河北省黄骅2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(理)试题Word版含答案

黄骅中学2016－2017年度高中二年级第一学期第三次月考
数学试卷（理科）
命题人： 审定人：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2 页，第Ⅱ卷3 至 6页。

共150分。

考试
时间120分钟。

第Ⅰ卷（客观题 共60 分）
注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。

一、选择题（每小题5分，共60分）
1.“吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间存在什么关系（ ） A. 正相关 B. 负相关 C. 无相关 D. 不确定
2．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－1
2
C ．x ＝16，y ＝－32
D ．x ＝－16，y ＝2
3
3.6-=a 是直线()031:1=--+y a ax l 和直线()()02321:2=-++-y a x a l 垂直的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既非充分也非必要条件
4.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
9
5
,则 ( ) A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 5.将389化成四进位制数的末位是 （ ） A.0
B.1
C.2
D.3
D 、3
6. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）.
A ．23与26
B ．31与26
C ．24与30
D ．26与30
7．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的 三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
1
2 4
2 0
3 5 6 3 0 1 1 4
1
2
A ．
43 B ．3
2 C ．31 D ．21
8.实验测得四组(),x y 的值为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，
则x 与y 之间的回归直线方程为（ ） A. 1y x =
+ B. 2y x =+ C. 21y x =+ D. 1y x =-
9.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在
10.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 （ ）
A.
3 B.552
C.5
D.5
11.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2
，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2
12．已知F 1，F 2分别为双曲线122
22=-b
y a x (a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若
|PF 1|2
|PF 2|
的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3]
第Ⅱ卷（共90 分）
注意事项：第Ⅱ卷共4 页，用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。

二、填空题（每小题5分，共20分）
13．命题“若a ＞b ，则2a
＞2b
－1”的否命题为 ；
14.已知F 1、F 2是椭圆4
2x +y 2
=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值
是 . 15．
=-+-⎰
dx x x 4
|)3||1(| ____________.
16．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是_________.
三、解答题（共70分）
17.(10分）已知p: 23
1
1≤--
x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
求实数m 的取值范围.
18.（12分）
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为b a ,.
（Ⅰ）求直线05=++by ax 与圆122=+y x 相切的概率；
（Ⅱ）将5,,b a 的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
19、（12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD . (1)证明：PA ⊥BD ；
(2)若PD ＝AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．
20．（12分）设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围.
21. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(. （1）求双曲线C 的方程；
（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.
22、（12分）已知函数11
()ln()x
f x x x =+-+. （1）求()f x 的单调区间；
（2）求曲线()y f x =在点（1，1()f ）处的切线方程； （3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b a b a
-≥-．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.B
7.D
8.A
9.B 10.D 11.B 12.D 13.若b a ≤，则122-≤b
a
.
14. 4 15. 10 16.52 17.解：由p ：23
1
1≤--
x .102≤≤-⇒x ()()'
10.92
1101.
,,
11:,
210:.110122
-------≥⎩⎨
⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 18.解：（Ⅰ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． 因为直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2
＋y 2
=1相切，所以有
1=即：a 2＋b 2=25，由于a,b ∈｛1，2，3，4，5，6｝.
所以，满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况． 所以，直线ax ＋by ＋c=0与圆x 2
＋y 2
=1相切的概率是
21
3618
= --------6分
（Ⅱ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． 因为，三角形的一边长为5
所以，当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种 当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6， （5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 故满足条件的不同情况共有14种. 所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为147
3618
=． ----------- 12分
19.证明：(1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD . 从而BD 2
＋AD 2
＝AB 2
，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD .
所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD . --------4分 (2)解 如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射
线DA 为x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，
P (0，0，1)．
AB →
＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →
＝(－1，0，0)．
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0.即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，
3y －z ＝0.
因此可取n ＝(3，1，3)．
设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，
m ·BC →＝0.
可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427
＝－27
7.
故二面角A ­PB ­C 的余弦值为－27
7. ----------12分
20..解：（Ⅰ）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =． -----------4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 2
98c c +<，
解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞，，． ---------12分
21.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由
故双曲线C 的方程为.1322
=-y x --------4分 （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,
0312
222
k k k k
即.13
1
22
<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319
,31262
2>+>⋅--=-=
+B A B A B A B A y y x x OB OA k
x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1
37
3231262319)1(22222
-+=+-+--+=k k k k k k k
于是解此不等式得即,01
393,213732
222>-+->-+k k k k .331
2<<k ②
由①、②得
.13
1
2<<k 故k 的取值范围为).1,3
3
()33,1(⋃-- -----------12分 22.解：（1)2
)
1()(+=
x x x f 当)0,1(-∈x 时，0)('<x f ； 当),1(+∞∈x 时，0)('>x f .
所以，)(x f 的单调递增区间（-1,0），单调递减区间),1(+∞. --------------4分
（2）
212ln )1(-
=f ，41
)1('=f ，
切线方程为
432ln 41-+=
x y . --------------8分
（3）证明：要证对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b
a b a
-≥-
． 只需证
01ln
≤+-a b
a b
设)0(1ln )(>+-=x x x x f ，则
x x
x f -=
1)('
当)1,0(∈x 时，0)('>x f ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x f .
所以，0)1()(=≤f x f ，结论得证. ----------12分。