旋转图形所行路程

旋转图形所行路程问题
1．如图,已知正△ABC的中心为O，半径为R将其直线L向右滚动，当正三角形翻滚一周时,其中心O经过的路径是多少？答案：2R
π
A
B L
2．如图，将半径为R的正方形沿其直线L向右滚动，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路径是多少？答案:2R
π
D
A
B L
3．如图，将任意多边形沿其直线L向右滚动,当这个多边形翻滚一周时，其中心O经过的路径是多少？答案：2R
π
L
......
O
4．如图，已知正△ABC的边长为2，将其沿直线L向右滚动,当正三角形翻滚一周时，其点B所行路径是多少?
解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，
所以其中心O经过的路程为:3
180
120
⨯
R
π
=2πR．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，将其沿直线L向右滚动，当正方形翻滚一周时，其点B所行路径是多少？
D
A C
B L
解：根据勾股定理，得AC= 22 ．
则当正方形滚动一周时,正方形的顶点A 所经过的路线的长是：
(
)
πππ22180
2
9021802290+=
⨯⨯+⨯（cm ）．
6．正△ABC 的边长为3cm,边长为1cm 的正△RPQ 的顶点R 与点A 重合,点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将△APQ 沿着边AB,BC ，CA 顺时针连续翻滚（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置,则点P 运动路径的长为多少？
解：从图中可以看出翻转的第一次是一个120度的圆心角,半径是1，所以弧长=180
1
120⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，
第一次
180
1
120⨯π第二次同样没有路程，AC 边上也是如此， 点P 运动路径的长为180
1
120⨯π×3=2π．
故答案为：2π．
7．矩形ABCD 的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A l B l C l D l 时(如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．
解：
180
6
901801090180890⨯+⨯+⨯πππ=12π
8．如图,水平地面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直。

在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ）A 、20πcm B 、24πcm C 、10πcm D 、30πcm
解:根据扇形面积公式，得 S= 21lR=2
1
×6×10π=30π（cm 2）．
9．(2008•泰安)如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点P 1,P 2，P 3…P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为 。

解：观察图形结合翻转的方法可以得出P 1、P 2的横坐标是1，P 3的横坐标是2.5，P 4、P 5的横坐标是4,P 6的横坐标是5.5…依次类推下去，P 2005、P 2006的横坐标是2005,P 2007的横坐标是2006。

5，P 2008、P 2009的横坐标就是2008． 故答案为2008
10．如图，在直角坐标系中，已知点A （-3,0)，B （0,4)，对△OAB 连续作旋转变换,依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 . ．
1P
A
O
y
x
（第19题）
P
解：由原图到图③,相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0）,则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36,0）．
11．（2006•锦州）如图，将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为。

．解：∵边长为a的正方形ABCD，其对角线的一半即OC= a，
∴第一次旋转的弧长= ，
而经过这样的四次旋转后就翻滚了一周，
∴当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为×4= πa．
故填空答案: πa
12．如图，小明为节省搬运力气，把一个边长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后,原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为。

解：第一次是以B为旋转中心,BA1长m为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是• = πm．
第二次是以B1为旋转中心，B1A1长1m为半径旋转90°，
此次走过的路径是π= πm．
第三次是以A为旋转中心，AA1长1m为半径旋转90°，
此次走过的路径是π= πm．
∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度= π+ π+ π=（+1）πm．
13．如图1，是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线l不滑行地翻滚,翻滚一周后到图2的位置．则由点A到点A4所走路径的长度为。

解：第一次旋转是以点C为圆心，AC为半径，旋转角度是90度,所以弧长是cm
第二次旋转是以点D1，为圆心,A1D1为半径，角度是60度所以弧长= cm
第三次是以E1为圆心,E1A1为半径，角度是120度，所以cm
第四次是以点A1为圆心所以A没有路程
第五次是以点B为圆心，AB为半径，角度是90度所以弧长是cm
四段弧长的和就是由点A到点A4所走路径的长度= cm．
14．(2006•厦门）如图为某物体的三视图，友情提醒：在三视图中,AB=BC=CD=DA=EI=IG=NZ=MZ=KY=YL,θ=60°，FE=GH=KN=LM=YZ．现搬运工人小明要搬运此物块边长为acm物块ABCD在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则此时点B起始位置翻滚一周后所经过的长度是.
解：本题实际求的是两段弧长，第一段,以C为圆心，BC为半径，转动了60°角,因此这段弧长为60×a×π÷180= ,第二段弧长是，以D为圆心，BD长为半径，转动了120°角,因此这段弧长的距离应该是120×a×π÷180= ，因此B点经过的距离应该是aπ．15．如图，边长为的正△ABC，点A与原点O重合,若将该正三角形沿数轴正方向翻滚一周,点A恰好与数轴上的点A′重合,则点A′对应的实数是.
解：×3= ．
16．如图，把一长方形在直线m上翻滚，请在图中作出A点所经过的路径．
解：如图所示．
17．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向)木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为多少？
解:第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径
旋转90°，（2分）
此次点A走过的路径是．（4分）
第二次是以C为旋转中心，3cm为半径旋转60°,(2分）
此次走过的路径是，（2分)
∴点A两次共走过的路径是．（2分）
18．如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板,在桌面上翻滚（顺时针方向）,顶点A的位置变化为A1⇒A2⇒A3,其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于∠BAC，则A翻滚到A2位置时共走过的路程为()
解：根据题意得：=4πcm，
19．将正方体骰子放置于水平桌面上，如图（1）．在图（2）中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°．则骰子中各相对面上的点数分别为1对6，2对5，3对4．
．
解：观察图形可知与1相邻的面是2、3、4、5，则与1相对的面是6；
那么与3相邻的面是1、2、5、6，则与3相对的面是4；则与2相对的面是5．
故骰子中各相对面上的点数分别为：1对6，2对5，3对4．
故答案为：1对6,2对5，3对4．
20．（2011•无锡)如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
解：(1）作图如图；
(2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后
绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分
别为90°、90°、150°,
∴S= +2×+2×+4×
×12
= +π+ π+2
= π+2．
21．已知△ABC中,∠ACB=90°,AB=2，CB=1，将△ABC沿水平线（AB所在的直线）作翻转运动．下图是△ABC二次翻转形成的图形．
(1）第一次翻转后的图形△BC′A′是由△ABC按顺时针方向旋转所得的，那么哪一点是旋转中心？旋转了多少度？
（2）在下图中，画出△ABC第三次翻转后的图形，请你仔细观察图中的△ABC与由它第三次翻转后的图形，想一想他们之间还可以是怎样的变换，请将它完整地表达出来．
解：（1)旋转中心是点B,旋转了120°；
（2）图形
AC= ．
∴BB″=1+ +2=3+ ．
∴△A″B″C″是由△ABC沿着AB所指的方向（即沿着水平线)向右平移了(3+ )得到．
22．如图,将边长为1的等边三角形△ABC放在水平直线l上向右连续翻滚n次，第一次以
点C为旋转中心，第二次以点A为旋转中心，第三次以点B为旋转中心，…,到第2010次
后停止翻滚，请在图中标出“第②次”时三角形顶点坐标为A （2,0）、B （3，0）、C (2.5，
0。

5 ）与“第2010次"时三角形顶点坐标为A （2010。

5，0。

5 ）、B （2010，0）、
C （2011,0）的位置．
解：如图：以原始状态时点B为坐标原点,水平直线l为x轴，过B点垂直于l的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
根据等边三角形和旋转的性质可知“第②次”时三角形顶点坐标为A （2，0）、B （3,0）、C
点横坐标为（2+3）÷2=2.5，纵坐标为1×=0。

5 ，即C（2。

5，0.5 ）．
∵每连续翻滚三次是一个循环,2010÷3=670．故图形的三角形顶点与原始状态时相同，“第2010次”时三角形顶点坐标为A （2010.5，0。

5 ）、B （2010，0）、C （2011，0）．
23．如图，将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至
扇形A'O’B'处，则顶点O经过的路线总长为
．
解:顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时,有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动,此时O点经过的路
线长=BA’=AB的弧长
第三段:OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°
所以，O点经过的路线总长S= π+ π+ π= π．
故答案为π．
24．（2006•黄冈)将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是cm．
解：第一次旋转是以点C为圆心，AC为半径，旋转角度是90度,
所以弧长= =4 π；
第二次旋转是以点D为圆心，AD为半径,角度是90度，
所以弧长= ；
第三次旋转是以点A为圆心，所以没有路程；
第四次是以点B为圆心，AB为半径,角度是90度，
所以弧长= ;
所以旋转一周的弧长共=4 +8π．
所以正方形滚动两周正方形的顶点A所经过的路线的长是8 +16π．
25．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点到达点A,下列说法正确的是（）
A、点A所表示的是π
B、数轴上只有一个无理数π
C、数轴上只有无理数没有有理数
D、数轴上的有理数比无理数要多一些
解：A、∵圆的周长为π，∴滚动一圈的路程即π，∴点A所表示的是π,故选项正确；
B、数轴上不止有一个无理数π，故选项错误；
C、数轴上既有无理数，也有有理数，故选项错误;
D、数轴上的有理数与无理数多少无法比较，故选项错误;
故选A．
26．（2011•桂林）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按
顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径的长
为（)
A、B、C、D、
解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形,
∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°,
∴A6C= a,A1C= a，
∴A1A5=A1A3= a，
当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心,以a，a，2a，a,a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长= + + + +
= πa．
故选A．
27．如图，扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位
置时，则点O到点O′所经过的路径长为
．解：∵扇形OAB的圆心角为30°，半径为1，
∴AB弧长= = ，
∴点O到点O′所经过的路径长= ×2+ = π．
故答案为
28．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示,直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O 所经过的路线长是___ _．
解：由图形可知，圆心先向前走O 1O 2的长度即41 圆的周长，然后沿着弧O 2O 3旋转41 圆的周长，
最后向右平移50米，
所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50,
由已知得圆的半径为2，
设半圆形的弧长为L,
则半圆形的弧长L= ()ππ2180
29090=⨯⨯+， ∴圆心O 所经过的路线长=（2π+50）米．
O l。