2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末小结与测评创新应用学案 新人教A版

第三章 数系的扩充与复数的引入
复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i ，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．
[典例1] (1)复数1－2＋i ＋1
1－2i 的虚部是( )
A.15i
B.15 C ．－15i D ．－15
(2)若复数(a 2
－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1 解析：(1)选 B
1－2＋i ＋1
1－2i
＝
－2－i －2＋－2－
＋
1＋2i －
＋
＝
－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为1
5
.
(2)选B 由纯虚数的定义，可得{ a 2
－3a ＋2＝0，a －1≠0，
解得a ＝2. [对点训练]
1．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________．
解析：设z 1z 2
＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所
以
所以a ＝8
3.
答案：83
2．设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使(1)z 是纯虚数；
(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
解：(1)由{
m 2－2m －
＝0，m 2
＋3m ＋2≠0，得m ＝3.
∴当m ＝3时，z 是纯虚数．
(2)由{ m 2
－2m －2>0，m 2
＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2.
∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由{
m 2－2m －
，
m 2＋3m ＋2>0，得
－1<m <1－3或1＋3<m <3.
∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．
1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2
＝－1.
2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幂的周期性变化，即i
4n ＋1
＝i ，i
4n ＋2
＝－1，i
4n ＋3
＝－i ，i 4n
＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意
义等结合在一起考查．
另外计算要注意下面结论的应用： (1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2
， (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2
， (3)(1±i)2
＝±2i， (4)1
i
＝－i ， (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ， (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．
[典例2] 复数i 2＋i 3＋i
4
1＋i 等于( )
A.12＋12i
B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i
解析：选D i 2
＋i 3
＋i 4
1＋i ＝－i 1＋i ＝
－－2
＝－12－1
2
i.
[典例3] 已知复数z 1＝
15－5i
2＋
2，z 2＝a －3i(a ∈R)． (1)若a ＝2，求z 1·z 2； (2)若z ＝z 1z 2
是纯虚数，求a 的值． 解：由于z 1＝
15－5i ＋2＝
15－5i
3＋4i
＝－
－＋
－
＝
25－75i
25
＝1－3i. (1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，
∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i. (2)若z ＝z 1z 2＝
1－3i a －3i ＝
－
a ＋a －
a ＋
＝
a ＋
＋－3a a 2＋9
为纯虚数，则应满
足⎩⎨
⎧
a ＋9
a 2
＋9
＝0，3－3a
a 2＋9
≠0，
解得a ＝－9.即a 的值为－9. [对点训练]
3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 解析：选A z ＝
＋－
＋
＝－1＋i ，故选A.
4．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i
1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．
解析：∵a ＋b i ＝11－7i
1－2i ，∴a ＋b i ＝
－
＋－＋
＝5＋3i.根据复数相等的充
要条件可得a ＝5，b ＝3，
故a ＋b ＝8. 答案：8
5．计算：
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i (1＋i)；
(2)
2＋3i 3－2i
；(3)(2－i)2
.
解：(1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)
＝
3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12
i 2
＝－1＋3i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ＝－1＋3i. (2)
2＋3i 3－2i ＝
2＋33＋23－23＋2
＝
2＋3
3＋2
3
2
＋2
2
＝
6＋2i ＋3i －6
5
＝5i
5
＝i. (3)(2－i)2
＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．
[典例4] 若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i 的点是
( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i
1＋i
＝
＋－＋－＝4－2i 2
＝2－i ，
则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．
[典例5] 已知z 是复数，z ＋2i ，z
2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2
在复
平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
z
2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15
(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋1
5
(2y ＋x )i. 由题意知⎩
⎨⎧
y ＋2＝0，
15
y ＋x ＝0，
∴{ x ＝4，y ＝－2，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2
＝[4＋(a －2)i]2
＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， 由已知得{ 12＋4a －a 2
>0，
a －
，
∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． [对点训练]
6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)
解析：选C 由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i
i ＝
＋4
－
－
＝4－2i ，
所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．
7．已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .
解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，A (1，2)，B (－2,6)，C (x ，y )． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，
即⎩⎨⎧
21＝
y －6
x ＋2
，x 2＋y 2＝
－
2
＋42
.
解得{ x ＝－5，y ＝0或{ x ＝－3，y ＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z ＝－5.
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应复平面上的点Z ，则复数的模|z |＝|OZ ―→|＝a 2
＋b 2
，即Z (a ，b )到原点的距离．
[典例6] 已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值． 解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|x ＋y i ＋2－2i|＝1， 即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1. ∴(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝1. ∴|z －3－2i|＝x －
2
＋
y －
2
＝
x －
2
＋1－x ＋
2
＝－10x ＋6，
由(y －2)2
＝1－(x ＋2)2
≥0，得x 2
＋4x ＋3≤0. ∴－3≤x ≤－1，∴16≤－10x ＋6≤36. ∴4≤－10x ＋6≤6.
∴当x ＝－1时，|z －3－2i|取最小值4. 法二：由复数及其模的几何意义知： 满足|z ＋2－2i|＝1，
即|z －(－2＋2i)|＝1的复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，半径r ＝1的圆，而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．
由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为|AC |－r . 又|AC |＝
＋
2
＋－
2
＝5，
所以|z －3－2i|的最小值为5－1＝4.
[对点训练]
8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是( )
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．
∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，
∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．
9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.
解：法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，
∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
|z－i|＝|x＋y i－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－2
＝－y2＋y－2＝5－2y.
∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.
故当y＝－2时，5－2y取最大值9，
从而5－2y取最大值3，此时x＝0，
即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.
法二：方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．
如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，
即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知－2
z
＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i 解析：选D 由－
2
z
＝1＋i ，得z ＝
－
2
1＋i
＝－2i 1＋i ＝－1－
＋
－
＝－1－i ，
故选D.
2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i
解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.
3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．
4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i
2
是实数，则a 等于( )
A.12 B ．1 C.3
2 D ．2 解析：选B
a
1＋i ＋1＋i 2
＝a
－
2
＋
1＋i 2＝a ＋12＋1－a
2
i ， 由题意可知1－a
2＝0，即a ＝1.
5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )
A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：选
B 由已知⎪⎪
⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以
1＋a 2
＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.
6．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2
的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝
1－2i ＋i 2
2＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2
＝0－1＝－1.
7．已知f (n )＝i n
－i －n
(i 2
＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个
解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1
＝i －1i
＝2i ，
f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，
由i n
的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}． 8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2
＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量
对应的复数是
( )
A.10 B ．－3－i C ．1＋i D ．3＋i
解析：选D ∵z 1＝(－i)2
＝－1，z 2＝2＋i ， ∴
对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.
9．z 1＝(m 2
＋m ＋1)＋(m 2
＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2
＋m ＋1＝3，且m 2
＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．
10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R)有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i
解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2
＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，
∴z ＝2－2i.
11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )
A ．3－i
B ．1＋3i
C ．3＋i
D ．1－3i
解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，
得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i
＝3－i.
12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2
＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1
解析：选B 由题意可得(1＋2i)2
＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 2
4的虚部等于
________．
解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为4
5.
答案：45
15．若关于x 的方程x 2
＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 2
0＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0， 即(x 2
0＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，
解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i. 答案：4i
16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i
，则复数z 在复平面对应的点
位于第________象限．
解析：∵a ，b ∈R 且a
1－i ＋b 1－2i ＝53＋i
， 即
a
＋2
＋
b
＋5
＝3－i
2
， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，
∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2
－3k －4)＋(k 2
－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
解：(1)当k 2
－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2
－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．
18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求＋
2
＋
2
2z
的值．
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2
＋b 2
－1－3i ＋a ＋b i ＝0，
∴z ＝－4＋3i ， ∴
＋
2
＋
2
2z
＝
－7＋－4＋
＝
24＋7i
4－3i
＝3＋4i. 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i
＋
2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1
z 2
. 解：z 2＝
15－5i 2＋i 2＝
15－5i
3＋4i
＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310
i. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2
＋3z －4，求|ω|；
(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
＝1－i ，求a ，b 的值．
解：(1)因为ω＝z 2
＋3z －4＝(1＋i)2
＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝－
2
＋－
2
＝ 2.
(2)由条件z 2＋az ＋b
z 2－z ＋1＝1－i ，得
＋2
＋a ＋＋b
＋
2－＋＋1
＝1－i ，即a ＋b ＋a ＋
i
＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{
a ＋
b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.
21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．
解：∵z 1＝－1＋5i
1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，
∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝
－a
2
＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴－a
2
＋4<13，∴a
2
－8a ＋7<0，解得1<a <7.
∴a 的取值范围是(1,7)．
22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3
m －3
为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹； (2)求|z |的最大值、最小值． 解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则
m ＋3m －3＝x ＋
＋y i x －
＋y i ＝x 2＋y 2
－－6y i
x －2＋y 2
， ∵
m ＋3m －3
为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32
，y ≠0. ∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)， ∴|z －(3＋33i)|＝3.
∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；
最小值为|3＋33i|－3＝3.。