(易错题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则
()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．2020
2．函数 tan 22tan y x x =-4
2x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）
A ．33-
B ．3
C ．0
D ．3-
3．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()
x f x g x e
=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A ．()0,4
B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃
⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()0,1，()4,+∞
4．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记
()()22
1212M x x y y =-+-，则（ ）
A ．M 的最小值为2
5
B ．M 的最小值为45
C ．M 的最小值为85
D ．M 的最小值为
165
5．设ln 2ln 3ln ,,23a b c π
π
=
==则下列判断中正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>
D ．c b a >>
6．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：
①-3是函数y =f (x )的极值点； ②y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ③-1是函数y =f (x )的最小值点； ④y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
7．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知
()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0
f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()2,00,2-
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．()(),20,2-∞-
D ．()()0,22,+∞
8．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '
=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),2-∞
C ．()0,1
D ．()1,2
9．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()
33,⎡-∞⋃+∞⎣ B ．((
)
33,-∞⋃
+∞
C ．3,3⎡-⎣
D ．(
3,3-
10．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，f
x 为()f x 的导函数，且满足
()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）
A ．0,1
B ．2,
C ．1,2
D ．1,
11．函数()ln 22f x x x x a =-++，若()f x 与()()f f x 有相同的值域，则a 的取值范
围为（ ） A ．(],0-∞
B ．1,02⎛⎤
-
⎥⎝⎦
C ．30,
2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．[)0,+∞
12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫
⎪⎝⎭
（ ）
A ．
12
B ．
32
C ．312
-
D ．
32
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
13．曲线2x y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=，则a =_____________. 14．已知()'f x 是()f x 的导函数（()0f x '≠），*(1)(),N 3
n
f f x x n '=
∈，则n =_________.
15．已知()3
2
f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______
16．若()ln f x x =与()2
g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切
线，则a =_________. 17．设定义在上的奇函数
满足：
时，
（其中为常数）.若
，
，
，则，，的大小关系是_________.（用“
”连接）
18．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋
9
x
，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．
19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则
()f e =__________．
20．已知()5
234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值为______
三、解答题
21．已知函数()3
31f x x x =-+.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.
（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
22．（1）①已知1()1x
x f x e x
-+=
-，求()2f '.
②已知ln 1
()x
x f x e
+=
求()1f '. （2）求过点()1
1Q -，的曲线32y x x =-的切线方程. 23．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。

为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后
旅游增加值y 万元投入()10x x ≥万元之间满足：21ln 25
x
y ax bx =
+-（a ，b 为常数），当10x =万元时，17.7y =万元；当15x =万元时，25y =万元.（参考数据：
ln 20.7,ln3 1.1,ln5 1.6===）
（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润()L x 万元与投入x 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）
（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1） 24．运动员小王在一个如图所示的半圆形水域(O 为圆心，AB 是半圆的直径)进行体育训练，小王先从点A 出发，沿着线段AP 游泳至半圆上某点P 处，再从点P 沿着弧PB 跑步至点B 处，最后沿着线段BA 骑自行车回到点A 处，本次训练结束.已知1500m OA =，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m /s ，4m /s ，10m /s ，设θ∠=PAO 弧度.
（1）试将小王本次训练的时间t 表示为θ的函数()t θ，并写出θ的范围； （2）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由. （参考公式：弧长l r α=，其中r 为扇形半径，α为扇形圆心角.） 25．已知函数()3
ln 42
x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12
y x =. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间.
26．设函数()kx
f x xe =，x ∈R ，（0k ≠），试讨论函数的单调性.
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一、选择题
1．B 解析：B 【分析】
将函数解析式变形为()2
2sin 11
x x
f x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】
()
()2
22221sin 12sin 2sin 1111
x x x x x x x f x x x x ++++++=
==+
+++，
所以，
()()()()()2
222020sin 202022020sin 202020202020222020120201
f f ⨯-+-⨯++-=
++=+-+， ()()()()
()
22
2
2cos 122sin 1x x x x x f x x
++-+'=
+，函数()f x '的定义域为R ，
()()()()()22
22cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-=
⎡⎤-+⎣⎦
'()()()()
()222
2cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，
因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
2．A
解析：A 【分析】
化简可得32
2tan 1tan x
y x
=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】
可得322
2tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x x
y x x x x x
=-=-=--，
令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3
2
21t y t
=-， 则()()
()
()
()
223222
2
2261222311t t t t t t y t t --⨯--'=
=
--，
当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，
当)
t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，
所以当t =
时，(
)3
max 2
21y ⨯
=
=--.
故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3
2
21t y t
=-，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.
3．D
解析：D 【分析】
利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()
x
f x f x
g x e
'-'=
，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.
【详解】
由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()
()0,14,+∞，
因为()()
x
f x
g x e
=，所以，()()()()
()()2
x x
x
x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，
解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，
因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】
易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到
()
()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应
分开表示.
4．D
解析：D 【分析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线
22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的
图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】
解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，
221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．
由2y lnx x =-+，得1
1y x
'=
-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12
k =-．
令
11
12
x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，
切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离
d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为
165
． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，
联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩
，解得145x =，
即当M 最小时，214
5
x =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设()ln x f x x =
，所以()21ln x
f x x
-'=，令()0f x '=，所以x e =，
所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，
因为
()ln 22ln 2ln 4
4244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>， 故选：B. 【点睛】
方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：
（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性； （2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；
（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.
6．A
解析：A 【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】
根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈
-时，()0f x '≥
∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故②正确；
则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；
∵在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故③不正确； ∵函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选：A 【点睛】
方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 先求出原函数的定义域； 对原函数求导；
令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；
若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．
7．B
解析：B 【分析】
由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增
函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】
由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，
构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.
又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.
故选：B ． 【点睛】
本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出
{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单
调性解不等式．
8．B
解析：B 【解析】
分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.
9．C
解析：C 【分析】
求得函数的导数2
()321f x x ax '=-+-，根据函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，利用
0∆≤，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，函数3
2
()1f x x ax x =-+--，则2
()321f x x ax '=-+-， 因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，
所以2
2
(2)4(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，即23a ≤，解得a ≤≤
即实数a 的取值范围是⎡⎣，故选C ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．B
解析：B 【分析】
构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】
令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减
(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()
21f x -，
2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，
故选：B 【点睛】
本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.
11．B
解析：B 【分析】
判断()f x 的单调性，求出()f x 的值域，根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系，得出a 的范围．
【详解】
()f x lnx '=，故而当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，
()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
()f x ∴的最小值为()121f a =+，且x →+∞时，()f x →+∞
即()f x 的值域为[)21,a ++∞，
函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，且()f x 的定义域为(0,)+∞，
0211a ∴<+≤，解得：102
-<≤a ．
故选：B 【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，考查函数最值的计算，属于中档题．
12．A
解析：A 【分析】 求导，将6
x π
=
代入即可求出6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
'..
【详解】
已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）
（） 则 11sin .662f ππ⎛⎫
=-'= ⎪⎝⎭
故选A. 【点睛】
本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.
二、填空题
13．【分析】求得函数的导数根据曲线的一条切线方程为求得切点的坐标将切点坐标代入切线方程即可求解【详解】由题意函数可得因为曲线的一条切线方程为令解得当时即切点为将切点代入可得解得故答案为：【点睛】本题主要 解析：1-
【分析】
求得函数的导数2x
y e '=-，根据曲线的一条切线方程为0x y a ++=，求得切点的坐
标，将切点坐标代入切线方程，即可求解. 【详解】
由题意，函数2x
y e x =-，可得2x y e '=-，
因为曲线2x
y e x =-的一条切线方程为0x y a ++=， 令21x e -=-，解得0x =，
当0x =时，0
1y e ==，即切点为()0,1，
将切点()0,1代入0x y a ++=，可得010a ++=，解得1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答熟记曲线在某点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
14．；【分析】求出的导函数令根据即可求得【详解】又故答案为：【点睛】本题主要考查的是基本初等函数的导数以及导数的运算考查的是学生的分析和计算能力是基础题
解析：3； 【分析】
求出()f x 的导函数()'
f x ，令1x =，根据()0f x '≠，即可求得n .
【详解】
*(1)(),N 3
n
f f x x n '=
∈，
1
(1)()3n nf f x x -''∴=
， (1)
(1)3nf f ''∴=，又()0f x '≠，
3n ∴=.
故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查的是基本初等函数的导数以及导数的运算，考查的是学生的分析和计算能力，是基础题.
15．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题 解析：3-
【分析】 求出()'
f
x .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.
【详解】
()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，
()()'10,11f f ∴==-，即320
11
a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.
经检验，当1a b ==-时，()3
2
f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.
1a b ∴==-，23a b ∴+=-. 故答案为：3-. 【点睛】
本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.
16．或【分析】在曲线上取切点利用导数得出得出的值可求出切线的方程再将该切线方程与二次函数解析式联立利用求出实数的取值范围【详解】在曲线上取切点由题意可得得切点坐标为则所求切线方程为由于直线与函数的图象相
解析：3或1-. 【分析】
在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，利用导数得出()1f t '=得出t 的值，可求出切线的方程，再将该切线方程与二次函数()2
g x x ax =+解析式联立，利用0∆=求出实数a 的取
值范围. 【详解】
在曲线()y f x =上取切点(),ln t t ，
()ln f x x =，()1
f x x
'∴=，
由题意可得()1
1f t t
'=
=，得1t =，切点坐标为()1,0，则所求切线方程为1y x =-. 由于直线1y x =-与函数()2
g x x ax =+的图象相切，联立得2
1y x y x ax =-⎧⎨=+⎩
， 消去y 并整理得()2
110x a x +-+=，则()2
214230a a a ∆=--=--=，
解得1a =-或3，故答案为3或1-. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线方程，在求解直线与二次函数图象相切的问题，可以将直线方程与二次函数解析式联立，利用判别式为零来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17．a<c<b 【解析】【分析】先利用f0=0求出t 构建新函数gx=xfx 利用导数可判断gx 为-∞0上的增函数从而得到g-e<g-2<g-1即-ef-e<2f2<f1故可得a<c<b 【详解】因为fx 为R 上 解析：
【解析】 【分析】 先利用求出，构建新函数
，利用导数可判断
为上的增
函数，从而得到
即
，故可得
.
【详解】 因为为上的奇函数，故，而，
所以，故当
时，
，
令，则
为上的偶函数， 当时，，
， 当时，则
，所以
，故
，
所以
为
上的增函数，所以 ，即
，
所以，故
.填
.
【点睛】
判断给定的各数的大小，我们可依据它们的形式构建具体的函数，通过函数的单调性来判断它们的大小，而单调性可根据导数的符号来讨论.
18．【解析】【分析】分别求出g （x ）f （x ）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集显然g （x ）单调递减∴g （x ）max=g （2）=g （x ）min=g （
解析：73,42⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
分别求出g （x ），f （x ）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可． 【详解】
问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集， 显然，g （x ）单调递减，∴g （x ）max =g （2）=
12，g （x ）min =g （4）=﹣234
； 对于f （x ），f′（x ）=3x 2﹣4x+1，令f′（x ）=0，解得：x=1
3
或x=1， x ，f′（x ），f （x ）的变化列表如下：
max min ∴1222344a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-
⎪⎩
，
∴a ∈[﹣
74，﹣3
2
]， 故答案为：[﹣74，﹣3
2
]． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．
19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化
解析：-1. 【解析】
分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1
()2()f x f e x
''=+
所以11()2()(),f e f e f e e e
''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e
=-+=-，
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
20．233【解析】分析：根据题意在（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中令x=0可得a0=243设y=（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
解析：233 【解析】
分析：根据题意，在（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中，令x=0可得a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，求出其导数，分析可得y '=﹣
104(32)x -=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，将其值相加即可得答案．
详解：根据题意，（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中， 令x=0可得：35=a 0，即a 0=243，
设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 其导数y′=﹣10（3﹣2x ）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x=1可得：﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5， 则a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=243﹣10=233； 故答案为：233
点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a 0=243，令x=1可得﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5.其二是要看到
0123452345a a a a a a +++++要想到求导.
三、解答题
21．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】
（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程； （2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间； （3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调性，即可利用单调性求出最值.
【详解】
()()()233311f x x x x ==+'--，
()03k f '==-，
因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--， 即310x y +-=，
（2）由()()()2
333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，
由()()()2
333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，
所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞， 单调递减区间为()1,1-，
（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，[]1,2单调递增，
所以3
1113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，
所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ， 所以函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-， 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：
（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，
()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
22．（1）①()2
25f e -'=；②()10f '=；（2）20x y --=或5410x y +-=.
【分析】
（1）①先求出导数，然后代值计算即可. ②先求出导数，然后代值计算即可；
（2）设()00,P x y 为切点，切线的斜率为()2
0032f x x '=-，切线方程可表示为
2
000(32)()y y x x x -=--，再将已知点()1
1Q -，代入切线方程中求出切点坐标，最后写出切线方程即可. 【详解】
（1）①22
1()(1)
x
x f x e x -+'=-，()225f e -'=.
②1ln ()x
x x
f x xe --'=
，()10f '=； （2）设()00,P x y 为切点，则切线的斜率为()2
0032f x x '=-，
故切线方程为2
000(32)()y y x x x -=--，即320
000(2(32))()y x x x x x --=--， 又知切线过点()1
1-，，代入上式得32
00001(2(2)3)(1)x x x x ---=--， 即32
002310x x -+=，解得01x =或012
x =-
， 故所求的切线方程为：11y x +=-或5
1(1)4
y x +=--，
即20x y --=或5410x y +-=. 【点睛】
方法点睛：求曲线经过某点的切线方程的方法： （1）设出切点坐标()00,x y ；
（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率； （3）写出问题的结论.
23．（1）()()22151126ln ln 105025550255
x x L x x x x x x =-
+-=-+-≥；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元. 【分析】
（1）利用待定系数法求出151,2525
a b =-
=，即可得答案； （2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值； 【详解】
（1）由已知得：1
10010ln 217.72122515ln 3252a b a b ⎧⨯+-=⎪⎪⎨⎪⨯+-=⎪⎩，化简得：151
,2525a b =-=，
()2151ln 1050255x y x x x ∴=-
+-≥，则该景点改造升级后旅游增加利润为： ()()22151126ln ln 105025550255
x x
L x x x x x x x =-
+--=-+-≥； （2）由（1）得：()()2126ln 1050255
x
L x x x x =-
+-≥ 则()()()212512612625
25252525x x x x L x x x x x
---+'=-+-=-=-
，令()0L x '=得25x =，
当()10,25x ∈时，()()0,L x L x '>单调递增；当()()()25,0,x L x L x '∈+∞<时，单调
递减；
25x ∴=时，()L x 取得最大值，且()()max 2511.9L x L ==，
∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【点睛】
待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值.
24．（1）()1500300,0,22t cos θπθθθ⎛⎫⎛⎫
=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）不能超过40分钟，理由见解
析. 【分析】
（1）在OAP △中，得到2AP OAcos θ=， 在扇形OPB 中，()2PB OA θ=⋅，再由
2BA OA =，然后根据小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m /s ，4m /s ，
10m /s 求解.
（2）根据（1）的结果，利用导数法求解. 【详解】
（1）在OAP △中，23000AP OAcos cos θθ==，
在扇形OPB 中，()23000PB OA θθ=⋅=， 又23000BA OA ==， 所以小王本次训练的总时间：
()2410
P A A t B P B θ=++
3000300030002410cos θθ=++.
15003002cos θθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
（2）由（1）得()1'15002t sin θθ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
， 令()'0t θ=，得1
2sin θ=，6
πθ∴=， 列表如下，
从上表可知，当6
θ=
时，()t θ取得极大值，且是最大值，
()t θ∴
的最大值是1500cos 3006612t πππ⎛⎫⎛
⎫=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 125300π=+， 32<， 3.2π<，
7502125 3.230022006t π⎛⎫
∴<⨯+⨯+= ⎪⎝⎭
． 22004060<⨯，
∴小王本次训练时间不能超过40分钟．
【点睛】
本题主要考查函数的建模问题以及函数的最值与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 25．（1）5
4
a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】
（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；
（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数
()f x 的单调区间.
【详解】
（1）对()f x 求导得()2114a f x x x
=
--'， 由()f x 在点()()
1,1f 处的切线垂直于直线1
2
y x =， 知()3124f a '=-
-=-，解得54
a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22
45
4x x f x x
'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，
因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般. 26．当0k >时，()kx
f x xe =在1,k ⎛
⎫-∞-
⎪
⎝⎭单调递减，在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增；
当k 0<时，()kx
f x xe =在1,k ⎛⎫-∞-
⎪
⎝⎭单调递增，在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减； 【分析】
对()kx
f x xe =求导，令()0f x '>得单增区间，令()0f x '<得单增区间，即可得出单调
性. 【详解】
()()1kx kx kx f x e xke x e k ='++=，
当0k >时，令()0f x '>，即10kx +>，得1x k
>- ， 令()0f x '<，即10kx +<，得1x k
<-
， 当0k >时，()kx
f x xe =在1,k
⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
单调递减，在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
单调递增；
当k 0<时，令()0f x '>，即10kx +>，得1x k
<- ， 令()0f x '<，即10kx +<，得1x k
>- ， 当k 0<时，()kx
f x xe =在1,k ⎛⎫-∞-
⎪
⎝⎭单调递增，在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减； 综上所述：当0k >时，()kx
f x xe =在1,k ⎛
⎫-∞- ⎪
⎝⎭单调递减，在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增； 当k 0<时，()kx
f x xe =在1,k ⎛
⎫-∞-
⎪
⎝⎭单调递增，在1,k ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减； 【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，注意讨论k ，属于基础题.。