初等变换概述
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分析 PT AP 与 A 的关系得： （ 1） 若 P = P（ i，j） ，PT AP 表示先将 A 第 i，j 行互换，然后 再将得到矩阵的第 i，j 列互换； （ 2） 若 P = P（ i（ c） ） ，PT AP 表示先将 A 第 i 行乘 c，然后 再将得到矩阵的第 i 列乘 c； （ 3） 若 P = P（ i，j（ c） ） ，PT AP 表示先将 A 第 i 行加上第 j 行的 c 倍，然后再将得到矩阵的第 i 列加上第 j 列的 c 倍． 综合上述分析，将 A 进行一次初等行变换，将其结果进 行一次相应的列变换，如此进行下去，直至将其对角化，即
【关键词】初等变换； 行列式； 矩阵； 线性方程组 【基 金 项 目 】黑 龙 江 省 高 等 教 育 教 学 改 革 项 目 （ SJGY20170311） ．
初等变换是线性代数课程中最重要的概念和方法． 初 等变换具体包括 行 列 式 的 初 等 变 换，矩 阵 的 初 等 变 换 和 方 程组的初等变换，在 不 同 问 题 中 初 等 变 换 的 使 用 既 有 区 别 又有联系． 本文将分别从行列式的计算，矩阵问题的研究和 线性方程的求解 中 引 入 初 等 变 换 的 概 念，认 识 它 们 的 区 别 和联系． 最后通过一些具体问题来展示初等变换在实际问 题中的广泛应用．
将二次型化为标准形可以通过配方法或正交变换来求 得，但是过程很麻烦，注意到可逆矩阵可以表示为初等矩阵 的乘积，而初等矩阵的转置仍为初等矩阵，且
P（ i，j） T = P（ i，j） ，P（ i（ c） ） T = P（ i（ c） ） ，P（ i，j（ c） ） T = P（ j，i（ c） ） ，
行变换，I 变 进行相应的列变化，I 不变
（ A | In ） →→（ D | P） ， 其中 D 为对角矩阵．
【参考文献】 ［1］张禾瑞，郝炳新． 高等代数（ 第 4 版） ［M］． 北京： 高 等教育出版社，2004． ［2］同济大学应用数学系． 线性代数（ 第四版） ［M］． 北 京： 高等教育出版社，2003． ［3］许以超． 线性代数与矩阵论［M］． 北京： 高等教育出 版社，1992． ［4］王晓静，崔景安，张艳． 初等变换法在解线性矩阵方 程中的应用［J］． 高师理科学刊，2017（ 8） ： 24 － 27．
一、初等变换的概念 （ 一） 行列式的初等变换 定义 1： 下列操作称为行列式的初等行变换： （ 1） 交换行列式的某两行； （ 2） 将行列式的某一行所有元素乘一个非零数 k； （ 3） 把行列式的某一行的所有元素同乘一个数 k 并加 到另外一行的对应元素中去． 类似的，可以定义行列式的初等列变换． 行变换和列变 换统称为行列式的初等变换． 定理 1： n 阶行列式 D≠0，行列式 D 经初等变换后得到 行列式 D'，则 D'≠0； 若行列式等于零，经初等变换后得到 的行列式仍然为零． 结合行列式的 性 质 很 容 易 证 明 该 结 论，该 定 理 表 明 行 列式的初等变换不改变行列式是否为零的事实． （ 二） 矩阵的初等变换［2］ 定义 2： 矩阵的初等行变换是指下列三种操作： （ 1） 交换矩阵的某两行； （ 2） 将矩阵的某一行所有元素乘一个非零数 k； （ 3） 把矩阵的某一行的所有元素同乘一个数 k 并加到 另外一行的对应元素中去． 类似的，可以定义矩阵的初等列变换． 初等行变换和初 等列变换统称为初等变换． 可以证明，任意 矩 阵 经 过 初 等 化矩阵为行最简矩阵． 定理 2： 若 n 阶矩阵 A 可逆，则经初等变换后所得到的 矩阵亦可逆． 证明： 若 n 阶矩阵 A 可逆，则 | A | ≠0，由定理 1，初等变 换不改行列式是 否 为 零 的 事 实，故 经 过 初 等 变 换 后 的 矩 阵 的行列式 不 等 于 零，即 可 逆 的 矩 阵 经 过 初 等 变 换 后 仍 然 可逆． （ 三） 线性方程组的初等变换 采用消元法解线性方程组实际上就是反复对方程组中 的方程做下面三 种 操 作，这 三 种 操 作 称 为 线 性 方 程 组 的 初 等变换． 定义 3： 下列变换称为方程组的初等变换：
（ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 用一个非零的数乘某一个方程； （ 3） 将一个方程的倍数加到另外一个方程中． 显然，方程组的初等变换不改变方程组的解． 将线性方程组 与 方 程 的 增 广 矩 阵 一 一 对 应 ，上 述 方 程 组的初等变换就 是 对 增 广 矩 阵 进 行 相 应 的 初 等 行 变 换 ，任 意线性方程组都可以经过初等行变换得到与之同解的阶梯 型方程组． 这对判断方程是否有解以及求解线性方程组都 是至关重要的． 综上所述，行列式、矩阵和线性方程组的初等变换都是 三种操作，在行列 式 的 计 算 中 初 等 行 变 换 和 列 变 换 的 作 用 是一样的，矩阵的 相 应 计 算 中 行 变 换 和 列 变 换 使 用 的 形 式 有所不同，线性方程组的求解只能进行初等行变换，以保证 变换前后方程组是同解方程组． 二、初等变换的应用举例 （ 一） 利用初等变换求过渡矩阵 设 V 为 n 维线性空间，α1 ，α2 ，…，αn 与 β1 ，β2 ，…，βn 为 V 的两组基，令 β1 在 α1 ，α2 ，…，αn 下的坐标为 T1 ，β2 在 α1 ， α2 ，…，αn 下的坐标为 T2 ，…，βn 在 α1 ，α2 ，…，αn 下的坐标 为 Tn ，则称 T = （ T1 ，T2 ，…，Tn ） 为从 α1 ，α2 ，…，αn 到 β1 ，β2 ， …，βn 的过渡矩阵． 利用初等变换 解 方 程 的 方 法，我 们 可 以 计 算 出 任 意 两 组基下的过渡矩阵． （ 二） 利用初等变换求二次型的标准形
专题研究
116
ZHUANTI YANJIU
初等变换概述
◎于莉琦 高恒嵩 （ 黑龙江东方学院数学教研室，黑龙江 哈尔滨 150086）
【摘要】初等变换是线性代数中最重要的概念，同时也 是线性代数中解决问题最重要的方法． 本文总结了初等变 化在行列式，矩阵和线性方程组中的概念和联系，并通过实 例介绍了初等变换的应用．
【关键词】初等变换； 行列式； 矩阵； 线性方程组 【基 金 项 目 】黑 龙 江 省 高 等 教 育 教 学 改 革 项 目 （ SJGY20170311） ．
初等变换是线性代数课程中最重要的概念和方法． 初 等变换具体包括 行 列 式 的 初 等 变 换，矩 阵 的 初 等 变 换 和 方 程组的初等变换，在 不 同 问 题 中 初 等 变 换 的 使 用 既 有 区 别 又有联系． 本文将分别从行列式的计算，矩阵问题的研究和 线性方程的求解 中 引 入 初 等 变 换 的 概 念，认 识 它 们 的 区 别 和联系． 最后通过一些具体问题来展示初等变换在实际问 题中的广泛应用．
将二次型化为标准形可以通过配方法或正交变换来求 得，但是过程很麻烦，注意到可逆矩阵可以表示为初等矩阵 的乘积，而初等矩阵的转置仍为初等矩阵，且
P（ i，j） T = P（ i，j） ，P（ i（ c） ） T = P（ i（ c） ） ，P（ i，j（ c） ） T = P（ j，i（ c） ） ，
行变换，I 变 进行相应的列变化，I 不变
（ A | In ） →→（ D | P） ， 其中 D 为对角矩阵．
【参考文献】 ［1］张禾瑞，郝炳新． 高等代数（ 第 4 版） ［M］． 北京： 高 等教育出版社，2004． ［2］同济大学应用数学系． 线性代数（ 第四版） ［M］． 北 京： 高等教育出版社，2003． ［3］许以超． 线性代数与矩阵论［M］． 北京： 高等教育出 版社，1992． ［4］王晓静，崔景安，张艳． 初等变换法在解线性矩阵方 程中的应用［J］． 高师理科学刊，2017（ 8） ： 24 － 27．
一、初等变换的概念 （ 一） 行列式的初等变换 定义 1： 下列操作称为行列式的初等行变换： （ 1） 交换行列式的某两行； （ 2） 将行列式的某一行所有元素乘一个非零数 k； （ 3） 把行列式的某一行的所有元素同乘一个数 k 并加 到另外一行的对应元素中去． 类似的，可以定义行列式的初等列变换． 行变换和列变 换统称为行列式的初等变换． 定理 1： n 阶行列式 D≠0，行列式 D 经初等变换后得到 行列式 D'，则 D'≠0； 若行列式等于零，经初等变换后得到 的行列式仍然为零． 结合行列式的 性 质 很 容 易 证 明 该 结 论，该 定 理 表 明 行 列式的初等变换不改变行列式是否为零的事实． （ 二） 矩阵的初等变换［2］ 定义 2： 矩阵的初等行变换是指下列三种操作： （ 1） 交换矩阵的某两行； （ 2） 将矩阵的某一行所有元素乘一个非零数 k； （ 3） 把矩阵的某一行的所有元素同乘一个数 k 并加到 另外一行的对应元素中去． 类似的，可以定义矩阵的初等列变换． 初等行变换和初 等列变换统称为初等变换． 可以证明，任意 矩 阵 经 过 初 等 化矩阵为行最简矩阵． 定理 2： 若 n 阶矩阵 A 可逆，则经初等变换后所得到的 矩阵亦可逆． 证明： 若 n 阶矩阵 A 可逆，则 | A | ≠0，由定理 1，初等变 换不改行列式是 否 为 零 的 事 实，故 经 过 初 等 变 换 后 的 矩 阵 的行列式 不 等 于 零，即 可 逆 的 矩 阵 经 过 初 等 变 换 后 仍 然 可逆． （ 三） 线性方程组的初等变换 采用消元法解线性方程组实际上就是反复对方程组中 的方程做下面三 种 操 作，这 三 种 操 作 称 为 线 性 方 程 组 的 初 等变换． 定义 3： 下列变换称为方程组的初等变换：
（ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 用一个非零的数乘某一个方程； （ 3） 将一个方程的倍数加到另外一个方程中． 显然，方程组的初等变换不改变方程组的解． 将线性方程组 与 方 程 的 增 广 矩 阵 一 一 对 应 ，上 述 方 程 组的初等变换就 是 对 增 广 矩 阵 进 行 相 应 的 初 等 行 变 换 ，任 意线性方程组都可以经过初等行变换得到与之同解的阶梯 型方程组． 这对判断方程是否有解以及求解线性方程组都 是至关重要的． 综上所述，行列式、矩阵和线性方程组的初等变换都是 三种操作，在行列 式 的 计 算 中 初 等 行 变 换 和 列 变 换 的 作 用 是一样的，矩阵的 相 应 计 算 中 行 变 换 和 列 变 换 使 用 的 形 式 有所不同，线性方程组的求解只能进行初等行变换，以保证 变换前后方程组是同解方程组． 二、初等变换的应用举例 （ 一） 利用初等变换求过渡矩阵 设 V 为 n 维线性空间，α1 ，α2 ，…，αn 与 β1 ，β2 ，…，βn 为 V 的两组基，令 β1 在 α1 ，α2 ，…，αn 下的坐标为 T1 ，β2 在 α1 ， α2 ，…，αn 下的坐标为 T2 ，…，βn 在 α1 ，α2 ，…，αn 下的坐标 为 Tn ，则称 T = （ T1 ，T2 ，…，Tn ） 为从 α1 ，α2 ，…，αn 到 β1 ，β2 ， …，βn 的过渡矩阵． 利用初等变换 解 方 程 的 方 法，我 们 可 以 计 算 出 任 意 两 组基下的过渡矩阵． （ 二） 利用初等变换求二次型的标准形
专题研究
116
ZHUANTI YANJIU
初等变换概述
◎于莉琦 高恒嵩 （ 黑龙江东方学院数学教研室，黑龙江 哈尔滨 150086）
【摘要】初等变换是线性代数中最重要的概念，同时也 是线性代数中解决问题最重要的方法． 本文总结了初等变 化在行列式，矩阵和线性方程组中的概念和联系，并通过实 例介绍了初等变换的应用．