四川省射洪中学校2020年高二上学期期中模拟考试文科数学试题及参考答案

文科数学试题
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
一、单选题（60分)
1.在空间直角坐标系中,点(1,1,3)-关于y 轴的对称点的坐标为
A.(1,1,3)--
B.(1,1,3)-
C.(1,1,3)--
D.(1,1,3)
2.直线310x y --=的倾斜角α= A.30
B.60︒
C.120︒
D.150︒
3.右上图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是
A. B. C. D.
4.若两直线平行,则它们之间的距离为
A.1
B.
C.
D.
5.圆()()()222
212:11414C x y C x y +-=++-=与圆：的公切线的条数为 A.4
B.3
C.2
D.1
6.已知点()()2,3,3,2A B ---,直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交,则直线l 的 斜率k 的取值范围是 A.34
k ≥
或4k ≤- B.3
44k -≤≤
C.1
5
k <-
D.3
44
k -
≤≤ 7.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图,则直观图的面积是:
3 3 C.
64
68.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积和表面积分别为
A.
4
3
π,(32π+
B.
2
3
π,(
32π+ C.
4
3
π,(42π+
D.
2
3
π,(
42π+ 9.点(4,2)P -与圆2
2
4x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是
A.22
(2)(1)1x y -++=
B.22
(2)(1)4x y -++=
C.22
(4)(2)4x y ++-=
D.22
(2)(1)1x y ++-=
10.过点(3,1)作一直线与圆22
(1)9x y -+=相交于M 、N 两点,则MN 的最小值为
A. B.2 C.4 D.6
11.若直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=有两个公共点,则点(),P a b 与圆2
2
1x y +=的位
置关系是（ ) A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都有可能
12.直线y x b =+
与曲线x =有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是
A.b =
B.11b -<≤
或b =
C.1-或1
D.以上都不对
第II 卷（非选择题)
二、填空题（20分)
13.已知x ,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤22y x x y x ,则y x z +-=2的最大值为____________.
14.若圆1C :2
20x
y ax by c 与圆2C :224x y +=关于直线21y x =-对称,
则c =______.
15.经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________.
16.点A B 、分别为圆2
2
:(3)1M x y +-=与圆2
2
:(3)(8)4N x y -+-=上的动点,点C
在直线0x y +=上运动,则AC BC +的最小值为__________.
三、解答题（70分)
17.（10分)已知直线l 的方程为3420x y+=-. （1)求过点()2,2-且与直线l 垂直的直线方程；
（2)求直线10x y --=与220x y +-=的交点,且求这个点到直线l 的距离.
18.（12分)已知圆C 经过()1,5A -,()5,5B ,()6,2D -三点. （1)求圆C 的标准方程；
（2)求经过点()3,2E -且和圆C 相切的直线l 的方程.
19.（12分)直线l 经过两条直线1:40l x y +-=和2:20l x y -+=的交点,且与直线
210x y --=平行. （1)求直线l 的方程；
（2)求直线l 与坐标轴围成的三角形面积.
20.（12分)已知直线()()():211740l m x m y m m +++--=∈R ,圆
()()2
2
:1225C x y -+-=.
（1)求证:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交于两点.
（2)当直线l 被圆C 截得的线段最短时,求线段的最短长度及此时m 的值.
21.（12分)已知点(4,0),(2,0)A B -,动点P 满足||2||PA PB =. （1)求点P 的轨迹C 的方程；
（2)求经过点(2,2)M -以及曲线C 与2
2
4x y +=交点的圆的方程.
22.（12分)已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上,且圆M 截直
线20x y +-=所得弦长为. （1)求M 的标准方程；
（2)若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点,若PAB △的面积为
求直线l的方程.
数学参考答案（文科)
1.B 【试题分析】利用空间中点(,,)x y z 关于y 轴的对称点的坐标为(,,)x y z --,即可得到答案.
2.A 【试题分析】先求得直线的斜率,然后根据斜率和倾斜角的关系,求得α.
【试题解答】可得直线310x -=的斜率为3
3
A k
B =-
=
, 由斜率和倾斜角的关系可得3
tan α=
,∴30α=故选:A. 本小题主要考查直线倾斜角与斜率,属于基础题.
3.D 【试题分析】正视图和左视图可以得到A ,俯视图可以得到B 和D ,结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D .
【试题解答】正视图和左视图相同,说明组合体上面是锥体,下面是正四棱柱或圆柱,俯视图可知下面是圆柱.故选D.
本题主要考查三视图,三视图的复原,可以直接解答,也可以排除作答,是基本能力题目. 4.D 依题意可得, 3460m -⨯=,解得8m = 所以直线方程为3430,3410x y x y +-=++=
则两平行直线的距离为
()3145
5
--=
,
故选D 5.A 【试题分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离,所以有4条公切线. 【试题解答】
22121212(04)(11)412123C C r r r r =++-===+=+=，，，，
∴|C 1C 2|＞r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相离,有4条公切线. 故选A .
本题考查了两圆的公切线的条数,属中档题. 6.A ()()110m x y -+-=,所以直线l 过定点()1,1P ,
所以3
4
PB k =
,4PA k =-, 直线在PB 到PA 之间, 所以3
4
k ≥
或4k ≤-,故选A . 7.C 分析:先根据直观图画法得底不变,为2,再研究高,根据三角形面积公式求结果.
详解:因为根据直观图画法得底不变,为2,高为126
3=
22⨯
⨯ , 所以直观图的面积是
166
2=2⨯⨯，
选C. 点睛:本题考查直观图画法,考查基本求解能力.
8.B 【试题分析】根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥,结合图中数据,即可求出它的体积和表面积.
【试题解答】解:根据三视图知,该几何体是圆柱,在中间挖去一个同底等高的圆锥,如图所
示；
结合图中数据,计算该几何体的体积为: V=π•12•1-
13π•12•1=2
3
π； 表面积为:
S=π•122（2)π.故选B .
本题主要考查了几何体三视图的应用问题,几何体的体积以及表面积的计算,
9.A 试题分析:设圆上任一点为()00,Q x y ,PQ 中点为(),M x y ,根据中点坐标公式得,0024{
22
x x y y =-=+,因为()00,Q x y 在圆224x y +=上,所以22
004x y +=,即
()()2
2
24224x y -++=,化为22(2)(1)1x y -++=,故选A.
考点:1、圆的标准方程；2、"逆代法"求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、"逆代法"求轨迹方程,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标(),x y ,根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程；③参数法,把,x y 分别用第三个变量表示,消去参数即可；④逆代法,将()
()
00{
x g x y h x ==代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.
10.C 试题分析:由圆的方程()2
219x y -+=,可知圆心(1,0)O ,半径3R =,则点()3,1和圆心
(1,0)O
连线的长度为d ==当过点()3,1和圆心的连线垂直时,所得弦长最
短,
由圆的弦长公式可得4l ===,故选C. 考点:直线与圆的位置关系及其应用.
11.B 【试题分析】直线1ax by +=与圆22
1x y +=有两个公共点,
||1<,
即为
1<
,由此可得点与圆的位置关系。

【试题解答】解:因为直线1ax by +=与圆2
2
1x y +=有两个公共点,
||1<,
即1<
,
因为点P
圆的半径为1, 所以点P 在圆外,故选B 。

本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系的判断方法有:1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程,根据方程组根的个数进行判断。

12.B 【试题分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆,进而画出图象来,要使直线与曲线有且仅有一个交点,那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是:直线在第四象限与曲线相切,交曲线于（0,−1)和另一个点,及与曲线交于点（0,1),分别求出b ,则b 的范围可得.
【试题解答】由2
1x y =-22
1x x y ≥⎧⎨+=⎩
,所以曲线21x y =-y 轴右侧的半圆,
因为直线y x b =+与半圆有且仅有一个公共点,如图所示:
所以11b -<≤或0
12
b b <⎧⎪
⎨=⎪⎩,所以11b -<≤或2b =,故选B .
本题考查直线与半圆的位置关系,注意把曲线的方程变形化简时要关注等价变形. 13.1-【试题分析】作可行域,作目标函数对应的直线,平移该直线
可得最优解.
线【试题解答】作可行域,如图ABC 内部（含边界),作直
:20l x y -+=,
由2y x x y =⎧⎨
+=⎩得1
1
x y =⎧⎨=⎩,即(1,1)C ,
平移直线l ,向上平移时2z x y =-+增大,∴当直线l 过点(1,1)C 时,2z x y =-+取得最大值
1-.
故答案为:1-.
本题考查简单的线性规划,作出可行域是解题关键. 14.165
-
【试题分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称,则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上,圆1C 的半径也为2,即可求出参数,,a b c 的值.
【试题解答】解:因为圆1C :220x y ax by c ,即,
圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,
半径r =,
由题意,得111,2
2C a b ⎛⎫--
⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称, 则1
1
2,1
2211
2221,
2
2b a b
a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ,45
b =,圆1C
的半径22r ==,
解得165
c =-
.故答案为:165-
本题考查圆关于直线对称求参数的值,属于中档题. 15.0x y －＝或20x y ＋－＝
【试题分析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程,将点A(1,1)代入直线方程即可. 【试题解答】（1)当直线的截距不为0时即不经过原点,
设直线方程是:
1x y
a a
+= 因为直线过点 A(1,1)
所以
11
1a a
+= 解得a=2
即直线方程是20x y ＋－＝
（2)当直线经过原点时方程为:0x y －＝
综上所述直线方程为:0x y －＝或20x y ＋－＝
本题考查利用直线截距式方程求解直线问题,利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内,将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了,因此需要将这两类直线单独计算,以防遗漏.
16.7【试题分析】根据题意,算出圆M 关于直线l 对称的圆
M '方程为22
(3)1x y ++=.当点P 位于线段NM '上时,
线段AB 的长就是AC BC +的最小值,由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算,即可得出AC BC +的最小值.
【试题解答】设圆M '是圆2
2
:(3)1M x y +-=关于直线
0x y +=对称的圆,
可得(3,0)M '-,圆M '方程为2
2
(3)1x y ++=,
可得当点C 位于线段NM '上时,线段AB 长是圆N 与圆M '上两个动点之间的距离最小值, 此时AC BC +的最小值为AB ,
(3,8)N ,圆的半径2R =,
22(33)810NM '=--+=,
可得10217AB NM R r --=--'== 因此AC BC +的最小值为7,
故答案为7.
点睛:圆中的最值问题往往转化动点与圆心的距离问题,本题中CA CB +可以转化为
3CN CM +-,再利用对称性求出CN CM +的最小值即可.
17.（1)4320x y ++=（2)1
【试题分析】(1)与l 垂直的直线方程可设为430x y c ++= ,再将点()2,2- 代入方程可得；(2)先求两直线的交点,再用点到直线的距离公式可得点到直线l 的距离.
【试题解答】解:(1)设与直线3420x y+=-垂直的直线方程为430x y c ++=,把(2,2)-代入,得860c -++=,解得2c =, ∴所求直线方程为4320x y ++=.
(2)解方程组10,220,x y x y --=⎧⎨+-=⎩得1,
0,
x y =⎧⎨=⎩∴直线10x y --=与220x y +-=的交点为(1,0),
点(1,0)到直线3420x y+=-的距离1
d =
=.
本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式. 18.（1)22(2)(1)25x y -+-=,（2)3x =-或125460x y -+=
【试题分析】（1)根据题意,设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,将三点坐标代入计算可得,,D E F 的值,即可得圆C 的一般方程,变形可得答案；
（2)根据题意,分析圆C 的圆心与半径,进而分别讨论直线l 的斜率存在与不存在时直线l 的方程,综合即可得答案
【试题解答】解:（1)设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,则
125502525550364620D E F D E F D E F +-++=⎧⎪
++++=⎨⎪++-+=⎩
,解得4,2,20D E F =-=-=-, 所以所求圆的一般方程为22
42200x y x y +---=,即22
(2)(1)25x y -+-=,
所以圆C 的标准方程为22(2)(1)25x y -+-=,
（2)由（1)可知圆C :22(2)(1)25x y -+-=的圆心(2,1)C ,半径为5,
若直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为3x =-,圆心(2,1)C 到直线l 的距离5d =,与圆相切,符合题意,
若直线l 的斜率存在时,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为2(3)y k x -=+,即
320kx y k -++=,
则有5d =
=,解得125
k =
, 所以直线l 的方程为125460x y -+=,
综上,直线l 的方程为3x =-或125460x y -+=
此题考查直线与圆的位置关系,涉及圆的标准方程,考查直线方程的求法,属于基础题 19.（1)210x y -+=；（2)
14
【试题分析】（1)解方程组40
20
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩,得()1,3P ,由l 平行于直线210x y --=,设直线l
的方程为20x y m -+=,由此能求出直线l 的方程.
（2)在直线:210l x y -+=中,令0x =,得1y =；令0y =,得1
2
x =-.由此能求出直线l 与两
坐标轴围成的三角形的面积. 【试题解答】解:（1)
直线l 经过直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=的交点P ,
∴解方程组40
20x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩
,解得13x y =⎧⎨=⎩,即()1,3P ,
l 平行于直线210x y --=,
∴设直线l 的方程为20x y m -+=,
把()1,3P 代入,得230m -+=,解得1m =,
∴直线l 的方程为210x y -+=.
（2)在直线:210l x y -+=中, 令0x =,得1y =；令0y =,得1
2
x =-.
∴直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积:
1111224
S =
⨯⨯-=. 本题考查直线的方程的求法,考查直线与两坐标轴围成的面积的求法,解题时要认真审题,注意直线方程性质的合理运用,属于基础题.
20.（1)详见解析（2)3
4
m =-
.此时,弦长为【试题分析】（1)将直线化成():4270l x y m x y +-++-=,由40
270x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩
得到交点坐
标为直线过的定点,再判断点在圆内,从而证明直线与圆恒有两个交点；
（2)当直线l 被圆C 截得的线段最短时,直线l 垂直CP ,再利用弦长公式求得
弦长为
【试题解答】（1)直线():4270l x y m x y +-++-=,必过直线40x y +-=与直线
270x y +-=的交点.联立方程40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得3
1
x y =⎧⎨=⎩,所以直线过定点()3,1P .
()()
22
311225-+-<,即点P 在圆内,
∴直线与圆C 恒相交于两点。

（2)当直线l 被圆C 截得的线段最短时,直线l 垂直CP .
121312
CP k -=
=--,∴直线l 的斜率2k =,则2121m m +-
=+,解得3
4m =-.
此时,弦长==
本题考查直线过定点、点与圆的位置关系、圆的弦长公式等知识,注意直线过定点的求解方法是把直线看成关于m 的方程,再从方程的角度求得定点坐标。

21.(1) 2280x y x +-=;(2) 22
88
033
x y x +-
-= 【试题分析】(1) 求点的轨迹方程的步骤:建立坐标系设出所求点的坐标,写出所求点的关系式,关系式坐标化整理化简,即可求得结果;(2) 先确定过两圆交点的圆系方程,再将M 的坐标代入,即可求得所求圆的方程.
【试题解答】(1)设(,)P x y ,因为(4,0),(2,0)A B -,||2||PA PB =,所以
=整理得22
80x y x +-=,所以曲线C 的方程为
2280x y x +-=.
(2)设所求方程为(
)
2
2
22
480x y x y x λ+-++-=,即22(1)(1)840x y x λλλ+++--=,将
(2,2)M -代入上式得22(1)2(1)(2)8240λλλ+⋅++⋅--⋅-=,解得12
λ=,
所以所求圆的方程为22
88
033
x y x +-
-=. 本题考查轨迹法求曲线方程,考查过两圆的交点的圆的方程,运用交点系方程是本题的关键,难度较易.
22.（1)224x y +=；（2)1y =.
【试题分析】（1)根据题意可得圆M 的方程为()2
224x a y a -+=+,求出圆心到直线
20x y +-=
的距离,结合M 截直线20x y +-=所得弦长为,利用勾股定理列方程可
得a 的值,代入圆M 的方程即可得结果；（2)设直线l 的方程为1y kx =+,结合直线与圆的位置关系可得AB 的值,求出点P 到直线AB 的距离,由三角形面积公式可得
132d AB ⨯⨯=='解得k 的值,代入直线l 的方程即可得结果. 【试题解答】（1)根据题意,圆M 的圆心(),0a 且经过点()0,2-,则圆M 的方程为
()
2
224x a y a -+=+,
圆心M 到直线20x y +-=的距离d =
,
若圆M 截直线20x y +-=所得弦长为
则有22
2
42a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭, 解可得:0a =, 则2244r a =+=,
则圆M 的方程为2
2
4x y +=；
（2)根据题意,设直线l 的方程为1y kx =+,即10kx y -+=,
圆M 的方程为22
4x y +=,则圆心M 到直线l 的距离
d =
则2AB ==
又由()0,2P -,则P 到直线l 的距离
'd =
=
若PAB △的面积为则132d AB ⨯⨯=='解可得:0k =, 则直线l 的方程为1y =.
本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系,以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用,涉及直线与圆相交弦长的计算,属于基础题.求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公
式12l x =-,结合韦达定理求解；二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.。