金优课高中数学北师大选修21课时作业：3 椭圆的简单性质2 含解析

第三章 §1 课时作业24
一、选择题
1． 设P (x ，y )是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一个动点，定点M (1,0)，则|PM |2的最大值是( ) A ．23
B ．1
C ．3
D ．9
解析：|PM |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋1－
x 24＝34x 2－2x ＋2＝34(x －43)2＋23
∵－2≤x ≤2，∴当x ＝－2时，|PM |2max
＝9. 答案：D
2． 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左、右焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与该椭圆
的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是( )
A ．3－1
B ．3＋1
C ．
3－1
2
D ．
3＋1
2
解析：由题意可知△PF 1F 2构成直角三角形 且∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ， 则|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c ， 所以由椭圆的定义知，
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ， 得离心率e ＝c
a ＝3－1.故选择A.
答案：A
3． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >3
2的
概率是( )
A ．1
18
B ．536
C ．16
D ．13
解析：e ＝
1
－b 2a 2>32⇒b a <1
2
⇒a >2b ， 符合a >2b 的情况有：
当b ＝1有a ＝3,4,5,6四种情况； 当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况， 总共有6种情况，则概率为66×6＝1
6
.故选择C. 答案：C
4． 如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为1
2，F 为椭圆左焦点，直线AB 与FC 交
于D 点，则∠BDC 的正切值是( )
A ．－3 3
B ．3－ 3
C ．3 3
D ．3＋ 3
解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则A (0，b )，B (－a,0)，C (0，－b )，F (－c,0)．
∵k AB ＝b a ，k CF ＝－b c
，
∴tan ∠BDF ＝k CF －k AB 1＋k CF ·k AB ＝－b c －b
a 1－
b 2a
c ＝b (a ＋c )
b 2
－ac
. ∵e ＝c a ＝1
2，∴a ＝2c ，∴b ＝3c ，
∴tan ∠BDF ＝33c 2
3c 2－2c 2
＝3 3. 答案：C 二、填空题
5． 已知椭圆x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是
一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为________．
解析：∵椭圆方程为x 216＋y 2
9
＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝7.
若直角三角形的直角顶点为P ，当P 在短轴两个端点位置时，∠F 1PF 2最大，此时cos ∠F 1PF 2＝16＋16－282×4×4
＝1
8>0，即∠F 1PF 2最大时为锐角．
∴直角顶点在F 1或F 2上，不妨设F 1P ⊥F 1F 2， 设P (－7，y )，则716＋y 29＝1，∴y 2＝8116，∴|y |＝9
4.
答案：9
4
6． 已知椭圆x 225＋y 2
9＝1，F 1为椭圆的左焦点，A (2,2)为椭圆内的点，P 是椭圆上任意一
点，则|P A |－|PF 1|的最大值为________．
解析：F 1的坐标为(－4,0)，点P 在椭圆上移动，若P 与A 、F 1不共线，则在△P AF 1中，|P A |－|PF 1|<|AF 1|，当P 点与A 、F 1共线时，且P 点在AF 1的延长线上时，|P A |－|PF 1|＝|AF 1|，此时|P A |－|PF 1|取最大值，即为|AF 1|的值，由A 、F 1的坐标，得|AF 1|＝210.
答案：210
7． 已知点F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的两焦点，P 为椭圆上的点，∠F 1PF 2＝
α，当α＝2π
3
时，△F 1PF 2的面积最大，则m ＝________，n ＝________.
解析：如图所示，点P 在椭圆上变化时，S △F 1PF 2＝1
2·|F 1F 2|·|y P
|，
∴当|y P |取最大时，即P 点为椭圆短轴端点时，S △F 1PF 2最大，则∠F 1PO ＝π
3
，|OF 1|＝3，
a ＝|PF 1|＝
3
sin π3＝23，b ＝|OP |＝3
tan π3＝3，由已知m ＝a ，n ＝b ，解得m ＝12，n ＝3.
答案：12 3 三、解答题
8． 如图所示，已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，并求出最小值．
解： 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0.由
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0.由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3.所以与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0.所以最小距离为d ＝|4－3|2
＝22.此时，
由⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧
x ＝－8
3，
y ＝1
3，
即所求点为P ⎝⎛⎭
⎫－83，1
3. 9． 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝3
2
，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上点的最远距离是7，求
这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标． 解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝3
2
，得a ＝2b .
① 设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－
a 2y 2
b
2，且d 2＝x 2＋
⎝⎛⎭⎫y －322＝a 2－a 2y 2
b 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94
＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b . (1)如果b <1
2，则当y ＝－b 时，
d 2取得最大值(7)2＝⎝⎛⎭⎫b ＋3
22， 解得b ＝7－32>12，与b <1
2矛盾．
(2)如果b ≥12，则当y ＝－1
2时，
d 2取得最大值(7)2＝4b 2＋3，
②
由①②可得b ＝1，a ＝2. 故所求椭圆方程为x 24
＋y 2
＝1.
由y ＝－1
2可得椭圆上到点P 的距离等于7的点为⎝⎛⎭⎫－3，－12与⎝⎛⎭⎫3，－12.。