高考专题06 圆周运动中的临界问题-高考物理一轮复习专题详解 Word版含解析

高考重点难点热点快速突破
1．二种模型 模型 绳模型
杆模型
实例
球与绳连接、水流星、翻滚过山车
球与杆连接、球过竖直的圆形
管道，套在圆环上的物体等 图示
在最高 点受力
重力，弹力F 弹向下或等于零
mg ＋F 弹＝m v
2
R
重力，弹力F 弹向下、向上或等
于零
mg ±F 弹＝m v 2
R
恰好过 最高点 F 弹＝0，mg ＝m v 2
R
v ＝Rg ，即在最高点速度不能为零 v ＝0，mg ＝F 弹
在最高点速度可为零
2.铭记三点
(1)向心力一定指向圆心，而只有做匀速圆周运动的物体的合外力才始终指向圆心． (2)用杆固定小球在竖直面内做圆周运动时，v ＝gR 为杆对小球的弹力为零的条件，也是杆对小球是拉力还是支持力的转折点． (3)熟记动力学方程：
F ＝ma ＝m v 2R ＝m ω2
R ＝m ωv ＝m 4π2
T
2R ＝m 4π2f 2R .
3.规律方法
（1）求解水平面、竖直面内圆周运动问题的思想
（2）．系在绳上的物体在竖直平面内做圆周运动的条件是v高≥gl；绳改为杆后，则v最高≥0均可；
在最高点的速度v最高＞gl时，杆拉物体；
v最高＜gl时杆支持物体；
v最高＝gl时杆的作用力为零．
（3）．物体随圆盘一起做圆周运动的最大角速度为ω＝μg
R
，与物体的质量无关，决
定于物体到圆心的距离R和动摩擦因数μ.
（4）．火车转弯时既不挤压内轨，也不挤压外轨时的行驶速率约为v限＝ghr
L
，取决于
内、外轨的高度差h、内外轨间距L及铁路弯道的轨道半径r.
典例分析：
【例1】(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝kg
2l
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝2kg
3l
时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
【例2】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩
擦因数为
3
2
(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.
则ω的最大值是( )
A. 5 rad/s
B. 3 rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【答案】 C
【解析】在圆周运动的最低点达到临界状态，受力分析，应用正交分解法，列出方程：
μmg cos30°－mg sin30°＝mω2r，把μ＝
3
2
、r＝2.5 m，代入解得临界ω＝1.0 rad/s.
【例3】如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为L＝0.4 m的轻绳拴住在竖直平面内做圆周运动．求
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，细线拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，求小球的速度不能超过多大值？ 【答案】v ≥2 m/s； F 2＝15 N. ； 4 2 m/s. 【解析】
(2)将v 2＝4 m/s 代入①得F 2＝15 N.
(3)由分析可知小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图3－3－5，由牛顿第二定律得
F 3－mg ＝mv 23
L
将F 3＝45 N 代入③得v 3＝4 2 m/s ， 即小球的速度不能超过4 2 m/s. 专题练习
1 .(2017年湖北武汉模拟)如图所示的装置可以测量子弹的飞行速度．在一根轴上相距s ＝1 m 处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n ＝3 000 r/min 的转速匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一条直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个小孔，现测得两小孔所在半径
间的夹角为30°，子弹飞行的速度大小可能是下述的(设在穿过两圆盘的过程中子弹的速度保持不变)( )
A ．500 m/s
B ．600 m/s
C ．700 m/s
D ．800 m/s 【答案】：B
2．(多选)如图所示，半径r ＝0.5 m 的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一小球(小球的半径比r 小很多)．现给小球一个水平向右的初速度v 0，要使小球不脱离轨道运动，重力加速度大小g 取10 m/s 2
，v 0应满足( )
A ．v 0≥0
B ．v 0≥2 5 m/s
C ．v 0≥5 m/s
D ．v 0≤10 m/s
【答案】：CD
【解析】：最高点的临界情况为mg ＝m v 2
r
，解得v ＝gr ，小球从最低点到最高点的过程，
根据动能定理得，－mg ·2r ＝12mv 2－12mv 2
0，解得v 0＝5 m/s.若恰好不通过圆心高度，根据动
能定理有－mgr ＝0－12
mv 2
0，解得v 0＝2gr ＝10 m/s ，所以v 0应满足的条件是v 0≥5 m/s 或
v0≤10 m/s，故C、D正确，A、B错误．
3．如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图象正确的是( )
【答案】：A
4．(2017年河北保定质检)如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
【答案】C
【解析】当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，A、D项错误，C项正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，B项错误．
5．(2017年河南八市重点高中质量监测)如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)处于静止状态，现轻微扰动一下，小环从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，下列说法正确的是( )
A．大环对小环的弹力为3mg
B．大环对小环的弹力为4mg
C．轻杆对大环的弹力为Mg＋5mg
D．轻杆对大环的弹力为Mg＋6mg
【答案】：C
6．(多选)(2017年开封高三5月冲剌)如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 ( )
A．此时绳子张力为T＝3μmg
B ．此时圆盘的角速度为ω＝
2μg
r
C ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动 【答案】：ABC
7．(多选)如图所示，一质量为m 的小球置于半径为R 的光滑竖直圆轨道最低点A 处，B 为轨道最高点，C 、D 为圆的水平直径两端点．轻质弹簧的一端固定在圆心O 点，另一端与小球拴接，已知弹簧的劲度系数为k ＝mg
R
，原长为L ＝2R ，弹簧始终处于弹性限度内，若给小球一水平初速度v 0，已知重力加速度为g ，则( )
A ．无论v 0多大，小球均不会离开圆轨道
B ．若2gR <v 0<5gR ，则小球会在B 、D 间脱离圆轨道
C ．只要v 0>4gR ，小球就能做完整的圆周运动
D ．只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间最大压力与最小压力之差与v 0无关 【答案】：ACD
【解析】：A 、B 项，由题中条件易知弹簧的弹力始终为F k ＝kR ＝mg ，方向背离圆心，易得在最高点以外的任何地方轨道对小球均会有弹力作用，所以无论初速度多大，小球均不会脱离轨道，故A 正确，B 错．C 项，易知，小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，小球做完整圆周运动的临界情况是最高点时速度为零，此情况下，有12mv 2
0＝2mgR ，解得v 0
＝4gR ，所以只要v 0>4gR ，小球就能做完整的圆周运动，故C 正确．D 项，小球做完整的圆周运动时，最高点时小球与轨道间压力最小，设为F 1，最低点时对轨道压力最大，设为
F2，设最高点时速度为v.易得v＝v20－4gR，则有F2＝mg＋kR＋mv20
R
＝2mg＋
mv20
R
，F1＝
mv2
R
＝
mv20
R
－4mg，F2－F1＝6mg，所以只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间的最大压力与最小压力之差与初速度无关，故D正确．
8.(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力F fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离不可能是
A．6 cm B．15 cm
C．30 cm D．34 cm
【答案】AD
【解析】M在水平面内转动时，平台对M的支持力与Mg相平衡，拉力与平台对M的静摩擦力的合力提供向心力．
设M到转台中心的距离为R，M以角速度ω转动所需向心力为Mω2R，
若Mω2R＝T＝mg，此时平台对M的摩擦力为零．
若R1＞R，Mω2R1＞mg，平台对M的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律：
f＋mg＝Mω2R1，
9．(2017·焦作二模)如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直金属棒，在直棒和圆环的BC部分上分别套着小环M、N(棒和半圆环
均光滑)，现让半圆环绕竖直对称轴以角速度ω－
1做匀速转动，小环M 、N 在图示位置．如果半圆环的角速度变为ω－2，ω－2比ω－
1稍微小一些．关于小环M 、N 的位置变化，下列说法正确的是( )
A ．小环M 将到达
B 点，小环N 将向B 点靠近稍许 B ．小环M 将到达B 点，小环N 的位置保持不变
C ．小环M 将向B 点靠近稍许，小环N 将向B 点靠近稍许
D ．小环M 向B 点靠近稍许，小环N 的位置保持不变 【答案】 A
10．(多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 和C 与转台间的动摩擦因数均为μ，A 和B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )
A ．
B 对A 的摩擦力一定为3μmg B ．B 对A 的摩擦力一定为3m ω2
r C ．转台的角速度一定满足ω≤ 2μg
3r D ．转台的角速度一定满足ω≤
μg
r
【答案 】BC
【解析】要使A 能够与B 一起以角速度ω转动，根据牛顿第二定律可知，B 对A 的摩擦力一定等于A 物体所需向心力的值，即F f ＝3m ω2
r ，B 项正确．要使A 、B 两物体同时能随转台一起以角速度ω匀速转动，则对于A ，有3μmg≥3mr ω2
，对AB ，有5μmg≥5mr ω2
，对于C ，有μmg≥32
mr ω2
，综合以上，可得ω≤
2μg
3r
，C 项正确． 11.(多选)如图所示，将长为3L 的轻杆穿过光滑水平转轴O ，两端分别固定质量为2m 的球A 和质量为3m 的球B ，A 到O 的距离为L ，现使杆在竖直平面内转动，当球B 运动到最高点时，球B 恰好对杆无作用力，两球均视为质点．则球B 在最高点时( )
A ．球
B 的速度大小为gL B ．球A 的速度大小为1
22gL
C ．球A 对杆的作用力大小为3mg
D ．水平转轴对杆的作用力为5mg 【答案】 BC
12.(2017·西安市模拟)如图所示，一个质量为M 的人，站在台秤上，一长为R 的悬线一端系一个质量为m 的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是( )
A ．小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为(M ＋6m)g
B ．小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg
C ．小球在a 、b 两个位置时，台秤的示数不相同
D ．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态 【答案】 A
【解析】小球恰好能通过圆轨道最高点，在最高点，细线中拉力为零，小球速度v b ＝gR.小球从最高点运动到最低点，由机械能守恒定律，12mv b 2＋mg×2R＝12mv d 2
，在最低点，由牛顿
第二定律，F －mg ＝m v d
2
R ，联立解得细线中拉力F ＝6mg.小球运动到最低点时，台秤的示数最
大且为Mg ＋F ＝(M ＋6m)g ，A 项正确；
13．(2017·定州市模拟)如图所示，圆筒的内壁光滑，一端B 固定在竖直转轴OO ′上，圆筒可随轴转动，它与水平面的夹角始终为30°，在筒内有一个用轻质弹簧连接的小球A(小球直径略小于圆筒内径)，A 的质量为m ，弹簧的另一端固定在圆筒的B 端，弹簧原长为32L ，
当圆筒静止时A 、B 之间的距离为L(L 远大于小球直径)．现让圆筒开始转动，其角速度从0开始缓慢增大，当角速度增大到某一值时保持匀速转动，此时小球A 、B 之间的距离为2L ，重力加速度大小为g ，求圆筒保持匀速转动时的角速度ω0.
【答案】
2g 3L
【解析 】当圆筒静止时A 、B 之间的距离为L ，可知弹簧的形变量Δx ＝L
2，
根据平衡有mgsin30°＝k·L
2
.
当圆筒转动，AB 间距离为2L 时，受力如图，
在竖直方向上，有Ncos30°＝k L
2
sin30°＋mg ，
水平方向上，有k L 2cos30°＋Nsin30°＝m·2L sin60°ω02
，
联立解得ω0＝
2g 3L
. 14.如图所示，光滑圆杆MN 段竖直，OC 段水平且与MN 相接于O 点，两杆分别套有质量为m 的环A 和2m 的环B ，两环的内径比杆的直径稍大，A 、B 用长为2L 的轻绳连接，A 、O 用长为L 的轻绳连接，现让装置绕竖直杆MN 做匀速圆周运动，当ω＝2g
L
时，OA 段绳刚好要断，AB 段绳能承受的拉力足够大，求：
(1)OA 段绳刚刚拉直时转动的角速度多大； (2)OA 段绳能承受的最大的拉力； (3)当ω＝2
g
L
且转动稳定时，A 向外侧移动的距离多大． 【答案】 (1)
23g 3L (2)6－233mg (3)15－2
2
L
(2)根据牛顿第二定律得， T m ＋T AB sin θ＝mL ω2
， 解得T m ＝6－23
3
mg ，
15．如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v 0＝6 m/s ，将质量m ＝1 kg 的可看作质点的滑块无初速地放到传送带A 端，传送带长度为L ＝12 m ，“9”字全高H ＝0.8 m ，“9”字CDE 部分圆弧半径为R ＝0.2 m 的3
4圆弧，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，取重力加速度g ＝
10 m/s 2
.
(1)求滑块从传送带A 端运动到B 端所需要的时间； (2)求滑块滑到轨道最高点D 时对轨道作用力的大小和方向；
(3)若滑块从“9”形轨道F 点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，求P 、F 两点间的竖直高度h .
【答案】（1）t ＝3 s ； （2）F N ＝90 N ，方向竖直向下 （3）h ＝1.4 m 【解析】(1)滑块在传送带上加速运动时， 由牛顿第二定律有μmg ＝ma 解得a ＝μg ＝3 m/s 2
加速到与传送带共速的时间t 1＝v 0a
＝2 s 2 s 内滑块的位移x 1＝12
at 2
1＝6 m
之后滑块做匀速运动的位移x 2＝L －x 1＝6m 所用时间t 2＝x 2v 0
＝1 s 故t ＝t 1＋t 2＝3 s
(3)滑块由B 运动到F 的过程中由动能定理得： －mg (H －2R )＝12mv 2F －12
mv 2
滑块撞击P 点时，其速度沿竖直方向的分速度为：
v y ＝
v F
tan θ
竖直方向有：v 2
y ＝2gh 解得：h ＝1.4 m
16.如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2
)
【答案】0°≤α≤30°
【解析】小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α 小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的
分力的合力提供向心力，有T ＋mg sin α＝mv 21
l
①
研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有
T ＝0时，联立①②解得sin α＝v 20
3gl
，解得α＝30°
故α的范围为0°≤α≤30°.。