2012届四川绵阳南山中学高三第三次诊断性考试(文数)

南山中学2012级三诊模拟考试
数学试题(文史类)
第Ⅰ卷(主观题,共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.
3.参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=
如果事件A 、Ｂ相互独立,那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么
34
3
V R π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.设集合{|1},{|22},A x x B x x A
B =>-=-<<则=( )
A .{|2}x x >-
B .{|1}x x >-
C .{|21}x x -<<-
D .{|12}x x -<<
2.直线sin
cos
103
3
x y π
π
-+=的倾斜角为( )
A .
6π B .3
π
C .23π
D .56π
3.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,则a 3=( )
A .4
B .5
C .8
D .10
4.若a 、b 为空间两条不同的直线,α、β为空间两个不同的平面,则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是( )
A .a //β且α⊥β
B .a ⊂β且α⊥β
C .a ⊥b 且b //α
D .a ⊥β且α//β
5.为进一步推动“学雷锋”活动,弘扬中华民族传统美德,为共建“和谐社会”做出新的贡献.南山中学高三师生响应学校号召,准备在绵阳三诊后集中开展纪念学习雷锋四十七周年的活动.报名参加活动的学生和教师的人数之比为5:1,学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队进行活动.已知教师甲被抽到的概率为10
1
,则报名的学生人数是( )
A .100
B .500
C .10
D .50
6.设第一象限内的点(x ,y )满足约束条件260
20
x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩,则目标函数z =x +2y 的最大值为
( )
A .0
B .3
C .4
D . 28
7.53()x y -展开式的第四项为10,则y 关于x 的函数()f x 的反函数1()f x -的图象大致形状为( )
8.定义在R 上的函数f (x )与g (x ),对任意x 都有()()0f x f x +-=与()(4)g x g x =+成立.已知f (-2)=g (-2)=6,且((2)(2))((2)(2))22(4)f f g g f g g ++-+-=-+,则g (0)=( )
A .2
B .1
C .0
D .-1
9.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,则不同的站法共有( )
A .66种
B .60种
C .36种
D .24种
10.点P 在双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>上,F 1、F 2是这条双曲线的两个焦点,122F PF π∠=,
且△F 1PF 2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率等于( )
A .3
B .4
C .5
D .6
11.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱DD 1、AB 上的点.已知下列命题:
①AC 1⊥平面B 1EF ;
F
E
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
②三角形B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形; ③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线;
④平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点E 的位置有关,与点F 的位置无关.
其中,正确命题的个数有 ( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
12.已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x g 的导函数为f (x ),若a +b +c =0,f (0)f (1)>0,设21,x x 是方程f (x )=0的两个根,则12||x x -的取值范围为( )
A .14[,)39 B
.2)3 C .14(0,]()39+
∞ D .2
()3
+∞
第Ⅱ卷(客观题,共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.函数|1|3()log (24)x f x -=-的定义域是_____________________. 14.椭圆的中心在坐标原点,离心率等于1
2
,抛物线24y x =-的准线l 过它的一个焦点,则椭圆方程为__________________.
15.将圆面22(1)(1)3x y ++-≤绕直线y =1旋转一周所形成的几何体的体积与该几何体的内接正方体的体积的比值是__________.
16.若函数f (x )具有性质:1()()f f x x
=-,则称f (x )是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数:
①()log a f x x =(a >0且a ≠1); ②()x
f x a =(a >0且a ≠1);
③1y x x =-; ④(01)
()0(1)1
(1)x x f x x x x
⎧
⎪<<⎪
==⎨⎪⎪->⎩.
其中,满足“倒负”变换的所有函数的序号是_____________________.
三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)
17.(本小题满分12分)为备战2012年伦敦奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲: 8.3 9.0 7.9 7.8 9.4 8.9 8.4 8.3 乙: 9.2 9.5 8.0 7.5 8.2 8.1 9.0 8.5.
(Ⅰ)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由;
(Ⅱ)若将频率视为概率,对两位选手在今后各自的二次比赛成绩进行预测,求这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率.
18.(本小题满分12分)已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ,两向
量(tan ,n B =,222(,)m a c b ac =+-满足m n ⊥.
(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)求函数2
32sin cos 2
C A
y A -=+的最大值以及此时角A 的大小.
19.(本小题满分12分)已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD ,∠ABC =60°,E ,
F 分别是BC ,PC 的中点.
(Ⅰ)求证:AE ⊥PD ;
(Ⅱ)若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为4
6
,求二面角E -AF -C 的余弦值.
F
D
B
C
A
P
E
20.(本小题满分12分)已知{a n }是公差为d 的等差数列,它的前n 项和为S n .等比数列{b n }的前n 项和为T n ,且S 4=2S 2+4,219b =
,249
T =. (Ⅰ)求公差d 的值;
(Ⅱ)若对任意的n ∈N *
,都有8S n S ≥成立,求1a 的取值范围; (Ⅲ)若11
2
a =,判别方程55n n S T +=是否有解？并说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数32
21()21(0)32
a f x x x a x a =
--+>. (Ⅰ)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (Ⅱ)若方程f (x )=0恰有三个不同的实根,求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)已知不等式2()1f x x x '<-+对任意(1,)a ∈+∞都成立,求实数x 的取值范围.
22.(本小题满分14分)一条直线经过抛物线y 2
=2x 的焦点F ,且交抛物线于A 、B 两点,点C 为抛物线的准线上一点.
(Ⅰ)求证:∠ACB 不可能是钝角;
(Ⅱ)是否存在这样的点C ,使得△ABC 是正三角形?若存在,求出点C 的坐标;否则,说明理由.
南山中学2012级三诊模拟考试
数学试题(文史类答案)
一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.A .{|2}A
B x x =>-,故选择A .
2.B .直线的斜率为sin
3tan 3cos 3
k π
ππ=
=,即倾斜角为3π,故选择B . 3.B .由S 5=25得
151535()
25,10,52
a a a a a +=∴+=∴=,故选择B . 4.D .显然,若a ⊥β且α//β,则有a ⊥α,反之不成立,于是,“ a ⊥β且α//β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件,故选择D . 5.B .令学生有5x 人,则老师有x 人,于是得老师要抽取606x
x
⨯=10人,所以老师共有100人,学生有500人,故选择B .
6.D .可行域是以(0,0)、(3,0)、(0,2)、(8,10)为顶点的四边形区域,当直线z =x +2y 过点(8,10)时z 取最大值28,故选择D .
7.A .T 4
＝3235(C ,所以-10xy ＝10,∴y ＝1
x
-
(x >0),故选择A . 8.A .由条件知f (x )是奇函数,g (x )是周期为4的函数.
(2)(2)660,((2)(2))0f g f f g +=-+=+=,((2)(2))(12)(0)g f g g g -+-==, (4)(0)g g =,于是原式变为(0)22(0),g g =-+(0)2g ∴=,故选择A .
9.C .除甲、乙之外的三人有3
3A 种排法,按乙的不同位置分类,从左至右乙有三种插法,分别对
应甲有3、2、1种插法,于是共有3
3(321)36A ++=种,故选择C .
10.C.设|PF 2|,|PF 1|,|F 1F 2|成等差数列,且分别设为m -d ,m ,m +d ,则由双曲线定义和勾股定理
可知:m -(m -d )=2a ,m +d =2c ,(m -d )2+m 2=(m +d )2
,解得m =4d =8a ,5252
d
c e
d a
===,故选择C .
11.B .显然②③正确,故选择B .
12.B .由题意得:c bx ax x f ++=23)(2,∵21,x x 是方程0)(=x f 的两个根,
∴2
22
219124||a ac
b x x -=-.又a +b +
c =0,∴b a c --=代入上式,
34
)(34)(949412129)(124||22
22222
21++=++=++=-a b a b a
b ab a a b a a b x x . 又∵0)1()0(>⋅f f ,∴0)2)((<++b a b a ,∵0≠a ,两边同除以2a 得:
02)(3)(2<++a b a b ,所以12-<<-a b ,122
||)3
x x ∴-∈故选择B . 二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.由|1|
2
4>0x --得|1|>2x -,于是x <-1或x >3,即定义域是(,1)(3,)-∞-+∞.
14.抛物线2
4y x =-的准线是x =1,于是椭圆的c =1,又1,2,2c
e a b a
=
=∴==故其方程为22
143
x y +=.
15.显然直线y =1经过圆心(-1,1),,
其体积为
43
π
⨯=.设球内接正方体的的边长为a ,则
2a ==,正方体的体积为8,. 16.于()log a f x x =,11
()log log ()a
a f x f x x x
==-=-,所以①是“倒负”变换的函数. 对于()x
f x a =,1
1
()()x f a f x x
=≠-,所以②不是“倒负”变换的函数.
对于函数1()f x x x =-,∵11
()()f x f x x x =-=-,所以③是“倒负”变换的函数. 对于④,当0<x <1时,
1x >1,∵f (x )＝x ,1
()()f x f x x
∴==-; 当x >1时,0<
1x <1,∵f (x )＝1x -,∴11
()()f f x x x
==-; 当x ＝1时,1x ＝1,∵f (x )＝0,∴1
()(1)0()f f f x x
===-,④是满足“倒负”变换的函数.
综上:①③④是符合要求的函数.
三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.) 17.(Ⅰ)可计算处8.5,8.5,x x ==甲乙 (3)
21 2.16[0.040.250.360.490.810.160.010.04]0.2788S =+++++++==甲.
21 3.24[0.4910.2510.090.160.250]0.40588
S =+++++++==乙.
故选择甲去 (3)
(Ⅱ)甲的成绩不低于8.5分的概率为13
8
p =
,乙的成绩不低于8.5分的概率为24182
p =
=. 于是所求概率等于1
122222
2351131516092547()()()()88228282644128
C C ++⋅⨯⋅+⨯+⨯==⨯. 所以,这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率为47
128
(6)
18.(Ⅰ)由m n ⊥得2
2
2
()tan 30a c b B ac +--=,即2223
tan 22
a c
b B a
c +-=
, 即3
sin .(0,),2
23
B B B ππ
=
∈∴= (6)
(Ⅱ)2
232sin cos
2sin cos(2)23
C A y A A A π
-=+=+- 31sin 2cos21sin(2)1226
A A A π
=
-+=-+.……………………3 因为
<<
,6
2
A π
π
所以当26
2
A π
π
-
=
时,即3
A π
=
时,函数的最大值为2 (3)
19.(Ⅰ)由四边形ABCD 为菱形,∠ABC =60°,可得△ABC 为正三角形.
因为E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC .又BC //AD ,因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AE .而PA ⊂平面PAD ,AD ⊂平面PAD,且PA ∩AD =A ,所以AE ⊥平面PAD ,又PD ⊂平面PAD .所以
AE ⊥PD (4)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AE ,AD ,AP 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,设AB =2,AP =a ,则A (0,0,0),B (3,-1,0),
C (3,1,0),
D (0,2,0),P (0,0,a ),
E (3,0,0),
F (
2
2123a
，，). 所以PB =(3,-1,-a ),且AE =(3,0,0)为平面PAD 的法向量,设直线PB 与平面PAD
所成的角为θ,由sinθ=|cos＜PB ,AE ＞|=
||||||PB AE PB AE ⋅⋅=3
432a +=46,解得
a =2 (4)
所以AE ＝(3,0,0),AF ＝(
23,2
1
,1). 设平面AEF 的一法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则00m AE m AF ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪
⎩,因此11110
1
02
x y z =++=, 取z 1=-1,则m =(0,2,-1).因为BD ⊥AC ,BD ⊥PA ,PA ∩AC =A ,所以BD ⊥平面AFC ,故BD 为平面AFC 的一法向量.又BD =(-3,3,0),所以cos ＜m ,BD ＞
=
2||5m BD m BD ⋅==⋅⨯因为二面角E -AF -C 为锐角,故所求二面角的余弦值为
5
15
.……………4 20.(Ⅰ)∵4224S S =+,∴1134
42(2)42
a d a d ⨯+
=++,解得1d =.…………3 (Ⅱ)由于等差数列{a n }的公差10,n d S S =>8要取得最小值,必须有
8900a a ≤⎧⎨
≥⎩,1170
80
a d a d +≤⎧⎨+≥⎩. 求得187a -≤≤-,∴1a 的取值范围是[8,7]-- (4)
(Ⅲ)由于等比数列{b n }满足219b =,249T =,11119
49b q b b q ⎧=
⎪⎪⎨⎪
+=⎪⎩
,111,33b q ==.
])31(1[213
11]
)31
(1[31n n n T -=--=,2111(1)22n S na n n d n =+-=, (2)
则方程55n n S T +=转化为:2
1[1()]1103
n
n +-=. 令:2
1()1()3
n
f n n =+-,知()f n 单调递增,
当110n ≤≤时,10
1()100[1()]10011013
f n ≤+-<+=,
当11n ≥时,2
112
1()11[1()]111213
f n ≥+->=,所以方程55n n S T +=无解. ……3 21.(Ⅰ)a=1时,32
211()21,()232
f x x x x f x x x '=
--+=--,(0)1,(0)2f f '==-, 所以切线方程为12y x -=-,即210x y +-=.………………3 (Ⅱ)
22()2f x x ax a '=--,令2220x ax a --=得x =-a 或x =2a .
于是()>0f x '得x <-a 或x >2a ,()<0f x '得-a <x <2a . 所以x =-a 时,f (x )取得极大值3
7()16
f a a -=
+; x =2a 时,f (x )取得极小值3
10(2)13
f a a =-
+.………………2 要使方程f (x )=0恰有三个不同的实根,则函数y =f (x )的极大值大于零,极小值小于零,
所以3
37106
1010
3
a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩,
解之得10a >=
.……………………2 (Ⅲ)要使2()1f x x x '<-+对任意(1,)a ∈+∞都成立, 即2
2
2
2
21,(1)21x ax a x x a x a --<-+∴-<+.
(1,),1<0a a ∈+∞∴-,于是2211a x a +>-对任意(1,)a ∈+∞都成立,则x 大于
2211a a
+-的最大值
.
2213
[2(1)4]11
a a a a +=--++
≤---,当32(1)1a a -
=-,即
1a =+
.故2max 21()(41a x a +>=-+-.……………………5 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (1,2m -
),直线AB 的方程为12
x ty =+. 由2212
y x
x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2210y ty --=,则12122,1y y t y y +==-.
于是22
2
121212121()121,224
y y x x t y y t x x +=++=+=
⋅= (3)。