基本数学模型-量纲分析

本解系为 ys ( ys1, ys2 , , ysm )T , s 1, 2, , m r
则 m
s q j ysj , s 1,
j 1
,mr
为
m
r个相互独
Edgar Buckingham （1867－1940）
立的无量纲量，且 F (1, 2, , mr ) 0 美国物理学家
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单摆运动
,qm) 0 与原定律等
价，则称i1该定律与单位选取无关
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Buckingham 定理
• 设有 m 个物理量 q1, q2, , qm，
n
[qi ]
X aij i
,
j
1,
, m,
i 1
f (q1, q2, , qm ) 0 是与量纲单位选取无关
的物理定律。量纲矩阵 A (aij )nm 的 秩为 r ，齐次线性方程组Ay 0 的基
• 量纲分析：利用量纲齐次原则寻求物理量 Joseph Fourier
之间的关系
（1768－1830）
法国数学家、物理学家
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国际单位制
• 基本量纲与基本单位
长度 质量 时间 温度 电流 物质的量 发光强度
LM
T
I
N
J
米 千克 秒 开尔文 安培 摩尔 坎德拉
• 导出量纲
• 加速度 [a] LT 2 力 [ f ] LMT 2
• 一小球系在线的一端，稍偏离平衡位 置后小球在重力作用下做往复摆动， 忽略阻力，求摆动周期的表达式
• 物理量及其关系
• 质量 m 、线长 l 、重力加速度 g 、周期 t
t mx1l x2 g x3 m y1l y2 g ty3 y4
L y2 y3 0 M y1 0
T 2 y3 y4 0
f k m1m2 r2
• 引力常数 [k] LMT 2 L2 M 2 L3M 1T 2
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单位选取无关性
• 设 X1, X2, , Xn是一组基本量纲，单位制的改变相
当于选取一组常数 1, 2, , n，使在原单位制下量
纲新为单位X1制, X下2, 取, 值X n，为取x1 值 为x1,
x1, x2
y (0, 1,1, 2) 点
• 正确确定各物理量，不能遗留，也不要加 入与问题无关的量
• 定律中仍然包含的未定函数和常数，无法 通过量纲分析法得到
• 量纲分析必须和对问题物理内涵的分析相 结合
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基本数学模型
量纲分析
量纲
• 物理量的属性，称为量纲（dimension）
• 基本量：具有独立量纲的物理量
• 导出量：量纲可以表示为基本量量纲的组合的 物理量
• 量纲齐次原则（Dimensional Homogeneity）：
用数学公式表示一个物理定律时，等号两
端必须保持物理量的一致
Jean Baptiste
x2 ,
x2
, ,
xn 的物理量，在
, xn xn
•
设物理量 n
q1,
q2 ,
, qm满足物理定律 f (q1, q2,
, qm ) 0 ，
[q j ]
X aij i
,
j
1,
, m，若对任意常数 1, 2 ,
, n ，
若令 i1 n
qj
aij i
q
j
,
j
1,
, m ，f (q1, q2,