人教版初中数学九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，使得CC //AB '，则BAB '∠=（ ）
A ．30
B ．35︒
C ．40︒
D ．50︒
2．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A ．正六边形
B ．线段()213y x x =-+≤≤
C ．圆
D ．抛物线2y x x =+
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．3
D ．32 7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边
AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）
A ．内部
B ．外部
C ．边上
D ．以上都有可能 9．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．如果齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮
E 旋转的方向（ ）
A ．顺时针
B ．逆时针
C ．顺时针或逆时针
D ．不能确定
11．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．70°
D ．90°
12．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12
，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
二、填空题
13．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，
则CB C ''∠的度数为______．
14．如图，在平面直角坐标系中有一个等边OBA △，其中A 点坐标为()1,0，将OBA △绕顶点A 顺时针旋转120︒，得到11AO B ；将得到的11AO B 绕顶点B 顺时针旋转120︒，得到112B AO ；然后再将得到的112B AO 绕顶点2O 顺时针旋转120︒，得到222O B A …按照此规律，继续旋转下去，则2014A 点的坐标为________．
15．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．
16．如图，正方形AEFG 与正方形ABCD 的边长都为2，正方形AEFG 绕正方形ABCD 的顶点A 旋转一周，在此旋转过程中，线段DF 的长可取的整数值可以为______________．
17．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．
18．如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，∠C=30°，AB=2，将ABC 绕着点A 顺时针旋转，得到AMN ，使得点B 落在BC 边上的点M 处，MN 与AC 交于点D ，则ADM △的面积为____．
19．如图，把Rt ABC ∆绕点A 逆时针旋转40︒，得到Rt AB C ''∆，点C '恰好落在边AB 上，连接BB '，则BB C ''∠=___________度．
20．点)
1,5A a -与点()2,5B b +-关于原点对称,则(a +b )2 020=____ ． 三、解答题
21．如图，△ABC 的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B （0，﹣4），C （2，﹣1）． （1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1，直接写出点C 1的坐标为 ． （2）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2，直接写出点C 2的坐标为 ． （3）若△ABC 内一点P （m ，n ）绕原点O 逆时针旋转180°的对应点为Q ，则Q 的坐标为 ．
22．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE ，如图所示，如果AF=4，AB=7，求：
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE 的长度；
（3）BE 与DF 的位置关系如何？
23．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．
（1）试在图中作出△ABC 以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1C 1； （2）若点B 的坐标为(-3，5)，试在图中画出平面直角坐标系，并标出A ，C 两点的坐标． 24．如图，已知△ABC 的顶点均在格点上，A (1，-4)，B (5，-4)，C (4，-1) 以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△111A B C ，并写出点1A ，1B ，1C 的坐标．
25．如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AB =1，∠B =60°，求CD 的长．
26．已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接AD ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ．求证：,BD CE BD CE =⊥；
（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到线段AE ，连接CE ，请画出图形．上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）根据图2，请直接写出,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
旋转中心为点A ，B 与B′，C 与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB ，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′，即可求出∠BAB′的度数．
【详解】
解：∵CC′∥AB ，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C 、C′为对应点，点A 为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°-2∠C′CA=30°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
2．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义即可得．
【详解】
A 、正六边形是中心对称图形，此项不符题意；
B 、线段()213y x x =-+≤≤是中心对称图形，对称中心是点(2,0)，此项不符题意；
C 、圆是中心对称图形，此项不符题意；
D 、抛物线2y x x =+是关于直线12
x =-轴对称的，不是中心对称图形，此项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形、抛物线的图象等知识点，熟练掌握概念是解题关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】
解：A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【解答】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．
【详解】
Q，
如图，点P（3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1
Q，
按顺时针方向旋转90°，得到点2
得点Q所在的象限为第二、四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论．5．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】
此题考查的是轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解决此题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则
△BPP′为等腰直角三角形，由此得到BP，即可得到答案．．
【详解】
解：解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD为正方形，BA=BC，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．7．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，
∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是52，与AB的值相等，从而可以得出点A在△D′E′B的边上．
【详解】
∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，AB=BC=52，
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，
可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴BG=52，
∴BG=AB，
∴点A在△D′E′B的边上，
故选C.
9．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：
A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；
D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故选D.
考点：轴对称图形和中心对称图形识别
10．B
解析：B
【分析】
根据图示进行分析解答即可．
【详解】
齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】
此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
11．D
解析：D
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
∵以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=12
（180°-120°）=30°， ∵AC′∥B B′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．
故选：D ．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
12．D
解析：D
【分析】
设正方形B 的面积为S ，正方形B 对角线的交点为O ，标注字母并过点O 作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM ，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON ，然后利用“角边角”证明△OEF 和△OMN 全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B 的面积的
14
，再求出正方形B 的面积=2正方形A 的面积，即可得出答案．
【详解】
解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，
设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，
∵∠EOF+∠EON ＝90°，∠MON+∠EON ＝90°，
∴∠EOF ＝∠MON ，
在△OEF 和△OMN 中 EOF MON OE 0M
OEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），
∴阴影部分的面积＝S四边形NOEP+S△OEF＝S四边形NOEP+S△OMN＝S四边形MOEP＝1
4
S正方形CTKW，
即图1中阴影部分的面积＝正方形B的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A的面积的四分之一，
∵图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面
积的1
2
，
∴正方形B的面积＝正方形A的面积的2倍，
∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的1
8
，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题
13．80【分析】由旋转的性质可得AB=AB∠ABC=50°再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BBA=50°最后根据平角的定义即可解答【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB∠ABC=50°∵AB=AB
解析：80
【分析】
由旋转的性质可得AB=AB',∠AB' C'=50°，再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'A=50°，最后根据平角的定义即可解答．
【详解】
解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.
∵AB=AB'，
∴∠B=∠BB'A=50°.
∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.
∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．
故答案为80°．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关
键．
14．【分析】计算出的横坐标推出的横坐标再代入即可【详解】观察得知：；且当为偶数时的纵坐标为0；当为奇数时的纵坐标为归纳得出：；代入得；故答案为：【点睛】本题考查了图形的旋转变化正确归纳旋转的规律是解决本 解析：()3022,0
【分析】
计算出1234A A A A 、、、的横坐标，推出n A 的横坐标，再代入2014n =即可．
【详解】 观察得知：152A =，2538222A =+=，38311222A =+=，411314222
A =+=；
且当n 为偶数时，n A 的纵坐标为0；当n 为奇数时，n A 归纳得出：()3112
n n A +-=； 代入2014n =，得20143022A =；
故答案为：()3022,0．
【点睛】
本题考查了图形的旋转变化，正确归纳旋转的规律是解决本题的关键．
15．【分析】先根据旋转的性质可得再根据等边三角形的判定与性质可得然后根据线段的和差即可得【详解】由旋转的性质得：是等边三角形故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质等边三角形的判定与性质等知识点熟练掌握旋 解析：1.8
【分析】
先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得4BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
由旋转的性质得：4AB AD ==，
60B ∠=︒，
ABD ∴是等边三角形，
4BD AB ∴==，
5.8BC =，
5.84 1.8CD BC BD ∴=-=-=，
故答案为：1.8．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16．1或2或3或4【分析】如图连接AF由题意可知AF-AD≤DF≤AD+AF即2-
2≤DF≤2+2由此即可解决问题【详解】解：如图连接AF易知AF=2∵AF-
AD≤DF≤AD+AF∴2-2≤DF≤2+2
解析：1或2或3或4
【分析】
如图连接AF，由题意可知AF-AD≤DF≤AD+AF，即22-2≤DF≤2+22，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图连接AF．
易知2
∵AF-AD≤DF≤AD+AF，
∴22，
∵DF是整数，
∴DF=1或2或3或4．
故答案为：1或2或3或4
【点睛】
本题考查了旋转变换、正方形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为三边关系解决．
17．∠B=90°【分析】根据旋转的性质得AB=CD∠BAC=∠DCA则AB∥CD得到四边形ABCD为平行四边形根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°【详解】∵△ABC绕AC的中点O顺
解析：∠B=90°．
【分析】
根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
【详解】
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
18．【分析】先根据直角三角形的性质可得再根据旋转的性质可得然后根据等边三角形的判定与性质可得又根据三角形的外角性质三角形的内角和定理可得最后根据直角三角形的性质勾股定理可得据此利用直角三角形的面积公式即
【分析】
先根据直角三角形的性质可得60B ∠=︒，再根据旋转的性质可得
2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定与性质可得
60AMB ∠=°，又根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理可得30DAM ∠=︒，
90ADM ∠=︒，最后根据直角三角形的性质、勾股定理可得1,DM AD ==用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2BAC C AB ∠=︒∠=︒=，
60B ∴∠=︒，
由旋转的性质可知，2,60AM AB AMN B ==∠=∠=︒，
ABM ∴是等边三角形，
60AMB ∴∠=︒，
30DAM AMB C ∴∠=∠-∠=︒，
18090ADM DAM AMN ∴∠=︒-∠-∠=︒，
在Rt ADM △中，11,2
DM AM AD ====，
则ADM △的面积为111222
DM AD ⋅=⨯=，
故答案为：
2
． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
19．20【分析】先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°∠BAB′=40°AB=AB′则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′【
解析：20
【分析】
先根据旋转的性质得到∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABB′的度数，然后利用直角三角形两锐角互余计算∠BB′C′．
【详解】
解：∵Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB′C′，点C′恰好落在边AB 上， ∴∠AC′B′=∠C=90°，∠BAB′=40°，AB=AB′，
∵AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B ，
∴∠ABB′=12
（180°-40°）=70°， ∴∠BB′C′=90°-∠CBB′=20°．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．理解旋转前后对应角相等，旋转角相等，对应线段相等是解题关键．
20．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出ab 的值然后相加计算即可得解【详解】∵点与点关于原点对称∴∴∴故答案为1
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标关于原点的对称点横纵坐标都 解析：1
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a 、b 的值，然后相加计算即可得解．
【详解】
∵点)A
与点()2,5B b +-关于原点对称
∴2=0b +
∴1,2a b ==- ∴()
()2 020 2 020211a b =++=- 故答案为1.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 三、解答题
21．（1）图见解析，()2,1-；（2）图见解析，()1,2；（3）(),m n --
【分析】
（1）分别画出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）分别画出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．
（3）根据中心旋转图形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣m，﹣n）．
故答案为：（﹣m，﹣n）．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）旋转中心：点A，旋转角度：90°或270°；（2）DE= 3；（3）BE⊥DF.
【分析】
先根据正方形的性质得到：△AFD≌△AEB，从而得出等量关系AE=AF=4，∠EAF=90°，
∠EBA=∠FDA，找到旋转中心和旋转角度．这些等量关系即可求出DE=AD-AE=7-4=3；
BE⊥DF．
【详解】
解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，
即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；
可得旋转中心为点A；
旋转角度为：90°或270°；
（2）DE=AD-AE=7-4=3；
（3）BE⊥DF ；
延长BE交DF于点G
由旋转△ADF≌△ABE
∴∠ADF=∠ABE
又∵∠DEG=∠AEB
∴∠DGE=∠EAB=90°
∴BE⊥DF．
【点睛】
本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
23．（1）见解析；（2）见解析；A(0，1)，C(-3，1)
【分析】
（1）根据图形旋转的性质画出△AB1C1即可；
（2）根据B点坐标，作出平面直角坐标系，即可写出各点坐标．
【详解】
（1）解：旋转后图形如图所示
（2）解：由B点坐标，建立坐标系如图所示，则A（0,1），C（-3,1）．
【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
24．画图见详解；A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1）．
【分析】
根据网格结构找出点A、B、C关于坐标原点O的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可．
【详解】
解：△A1B1C1如图所示；
A1（-1，4），B1（-5，4），C1（-4，1）．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
25．1
【分析】
利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD=AB ，则可判断△ABD 为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC-BD 即可．
【详解】
∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴BC=2AB=2，
根据旋转的性质得：AD=AB ，
而∠B=60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
∴CD 的长为1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．证明△ABD 是等边三角形是本题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）图见解析，结论仍然成立，理由见解析；（3）
2222AD BD CD =+．
【分析】
（1）先根据等腰直角三角形的定义可得
,90,45AB AC BAC ABC ACB =∠=︒∠=∠=︒，再根据旋转的性质可得
,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；
（2）先根据旋转的定义画出图形，再根据旋转的性质可得,90AD AE DAE =∠=︒，然后根据角的和差可得BAD CAE ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质、垂直的定义即可得证；
（3）如图（见解析），先在Rt ADE △中，根据勾股定理可得222DE AD =，再在Rt CDE △中，根据勾股定理可得22222DE CE CD BD CD =+=+，由此即可得出答案．
【详解】
（1）ABC 是等腰直角三角形，
,90,45AB AC BAC ABC ACB ∴=∠=︒∠=∠=︒，
由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，
BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴≅，
,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，
90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
BD CE ∴⊥；
（2）成立，理由如下：
由题意，画出图形如下：
由旋转的性质得：,90AD AE DAE =∠=︒，
BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴≅，
,45BD CE ACE ABD ∴=∠=∠=︒，
90BCE ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，
BD CE ∴⊥；
（3）如图，连接DE ，
,90AD AE DAE =∠=︒，
∴在Rt ADE △中，22222=+=DE AD AE AD ，
由（2）可知，,BD CE BD CE =⊥，
∴在Rt CDE △中，22222DE CE CD BD CD =+=+，
2222AD BD CD ∴=+，
即,,AD BD CD 三条线段之间的数量关系为2222AD BD CD =+．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．。