matlab在傅里叶函数中的应用

下面题目例4-1：求
的傅立叶变换。

例4-2：求
的傅立叶逆变换。

例4-3：设
，、试画出
及其幅频图。

例4-4：已知门信号
，求其傅立叶变换。

例4-5：设
，用MATLAB求
的频谱
，并与
的频谱
进行比较。

例4-6：设
，
试用MATLAB绘出
，
及其频谱（幅度谱和相位谱），并对二者频谱进行比较。

例4-7：设
，试用MATLAB绘出
及
的频谱
和
，并与
的频谱
进行比较。

例4-8：设
，
，试用MATLAB绘出
，
，
，
及
，验证式（4-10）。

例4-9：设
，已知信号
的傅立叶变换为
，利用MATLAB求
的傅立叶变换
，验证对称性。

例4-1：求
的傅立叶变换。

解：利用如下MATLAB命令实现：
yms t
fourier(exp(-2*abs(t)))
ans =
4/(4+w^2)
若傅立叶变换的结果变量希望是，则可执行如下命令：
syms t v
fourier(exp(-2*abs(t)),t,v)
ans =
4/(4+v^2)
例4-2：求
的傅立叶逆变换。

解：利用如下MATLAB命令实现：
syms t w
ifourier(1/(1+w^2),t)
ans =
1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t) 其中，Heaviside(t)即为单位阶跃函数。

例4-3：设
，、试画出
及其幅频图。

解：MATLAB命令如下：
syms t v w x;
x=1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');
F=fourier(x);
subplot(211);
ezplot(x);
subplot(212);
ezplot(abs(F));
程序运行结果如图4-1所示。

程序中的Heaviside(t)是调用了Symbolic Math Toolbox的Heaviside.m文件，内容为：
function f= Heaviside(t)
f=(t>0);
例4-4：已知门信号
，求其傅立叶变换。

解：由信号分析可知，该信号的频谱为，其第一个过零点频率为
，一般将此频率认为信号
的带宽。

考虑到
的形状，将精度提高到该值的50倍，即
，据此确定取样间隔：
实现该过程的MATLAB程序如下：
R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2);plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)');
title('f(t)的付氏变换F(w)');
程序运行结果如图4-2所示。

例4-5：设
，用MATLAB求
的频谱
，并与
的频谱
进行比较。

解：将例4-4的程序进行修改，就可得到该例的MATLAB程序，即将信号改：f=Heaviside(2*t+1)-Heaviside(2*t-1)，其它语句不变。

运行结果如下：
通过图4-3与图4-2比较可见，
将
展宽了一倍，而幅度将为
的一半。

2、时移特性
若
，则傅立叶变换的时移特性为：
（4-8）
下面举例说明傅立叶变换的时移特性。

例4-6：设
，
试用MATLAB绘出
，
及其频谱（幅度谱和相位谱），并对二者频谱进行比较。

解：求解
程序命令如下：
r=0.02;
t=-5:r:5;
N=200;
W=2*pi*1;
k=-N:N;
w=k*W/N;
f1=1/2*exp(-2*t).*Heaviside(t);
F=r*f1*exp(-j*t'*w);
F1=abs(F);
P1=angle(F); subplot(311);
plot(t,f1);
grid;
xlabel('t');
ylabel('f(t)'); title('f(t)'); subplot(312);
plot(w,F1);
xlabel('w');
grid;
ylabel('F(jw)'); subplot(313);
plot(w,P1*180/pi); grid;
xlabel('w');
ylabel('P(度)');
运行结果如图4-4所示。

将求解
频谱的程序进行适当修改，即可得到求解
频谱的程序，即将t=-5:r:5修改为t=-2:r:2；f1修改为f1=1/2*exp(-2*(t-
0.3)).*Heaviside(t-0.3)；将ylabel(‘f(t)’)修改为ylabel(‘y(t)’)；将t itle(‘f(t)’) 修改为title(‘y(t)’)。

修改后程序运行结果如图4-5所示。

通过图4-4和图4-5比较可得，当时域波形右移后幅度谱不变，相位增加。

同样，将上述程序稍加修改可得到求解左移信号的频谱图，请同学们自己完成。

3、频移特性
若
，则傅立叶变换的频移特性为：
（4-9）
下面举例说明傅立叶变换的频移特性。

例4-7：设
，试用MATLAB绘出
及
的频谱
和
，并与
的频谱
进行比较。

解：用MATLAB实现的程序如下：
R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
f1=f.*exp(-j*20*t);
f2=f.*exp(j*20*t);
W1=2*pi*5;
N=500;k=-N:N;W=k*W1/N; F1=f1*exp(-j*t'*W)*R;
F2=f2*exp(-j*t'*W)*R;
F1=real(F1);
F2=real(F2);
subplot(121);
plot(W,F1);
xlabel('w');
ylabel('F1(jw)');
title('F(w)左移到w=20处的频谱F1(jw)'); subplot(122);
plot(W,F2);
xlabel('w');
ylabel('F2(jw)');
title('F(w)右移到w=20处的频谱F2(jw)'); 运行结果如下图所示：
4、时域卷积定理
若
，则：
（4-10）
例4-8：设
，
，试用MATLAB绘出
，
，
，
及
，验证式（4-10）。

解：MATLAB程序如下：
R=0.05;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); subplot(321)
plot(t,f)
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
y=R*conv(f,f);
n=-4:R:4;
subplot(322);
plot(n,y);
xlabel('t');
ylabel('y(t)=f(t)*f(t)');
axis([-3 3 -1 3]);
W1=2*pi*5;
N=200;
k=-N:N;
W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
Y=y*exp(-j*n'*W)*R;
Y=real(Y);
F1=F.*F
subplot(323);
plot(W,F);
xlabel('w');
ylabel('F(jw)'); subplot(324);
plot(W,F1);
xlabel('w');
ylabel('F(jw).F(jw)'); axis([-20 20 0 4]); subplot(325);
plot(W,Y);
xlabel('w');
ylabel('Y(jw)');
axis([-20 20 0 4]);
运行结果如下：
5、对称性
若
，则傅立叶变换的对称性为：（4-11）
例4-9：设
，已知信号
的傅立叶变换为
，利用MATLAB求
的傅立叶变换
，验证对称性。

解：MATLAB程序为：
r=0.01;
t=-15:r:15;
f=sin(t)./t;
f1=pi*(Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)); N=500;
W=5*pi*1;
k=-N:N;
w=k*W/N;
F=r*sinc(t/pi)*exp(-j*t'*w);
F1=r*f1*exp(-j*t'*w);
subplot(221);
plot(t,f);
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
subplot(222);
plot(w,F);
axis([-2 2 -1 4]); xlabel('w');
ylabel('F(w)'); subplot(223);
plot(t,f1);
axis([-2 2 -1 4]); xlabel('t');
ylabel('f1(t)'); subplot(224);
plot(w,F1);
axis([-20 20 -3 7]); xlabel('w');
ylabel('F1(w)');
运行结果如下：。