振动理论-第二章-模拟题解答

第二章习题
2—1
一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。

重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。

在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。

设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？
题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变0010
0.520
F L cm cm k =
== 设重块将下落h m ，则：
22
12.[()]
W h k h L L =+- 于是： 4h cm =
2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。

轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。

圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。

解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ
恢复力矩： 1
2
p p GI GI l l +
由动静法得
1
20p p GI GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
因此
2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。

()122
12
4
32
2p p GI l l Jl l d I f ωπωπ
+=
==
且
由以上各式得
线长为l ，
两线相距为2a 。

试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。

解：AB 杆绕重心摆动，则：
(
)2
22
2c o s 200: 2
12330
=: 2J a Wa F T T l l
J Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθ
ϕθθ
θθθωωπ===+=+
===+=∴=
=
惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率
2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。

弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量
W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

A
B
(a)
(b)
解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度
3
3
()2348l mg mgl EI EI
=
=
3
148l mg
EI
k =
=
（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联
11348e EI k k k k l
=+=+
弹簧质量系统的固有频率112f π
=
已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN
代入数据得
111.14f Hz =
（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联
1
21
*e k k k k k =
+
所以
212f π=
代入数据得
2 4.82f Hz =
2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。

试求系统的相对阻尼系数ζ。

【解】 由（2-33）式得
15()51
6
2T A e e A ζωδ=== 两端取对数，得
1ln 25()T ζω==
2222ln 2ln 21011000.0221
ζπζπζ=⇒=-⇒=
2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动
频率。

解：系统运动时的受力如上所示
由动静法原理可得：
0002222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⇒=∑x l
b k x l a
c x
m b x l
b
k a x l a c l x m A
令22l ca C e = ， 22
l
kb K e =
则m w C e 2=
ξ ，m
k l b W m K W e ⋅=⇒=2
振动频率： 2
42222
222
421211c a b kml ml
m
k l b wml a c W W d -=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-=ξ
2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d cm l cm ==剪切弹性模量
628*10/G N cm =。

圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·cm ·2s ,并在
5s i n 2M t ππ=(k N ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。

2-11
解：惯性力矩 J θ∙∙
恢复力矩 2
p GI l
微分方程 2
5s i n 2p GI J t l
θππ∙∙
+= 所以，振幅 252
(2)
p B GI J l
π
π=
-
已知2,40d cm l cm == ，628*10/G N cm =，10J kN =·cm ·2
s ,
代入数据得 0.0672B r a d =
2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。

R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。

求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2
）考虑阻力时，质量块
的位移和放大因子。

解： 系统运动方程为： t F kx x c x m 00sin ω=++
系统的稳态响应：
2
2200
2)2()1()sin()(ζλλϕω+--=
t k
F t x
其中：
9
.1196
8
.91020192
=⨯⨯==
ω
ωλ
4002c
m c =
=
ωζ
)
12arctan(2λζλ
ϕ-=
忽略阻力时，即，,0=c 则 00==ϕζ，
放大因子：
383
.0211
2
2
2=+-=
）
（）（ζλλβ
则系统的响应为：
t t k F t x 19sin 306.0sin )(00
2=⋅=
ωβ
（2）考虑阻力时，则：cm s N c /56.2⋅= 1
64.0-=rad ζ
放大因子：
28
.0)
2()1(12
2
2=+-=
ζλλβ
75.0-=ϕ
则系统的响应为：
)75.019sin(224.0)sin()(00
2-=-⋅=
t t k F t x ϕωβ
2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为1
2s -，弹簧刚度为30/k N cm =，黏性阻
尼系数./c N s cm =。

求在外力20cos3()F t N =作用下的振幅和相位角。

解答：由题可知： 032ωλω== ；015*30.5222*30*1.5
c c m k ωζωλ==== 由于 020F N =
则
00.342F B cm k =
=
'2
2arctan(
)129481ζλ
ϕλ
==- 2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t =，0x ='
0x =0和质量块上受有
F =0sin F t ω时的响应。

解：阻尼较小时，即1ξ<，系统响应为
0(cos sin )sin()t d d x e C t D t B t ξωωωωϕ-=++-
'00(cos sin )(sin cos )cos()
t t d d d d x e C t D t e C t D t B t ξωξωξωωωωωωωϕ--=-++-++-
其中，2
2arc tan
1B ξλ
ϕλ=
=- 代入初始条件0x ='
0x =0，解得
00
sin ,(sin cos )B
C B
D ϕξωϕωϕω==
-
因此，系统响应为
001
[sin cos (sin cos )sin ]sin()}
t d d d
x e t t t ξωϕωξωϕωϕωωϕω-=
+
-+-2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg ， 弹簧的总刚度k=700N/cm 。

电动机轴上有一偏心质量为1kg ，偏心距离e=10cm ，电机转 速n=2000r/min ，求平台的振幅。

解：由公式02n ωπ=得
02n ωπ==
22000200//603
rad s rad s ππ
⨯=
该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：
2
00sin Mx cx kx me t ωω++=
式中，100,1,10,0M kg m kg e cm c ====
圆频率/s ω=
== （）
频率比079.161ωλω=
==>> 设稳态响应0sin()x B t ωϕ=-则，
由公式2
B =（0ζ=）
0.102B cm =
2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。

t a x s 0sin ω=
题2-17图
解：系统运动微分方程为：
t
ka kx x c x m 0.
..
sin ω=++
方程的解可表示为：)()()(21t x t x t x +=
其中)(2t x 为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：
)sin()(02ϕω-=t B t x
将)(2t x 及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：
2
02
20)()(ωωc m k ka
B +-=
令 λωω=/0 ，则2
2
0λω=k m ，λζω20=k c ，从而得2
22)2()1(ζλλ+-=a B
于是得系统的稳态响应为：
22202)2()1()sin()(ζλλϕω+--=
t a t x
相应地求得相位角：
⎪⎭⎫
⎝⎛-=212arctan λζλϕ
2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。

解：
)
sin()(t w a x x x k x c x
m o s s =---=
得t w ka kx x c x
m o sin =++
∑=;0O
M
l m l m 2'⋅=；θk x ='；
则 方程转化为 t w ka kx x c x
m 0sin 24=++
m
k
w c =
，c m w w 21=
2
22)
2()1(2'2λξλ+-==a
B B
2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。

试求其稳定振动的响应。

1
解：先将()F t 由图可知，激励的均值
02
a = ()0034430000442cos 222cos cos cos 23sin sin 22T
j T T
T
T T a F t j tdt T
j tdt j tdt j tdt T T T j j j ωωωωπππ
==-+⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭⎰⎰⎰⎰ ()0034430000442cos 222sin sin sin 2
3cos cos 220
T
j T T
T
T T b F t j tdt T
j tdt j tdt j tdt
T T T j j j ωωωωπππ
=
=-+⎛⎫=-- ⎪
⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰
()01
000000cos 4
4
4
cos cos3cos51.27cos 1.27cos3 1.27cos5j j F t a j t
t t t t t t ωωωωπ
π
π
ωωω∞
=∴==
-
+
+
=-++
∑
00
21T
π
ωωωω=
=∴=
∴系统的响应为
()
2
1000222100cos 1cos cos3cos51.27 1.27 1.27lim
11315
0.160.05
cos3cos5j j j a j t
x k t t t
k k k t t k k λωλωωωλωω∞=→=-=
-
++---=-∞+-+
∑
2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。

试求其稳态振动的
响应。

解：周期T=
2πω0
2π
ω
F （t ）=000000000000020,223(),222232(),2F t t F t t F t t ωππωωππππωωωωππππ
ωωω⎧⎡⎤
-----------∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪
⎪⎡⎤⎪
--------∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪⎡⎤⎪--------∈⎢⎥
⎪⎣⎦⎩
11 / 11 由图知：
()()()12000
00
30004430000000440002202
2cos 02sin 22222sin ()sin ()sin 02,4,6811,3,5j t j t j T T T T T a a F t jw tdt T b f t jw tdt T w w w F t jw tdt F t jw tdt F t jw tdt T w w j F j j ππππππ-====⎡⎤=+-+-+⎢⎥⎣⎦
--------------=⎧⎪⎨---------=⎪⎩
⎰⎰⎰⎰
⎰因为是无阻尼系统002
2201,2,31,2,31(1)sin sin 2(1)(1())j j j j j jw t jw t jw k k j w ωξλωλπ∞∞
==--⇒--∑∑0j 02，所以=0 =j
b 8F 系统响应：x== 2—23.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按ｘ运动的响应
解：为支承运动，()y a τ=，用杜哈美积分
2'()01
(2)s i n (
)t t d d x y y e t dt ξωτωξωωτω--=⎰+- 系统无阻尼，故0ξ=，d ωω=
201
s i n ()t
x a t d t
ωτω=⎰- 解得 (1cos )x a t ω=-
x。