高中数学人教A版必修四课时训练 第二章 平面向量 章末检测(A) Word版含答案.docx

第二章 平面向量(A) (时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )
A ．(12，32)或(1，3)
B ．(32，12
)
C ．(0,1)
D ．(0,1)或(32，1
2
)
2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1
2)，则下列结论中正确的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)
4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →
＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( ) A ．0B ．2＋2C.2D ．22 5．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A.12B.32C ．1＋3
2
D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32b B.12a －32b
C.32a －12b D ．－32a ＋12
b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，
c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6B ．5C ．4D ．3
8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →
＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形
9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→
为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,7)
10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫103，＋∞B.⎣⎡⎭
⎫10
3，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎫－∞，103 D.⎝⎛⎦⎤－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →
等于( ) A ．2B ．－2
C ．|AB →
|cos A D ．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.P 1P 2→·P 1P 3→
B.P 1P 2→·P 1P 4→
C.P 1P 2→·P 1P 5→
D.P 1P 2→·P 1P 6→ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 14．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.
15．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．
16.如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为
半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →
的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ；
(2)若|b |＝5
2
，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．
18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，
(1)c ∥d ；(2)c ⊥d.
19．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝1
2
，求：
(1)a 与b 的夹角；
(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值．
21．(12分)已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .
22．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→
|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．
第二章 平面向量(A )
答案
1．D 2.C
3．D [根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．]
4．D [|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →
|＝2 2.]
5．B [由题意得a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos60°＝1＋12＝3
2，故选B.]
6．B [令c ＝λa ＋μb ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＋μ＝－1λ－μ＝2， ∴⎩
⎨⎧
λ＝12μ＝－32
，
∴c ＝12a －3
2b .]
7．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.]
8．C [∵BA →＝(4，－3)，BC →
＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →
＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →
|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．]
9．B [∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →
＝(2,3)．]
10．A [a·b ＝－3λ＋10<0，∴λ>103.当a 与b 共线时，λ－3＝2
5
，∴λ＝－65.此时，a 与b 同向，
∴λ>103.]
11．B [
如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →
)＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A [根据正六边形的几何性质．
〈P 1P 2→，P 1P 3→〉＝π6，〈P 1P 2→，P 1P 4→
〉＝π3，
〈P 1P 2→，P 1P 5→〉＝π2，〈P 1P 2→，P 1P 6→
〉＝2π3
.
∴P 1P 2→·P 1P 6→<0，P 1P 2→·P 1P 5→＝0，
P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→
|cos π6＝32|P 1P 2→|2，
P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3
＝|P 1P 2→
|2.比较可知A 正确．]
13．－1
解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0.∴m ＝－1. 14．3 解析 a ·b ＝|a ||b |cos30°＝2·3·cos30°＝3. 15．6
解析 由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6.
16．－12
解析 因为点O 是A ，B 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →
|＝1－x (0≤x ≤1)．
所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →
＝－2x (1－x )＝2(x －12)2－12
.
∴当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →
取到最小值－12
.
17．解 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)． 又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.
∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－5
2
.
∴cos θ＝a·b
|a||b |
＝－1，∴θ＝180°.
18．解 由题意得a·b ＝|a||b |cos60°＝2×3×1
2
＝3.
(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝9
5
.
(2)当c ⊥d 时，c·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0.
∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a·b ＝0，∴k ＝－29
14
.
19．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝1－|b |2＝12，∴|b |2＝12，∴|b |＝2
2
，
设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×
22
＝2
2
.∴θ＝45°.
(2)∵|a |＝1，|b |＝2
2
，
∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12.∴|a －b |＝2
2，
又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52.∴|a ＋b |＝10
2
，
设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102
＝5
5
.即a －b 与a ＋b 的夹角
的余弦值为5
5.
20．解 (1)AB →＝(3,5)，AC →
＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →
|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →
|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →
|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，
∴由(AB →－tOC →)·OC →
＝0得t ＝－115
.
21．证明
如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2， 则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)， E (1,2)，F (0,1)． (1)BE →＝OE →－OB →
＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →
＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →
，即BE ⊥CF .
(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →
＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →
，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2.
同理由BP →∥BE →
，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2.
解得x ＝65，∴y ＝8
5
，即P ⎝⎛⎭⎫65，85. ∴AP →2＝⎝⎛⎭⎫652＋⎝⎛⎭⎫852＝4＝AB →2
， ∴|AP →|＝|AB →
|，即AP ＝AB .
22．证明 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→
，
∴(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→
)2，
∴|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，
∴OP 1→·OP 2→
＝－12
，
cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→
|
＝－1
2，
∴∠P 1OP 2＝120°.同理，∠P 1OP 3＝∠P 2OP 3＝120°，即OP 1→、OP 2→、OP 3→
中任意两个向量的夹角为120°，故△P 1P 2P 3是正三角形．。