河北高一高中数学月考试卷带答案解析

河北高一高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.在中，已知，则的长为（）
A．2B．1C．2或1D．4
2.从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（）
A．不全相等B．均不相等
C．都相等，且为D．都相等，且为
3.甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）
A．B．C．D．
4.设直线过点，其斜率为1，且与圆相切，则的值为（）
A．B．C．D．
5.已知，则（）
A．2B．-1C．-1或2D．1或-2
6.如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为75°、30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（）
A．B．
C．D．
7.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，若实数满足
，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8.已知向量，且，则（）
A．B．C．D．
9.若，化简（）
A．B．
C．D．
10.已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．B．C．D．
11.某人在点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到，测得塔顶的仰
角为30°，则塔高为（）
A．15米B．5米C．10米D．12米
12.已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
2.在中，已知，三角形面积为12，则________．
3.设点是的外心，，则________．
4.已知函数的部分图象如下图，其中，分别是的角所对的边，
，则的面积________．
三、解答题
1.已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为且，求数列的前项和．
2.在中，设角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求边的大小．
3.某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为
6．
（1）估计所抽取的数学成绩的众数；
（2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2 人进行点评，求分数在恰有1人的概率．
4.如图，已知是半圆的直径，，是将半圆圆周四等分的三个分点．
（1）从这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率．
5.数列满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求．
6.已知数列中，，其前项和满足．
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求数列的前的和．
河北高一高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.在中，已知，则的长为（）
A．2B．1C．2或1D．4
【答案】C
【解析】由余弦定理可知，所以，故选C.
【考点】余弦定理．
2.从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（）
A．不全相等B．均不相等
C．都相等，且为D．都相等，且为
【答案】C
【解析】从人中剔除人，每人不被剔除的概率是，剩下的人抽取人，每人被抽到的概率是，因此在人中，每人入选的概率是，故选C.
【考点】抽样方法．
3.甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为和棋概率为，乙获胜概率为，所以甲获胜概率是，故选C.
【考点】概率．
4.设直线过点，其斜率为1，且与圆相切，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可设直线方程为，因为与圆相切，所以，可得，故选B.【考点】直线与圆的位置关系．
5.已知，则（）
A．2B．-1C．-1或2D．1或-2
【答案】A
【解析】由可得，解之得，
又因为，所以，故选A.
【考点】1、二倍角公式；2、“”的代换.
【方法点晴】本题是一个三角函数的二倍角公式以及“”的代换方面的综合性问题，属于容易题.解决本题的基本思路是：“弦切”互化，为此联想到将已知式中的“”化为，然后再将分子分母同除以，进而得到关于的方程，从而可解得的值.另外本题也可考虑用“万能公式”解决.
6.如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为75°、30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（）
A．B．
C．D．
【解析】如图所示，在三角形中，，，气球的高度是，所以，又，由正弦定理得，从而，故选C.
【考点】正弦定理、余弦定理.
7.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，若实数满足
，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于函数是定义在上的偶函数，所以，所以
可化为，由于函数在区间单调递增，可知，解得的取值范围是，故选C.
【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.
8.已知向量，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可知，解得，故选A.
【考点】1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积.
9.若，化简（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由诱导公式得
，故选B.
【考点】诱导公式．
10.已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解析】先化简
，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，故选D.
【考点】1、三角函数二倍角公式、降次公式；2、极端不等式恒成立.
11.某人在点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到，测得塔顶的仰
角为30°，则塔高为（）
A．15米B．5米C．10米D．12米
【答案】C
【解析】如图所示，，其中，设塔高，在三角形中，由余弦定理得，解得，故选
C.
【考点】1、解三角形；2、正、余弦定理.
【方法点晴】本题是一个与空间几何体相结合的解三角形问题，属于中档题.解决本题的基本思路及关键是要理清
题中的各“元素”之间的关系，其中最为重要的如何将题目的条件转化为三角形中的边与角，在此基础上，结
合直角三角形的边角关系以及三角形的正弦定理、余弦定理，即可求得所需结论.
12.已知函数，若方程有四个不同解，且，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象如图，由图可知
，所以，，由于
是增函数，所以的取值范围为，故选A.
【考点】1、分段函数；2、方程的根.
【方法点晴】本题是一个关于分段函数及其根的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：首先应作出分段
函数的图象，通过得出四个不同解之间的关系，最后把
转化为关于的函数，再结合函数的单调性即可求出其取值范围.
二、填空题
1.等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
【答案】
【解析】根据投影的定义可知在方向上的投影为＝，
故答案填.
【考点】向量的投影．
2.在中，已知，三角形面积为12，则________．
【答案】
【解析】在三角形中，因为，所以，从而，故答
案填.
【考点】1、三角形的面积；2、二倍角公式.
3.设点是的外心，，则________．
【答案】
【解析】设的中点是，则，，所以
，故答案填.
【考点】1、三角形的重心；2、平面向量的数量积.
【方法点晴】本题是一个关于平面向量的数量积方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是：首先要
把向量用平面向量的一组基地表示出来，其中应特别注意三角形的重心的性质，然后再根据平面
向量的数量积的定义及平方差公式就可求出所需的结果，使问题得以解决.
4.已知函数的部分图象如下图，其中，分别是的角所对的边，
，则的面积________．
【答案】
【解析】由图可知，函数的最大值为，可解得，又，所以，即，由图可得，，所以，因为，所以．即，又
，所以，所以，结合可得，所以．
【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角形的面积.
【方法点晴】本题是一个关于三角函数的图象和性质以及三角形的面积方面的综合性问题，属于中档题.解决本题
的基本思路是：首先根据三角函数的图象求出的值，然后再根据图象求出周期，进而求出的值，从而求出
函数的表达式，再根据条件求出角的三角函数值，进而得到三角形的面积，使问题得到解决.
三、解答题
1.已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为且，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据的关系并结合对的讨论就可得到数列的通项公式；（2）根据（1）的结论，首先
求出数列首项以及公比的值，进而得到数列的通项公式，再根据等比数列的求前项和公式就可求出
数列的前项和．
试题解析：（1）因为数列的前项和，
所以当时，，
又当时，，满足上式，
（2）由（1）可知，又，所以．
又数列是公比为正数等比数列，所以，又，所以
所以数列的前项和
【考点】1、等差数列、等比数列；2、数列的通项公式；3、数列的前项和公式.
2.在中，设角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求边的大小．
【答案】（1）；（2）．
【解析】对于问题（1）首先根据已知条件并结合正弦定理可先求出角的三角函数值，再根据角的范围，然后
即可求出角的大小；对于问题（2），根据（1）的结论并结合三角形的余弦定理就可求出边的大小．
试题解析：（1）因为，所以
即，又因为，所以，所以，
又因为，所以
（2）因为，即
所以，解得（舍），
【考点】三角形正弦定理、余弦定理．
3.某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为
6．
（1）估计所抽取的数学成绩的众数；
（2）用分层抽样的方法在成绩为和这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2 人进行点评，求分数在恰有1人的概率．
【答案】（1）众数为；（2）.
【解析】对于问题（1）众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标；对于问题（2）首先应求出样本容量，再根据频率分布直方图求出第四组的频数以及第五组的频数，最后根据超几何分布即可得到所求的概率.
试题解析：（1）由频率分布直方图可知：样本的众数为．
（2）由频率分布直方图可得：第三组的频率：，，所以第四组的频数：；第五组抽取．记抽到第四组的三位同学为，抽到第五组的两位同学为则从个同学中任取人的基本事件有：
，共种，其中分数在恰有人有：，共种．所求概率：．
【考点】1、频率分布直方图；2、超几何分布.
4.如图，已知是半圆的直径，，是将半圆圆周四等分的三个分点．
（1）从这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】对于问题（1）首先求出从个点中任取个点，一共可以组成的三角形的个数，再求出以为直径的三角形的个数，即可求出所求的概率；对于问题（2）首先求出当三角形的面积等于时点在半圆内的位置，然后再根据几何概型即可求得所需的结论.
试题解析：（1）从这个点中任取个点，一共可以组成个三角形：
，其中是直角三角形的只有
个，所以组成直角三角形的概率为．
（2）连接，取线段的中点，则，
易求得，当点在线段上时，，
所以只有当点落在阴影部分时，面积才能大于，而
，所以由几何概型的概率公式得的面积大于的概率为．
【考点】1、古典概型；2、几何概型.
5.数列满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】对问题（1）将已知条件进行变形构造出的关系式，再结合等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；对于问题（2）先根据（1）的结论求出数列的通项公式，再结合对的奇偶性讨论，即可
求得.
试题解析：（1）证：由已知可得，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得，所以，
因为，
所以
当为偶数时，；
当为奇数时，
综上，．
【考点】1、等差数列；2、数列的求和.
【思路点晴】本题是一个关于等差数列方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对问题（1）将已知
条件进行变形构造出的关系式，再结合等差数列的定义，即可证明数列是等差数列；对于问题（2）先根据（1）的结论求出数列的通项公式，再结合对的奇偶性讨论，即可求得.
6.已知数列中，，其前项和满足．
（1）求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求数列的前的和．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】对于问题（1）根据已知条件并结合的关系即可得到的关系；对于问题（2）可根据（1）的
结论并结合“叠代法”即可得到数列的通项公式；对于问题（3）可根据（2）的结论首先得出数列的通
项公式，再结合对讨论即可求得数列的前的和.
试题解析：（1）由题意知，即
（2）所以
检验知时，结论也成立，故
（3）由
所以．
故．
【考点】1、等差数列；2、数列的求和.
【思路点晴】本题是一个有关等差数列方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对于问题（1）根据已知条件并结合的关系即可得到的关系；对于问题（2）可根据（1）的结论并结合“叠代法”即可得到数列的通项公式；对于问题（3）可根据（2）的结论首先得出数列的通项公式，再结合对讨论即可求得数列的前的和.。