的HY参数方程为〔为参数〕，直线上点对应的参数为，那么表示有向线段的数量，即，．
.
〔1〕解不等式；
〔2〕假设对任意恒成立，务实数的取值范围.
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
分析：〔1〕利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．
〔2的最小值，再解对应的不等式得的取值范围．
详解：〔1〕，
解或者或者得，所以解集为.
〔2〕由〔1〕知在时获得最小值，
所以，解之得
所以的取值范围是.
点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．。