高中数学选择性必修一：3.1.3椭圆方程及性质的应用精选考点提升训练

第三章 3.1.3椭圆方程及性质的应用
A 级——基础过关练
1．椭圆x 216＋y 2
9＝1中，以点M (－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )
A ．916
B ．932
C ．964
D ．－932
【答案】B 【解析】设直线与椭圆交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2，设直线为y ＝k (x ＋1)＋2，联立⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋k ＋2，x 216＋y 29＝1，得(9＋16k 2)x 2＋32k (k ＋2)x ＋16(k ＋
2)2－144＝0.所以x 1＋x 2＝－32k k ＋29＋16k 2，所以－32k k ＋29＋16k 2
＝－2，解得k ＝9
32.
2．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A ．32
B ．26
C ．27
D ．42
【答案】C 【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2＋y 2
b 2＝1，x ＋3y ＋4＝0，得(a 2＋
3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0得a 2＋3b 2－16＝0，而b 2＝a 2－4，代入得a 2＋3(a 2－4)－16＝0，解得a 2＝7，所以a ＝7.所以长轴长为27.
3．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则y
x －2的最小值为( )
A ．1
B ．－1
C ．－23
3
D ．以上都不对
【答案】C 【解析】y x －2表示椭圆上的点(x ，y )与定点(2,0)连线的斜率．不妨设y
x －2
＝
k ，则过定点(2,0)的直线方程为y ＝k (x －2)．由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －2，
4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝
0.令Δ＝(－4k 2)2－4(k 2＋4)·(4k 2－4)＝0，得k ＝±233，所以k min ＝－233，即y
x －2的最小值为
－2
3
3.
4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若
AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A ．x 245＋y 2
36＝1
B ．x 236＋y 2
27＝1
C ．x 227＋y 2
18
＝1
D ．x 218＋y 2
9
＝1
【答案】D 【解析】由椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1，得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，因为过点F 的直线与椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22
＝－1，则b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2①，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2②，由①－②得b 2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，化简得b 2(x 1－
x 2)(x 1＋x 2)＋a 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.所以
2b 2(x 1－x 2)－2a 2
(y 1－y 2)＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2
a 2
，又直线的斜率
为k ＝0－－13－1＝12，即b 2a 2＝12.因为b 2＝a 2－c 2＝a 2
－9，所以a 2－9a 2＝12，解得a 2＝18，b 2＝9.
故椭圆方程为x 218＋y 2
9
＝1.
5．若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4
没有公共点，则过点(a ，b )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的公共点个数为________．
【答案】2 【解析】因为直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4没有公共点，所以原点到直线ax ＋by ＋4＝0的距离d ＝
4
a 2＋b
2
>2，所以a 2＋b 2<4，所以点P (a ，b )是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．因为椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，所以圆x 2＋y 2＝4内切于椭圆，所以点P 是椭圆内的点，所以过点P (a ，b )的一条直线与椭圆的公共点个数为2.
6．若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是__________．
【答案】x ＋2y －4＝0 【解析】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋
y 22
4＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2，所以所求直线的方程为y －1＝
－1
2
(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 7．在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________． 【答案】x 216＋y 28＝1 【解析】据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．因
为e ＝
22，所以c a ＝2
2
.由△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程
为x2
16＋
y2
8＝1.
8．(2021年太原模拟)过点M(1,1)作斜率为－
1
2的直线与椭圆C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)相交于
点A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
2
2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
⎩
⎨
⎧x21a2＋y21b2＝1，
x22
a2＋
y22
b2＝1，
即
x1＋x2x1－x2
a2
＋y1＋y2y1－y2
b2＝0①.
因为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x1＋x2＝2，
y1＋y2＝2，
y2－y1
x2－x1＝－
1
2②，
联立①②得a2＝2b2，故c2＝
1
2a2，即e＝
2
2.
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．
解：(1)由
⎩⎪
⎨
⎪⎧4x2＋y2＝1，
y＝x＋m，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－
5
2≤m≤
5
2.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－
2
5m，x1x2＝
m2－1
5.
所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22
＝x1－x22＋x1＋m－x2－m2
＝2x1－x22＝2[x1＋x22－4x1x2]
＝2⎣⎡⎦⎤
4m2
25－
4
5m2－1
＝
2
510－8m2.
因为Δ＝4m2－20(m2－1)>0，
所以－
5
2<m<
5
2.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的半焦距为
c ，原点Ο到经过两点(c,0)，(0，b )的直
线的距离为1
2
c .
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝5
2的一条直径，若椭圆Ε经过Α，Β两点，求椭
圆Ε的方程．
解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0. 则原点O 到直线的距离d ＝
bc b 2＋c 2＝bc
a
， 由d ＝1
2c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，
解得离心率e ＝c a ＝3
2
.
(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2①.
依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得
(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－
8k
2k ＋11＋4k
2，x 1x 2＝4
2k ＋12－4b 2
1＋4k 2
.
由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝1
2.
从而x 1x 2＝8－2b 2. 所以|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝
5
2
x 1＋x 2
2－4x 1x 2
＝10b 2－2.
由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3.
故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
B 级——能力提升练
11．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足PF 1→·PF 2→
＝0的点P 的个数
为( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】因为PF 1→·PF 2→
＝0，所以PF 1⊥PF 2.所以点P 即为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c ＝8－4＝2.又b ＝2，所以点P 为短轴的端点，有2个．
12．(多选)点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，则a 的值可以是( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
【答案】BC 【解析】由题意知a 24＋1
2
<1，解得－2<a < 2.故B ，C 符合．
13．如图，把椭圆x 225＋y 2
16＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的
上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝__________.
【答案】35 【解析】设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，|F 4F |＝|P 4F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |
＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.
14．已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与点C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点
分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.
【答案】12 【解析】根据题意，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，由于点M 的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点M (－3,0)，线段MN 的中点为椭圆的上顶点H (0，2)，则M 关于C 的焦点的对称点分别为A (－25＋3,0)，B (25＋3,0)，而点N (3,4)，据两点间的距离公式得|AN |＋|BN |＝
－25＋3－32＋0－4
2
＋
25＋3－3
2＋
0－42＝12.
15．平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，且点⎝⎛⎭⎫3，12
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，射线PO 交椭圆E 于点Q ，求
|OQ |
|OP |的值．
解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫3，1
2在椭圆C 上， 所以3a 2＋1
4b
2＝1.
又因为椭圆C 的离心率为e ＝c a ＝3
2
，
所以2c ＝3a ，4c 2＝3a 2，结合c 2＝a 2－b 2可解得a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)椭圆E ：x 216＋y 2
4
＝1.
P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 204＋y 20
＝1，又－λx 02
16
＋
－λy 0
2
4
＝1，
即λ24
⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ |
|OP |
＝2.
C 级——探究创新练
16．已知椭圆C ：x 24＋y 2
m ＝1的右焦点为F (1,0)，上顶点为B ，则点B 的坐标为________，
直线MN 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰为点F ，则直线MN 的斜率为________．
【答案】(0，3) 334 【解析】如图，因为C ：x 24＋y 2
m ＝1右焦点为F (1,0)，所以有4>m >0
且a ＝2，b ＝m ，c ＝1，而a 2＝b 2＋c 2，所以4＝m ＋1⇒m ＝3，因此椭圆上顶点的坐标为(0，3)．设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，由(1)可知椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3＝1，直线方程与椭
圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1，
y ＝kx ＋t ，化简得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线
段MN 的中点为D ，于是有x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2
，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t
3＋4k 2，所以D 点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫－4kt 3＋4k 2，3t 3＋4k 2
).因为△BMN 的重心恰为点F ，所以有BF
→＝2FD →，即(1，－3))＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 3＋4k 2
－1，3t 3＋4k 2
，
因此有⎩⎪⎨⎪⎧
2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 3＋4k 2
－1＝1，2·3t
3＋4k 2
＝－3，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－4kt 3＋4k 2＝3
2①，6t 3＋4k 2
＝－3②，
由①②
得k ＝
3
43，所以直线MN 斜率为33
4
.
17．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为3
3，过点F 且与x 轴垂直的直线
被椭圆截得的线段长为43
3
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →
＝8，求k 的值．
解：(1)设F (－c,0)(c >0)，由c a ＝3
3
，知a ＝3c .
过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有
－c
2
a 2＋y 2
b
2＝1， 解得y ＝±
6b 3，于是26b 3＝433
，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 2
2
＝1.
(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x ＋1，x 23＋y 22＝1，消去y ，
整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 可得x 1＋x 2＝－6k 2
2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2
.
因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →
＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)
＝6－2x 1x 2－2y 1y 2
＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2
.
由已知得6＋2k 2＋12
2＋3k 2
＝8，解得k ＝± 2.。