2020-2021学年河南省郑州市女子中学高三数学理下学期期末试题含解析

2020-2021学年河南省郑州市女子中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知方程|x－2n|=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )
(A)k>0 (B)0<k≤
(C)<k≤(D)以上都不是
参考答案：
B
解：由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0．
由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选B．
又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有两个公共点．x2－(4n+k2)x+4n2=0有(2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k2)2－16n2>0．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－
1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1． k≤．
2. 函数的部分图象可能是（）
A． B． C.
D．
参考答案：C
3. 已知分别是椭圆的左右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于
两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
不妨设A点的坐标为，则，要使是锐角三角形，需满足，又
，所以，整理，得：，所以，解得：。

4. 已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）
A．B．5 C．D．
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，
∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，
则|x+yi|=|﹣3+4i|==5．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得
x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e x﹣2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“Ω集合”的序号是（）
A
解答：
解：对于①y=是以x ，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，
所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足Ω集合的定义；
在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足Ω集合的定义，不是Ω集合．
对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，
对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，
使得x1x2+y1y2=0成立，
例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足Ω集合的定义，
所以是Ω集合；正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3），
对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
例如（0，1）、（π，0），满足Ω集合的定义，所以M是Ω集合；正确．
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是Ω集合．
所以②③正确．
故选A．
6. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
7. 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e x+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）
A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞）
参考答案：
A
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】确定函数的单调性，不等式转化为3﹣x2＞2x，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e x+x2，
∴当x＞0时，函数单调递增，
∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∵f（3﹣x2）＞f（2x），
∴3﹣x2＞2x，
∴（x+3）（x﹣1）＜0，
∴﹣3＜x＜1，
故选A．
8. 设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：
①若数列既是等差数列，又是等比数列，则；
②若，则数列是等差数列；
③若，则数列是等比数列.
其中真命题的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D. 3
参考答案：
D
略
9. 已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈R}，集合N=（0，1]，则集合M与N的关系（）
A． M?N B．N?M C．M=N D．N?M且M?N
参考答案：
B
10. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）
A．32，63 B．64，63 C．63，32 D．63，64
参考答案：
D
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=63时，不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=1
满足条件s＜50，s=1，k=2
满足条件s＜50，s=3，k=4
满足条件s＜50，s=7，k=8
满足条件s＜50，s=15，k=16
满足条件s＜50，s=31，k=32
满足条件s ＜50，s=63，k=64
不满足条件s ＜50，退出循环，输出s ，k 的值分别为：63，64． 故选：D ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s ，k 的值是解题的关键，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量，，满足|≥60°，则||的最大值等
于 ．
参考答案：
2
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题．
【分析】利用向量的数量积求出， 的夹角；利用向量的运算法则作出图形；结合图形利用四点共圆；通过正弦定理求出外接圆的直径，求出||最大值． 【解答】解：∵||=||=1，
?=
﹣ ∴， 的夹角为120°， 设
OA=，OB=，OC= 则=﹣；
=﹣
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆 ∵=﹣
∴
2
=2﹣2?+2=3 ∴AB=
，
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R==2
当OC 为直径时，||最大，最大为2 故答案为：2．
【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理． 12. 函数
的定义域为________
参考答案：
略
13. 已知随机变量
的分布列如下表，又随机变量
，则
的均值
是 ． 参考答案：
由已知
，的均值为
，∴的均值为
，
故答案为．
14. 一个三棱锥内接于球
，且
，
，
，则球心
到平面
的距离是 ．
参考答案：
15. 已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4﹣2a 2=4，a 3=4．则a n = ，S 10= ．
参考答案：
2n﹣1，1023。

【考点】等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a4﹣2a2=4，a3=4．可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4﹣2a2=4，a3=4．
∴，解得，
则a n=2n﹣1，S10==1023．
故答案分别为：2n﹣1；1023．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．
参考答案：
（﹣5，0）∪（5，﹢∞）
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用；集合．
分析：作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．
解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，
∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），
则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．
故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
17. ．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值
是
．
参考答案：
6
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．
【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出结论．
【解答】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4； 第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+
=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i ＜6？ 故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分） 设函数
，且
，求函数
的单调区间及其极大值。

参考答案：
3分
当
时，
，
在
上单增，此时无极大值； 5分
当时，或，
在和上单调递增，在上单调递减。

………8分[K]
此时极大值为
9分
当
时，
或
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减。

………11分[K]
此时极大值为
12分
19. （本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
．
（1）求的值；
（2）若cosB=
，b=2，的面积S 。

参考答案：
（1）由正弦定理，设
则
所以
即
，
化简可得
又， 所以
因此
（2）由
得
由余弦定理
解得a=1。

20. 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，）判断点P与直线l的位置关系
（Ⅱ）设点Q是曲线C上一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．
参考答案：
考点：参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）首先把直线的参数方程转化成直角坐标方程，把点的极坐标转化成直角坐标，进一步判断出点和直线的位置关系．
（Ⅱ）把圆的参数方程转化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离，进一步求出圆上的动点到直线距离的最值．
解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：，
点P的极坐标为（4，），则点P的直角坐标为：
由于点p不满足直线l的方程，
所以：点p不在直线上．
（Ⅱ）曲线C的参数方程为（θ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=1
圆心坐标为：（2，0），半径为1．所以：（2，0）到直线l的距离d=．
所以：动点Q到直线l的最大距离：．
动点Q到直线l的最小距离：．
点评：本题考查的知识要点：直线的参数方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标和直角坐标的互化，点与直线的位置关系，点到直线的距离的应用．属于基础题型．
21. （本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小值和最小正周期；ks5u
（2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值。

参考答案：
（1），…………3分
则的最小值是，最小正周期是；…………6分
（2），则，…………7分
,,所以，
所以，，…………9分
因为，所以由正弦定理得，……①…………10分
由余弦定理得，即……②…………11分
由①②解得：，．…………12分
略
22. (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．
①若，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．
参考答案：。