九年级数学上册 压轴解答题测试卷(含答案解析)

九年级数学上册压轴解答题测试卷（含答案解析）
一、压轴题
1．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积
为1
2
，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三
角形”的面积小于3
，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，）． ①若
，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ；
②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则的值为 ； （2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （，）是抛物线
上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标的取值范
围；
（3）如图3，已知点D （1，1）．E （
，）是函数
的图象上一点，矩形
OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．
3．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣
1
3
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．
（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值． （2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段
AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .
（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；
①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求
a
b
的值.
6．如图，B 是
O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于
点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延
长交直线l 于点F.
（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ． （2）连接FB ，若B 是OA 的中点，
O 的半径是4，求FB 的长.
7．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
8．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2
12
y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）
9．如图，已知抛物线2
34
y x bx c =
++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线3
34y x t
=
-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．
10．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，
2AB =，6BD =CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.
11．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ＝BD ，点D 在AB 上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于点F ，连接OA 、OB ，且OA ＝5，tan ∠OBA ＝12
． （1）求证：∠OBA ＝∠OCD ；
（2）当△AOF 是直角三角形时，求EF 的长；
（3）是否存在点F ，使得S △CEF ＝4S △BOF ，若存在，请求EF 的长，若不存在，请说明理由．
12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE
DC
的值； （3）如图③，若DE CF =，求
DE
DC
的值.
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一、压轴题
1．（1）②；（2）±1；（3）23＜B x 3733
-＜B x ＜23-【解析】
【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．
（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定
∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．
【详解】
（1）如下图所示：
∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O的半径OM是定值时，22
PM OP OM
=-，
∵
1
=
2
PMO
S PM OM
••，
∴要使PMO
△面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥l时，OP最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．
故选：②．
（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：
按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．
则由已知可得：
111
=1
222
AEF
S AE EF EF
••=⨯⨯=，故EF=1．
在△AEF中，根据勾股定理得：22
AF AE
==
∵A(0,2)，即OA=2，
∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==， ∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC
ODC OD
∠=
=ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形， ∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°， 在直角△BDN 中，sin BN
BDN BD
∠=， 故23
=
sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠．
∵⊙B 3， ∴3BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN 3BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞23． 由已知得：113=322BMN
S
MN BM MN ••=•=3
MN ＜1． 在直角△BMN 中，2223BN MN BM MN =+=+1+3=2，此时可利用勾股定理算得BD ＜
33，OB BD OD =- ＜333-33
， 则23＜B x 3
②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：73B x
＜23-
故综上：23-＜B x ＜33或733
-＜B x ＜23--． 【点睛】
本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
2．（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；
，或
；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据给出的新定义进行求解；（2）过M 点作轴的垂线与过N 点垂直于轴的直线交于点Q ，则当点P 位于矩形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小；根据当y=0是y=8时求出x 的值得到取值范围；（3）根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.
试题解析：（1）①18； ②t=4或t=－1； （2）如图，过M 点作轴的垂线与过N 点垂直于
轴的直线交于点Q ，则当点P 位于矩
形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S 矩形OMQN ＝OM·ON ＝6×8＝48， ∴点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值为48． 抛物线与
轴交于点T （0，5）． 令，有，
解得：x=－1（舍去），或x=5．
令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴
，或
．
（3）
．
考点：新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质. 3．(1)证明见解析；(2)132
3 【解析】 【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由
BF ∥AG 可得到
AF BG
EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知
AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积． 【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=
11
322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG == ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，
∴AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2，
∴BE=
2
3
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5， 在Rt △AEG 中，()
2
222335213AE AG EG =
+=
+=(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=
11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+， ∵332AG BG a ==
， ∴2335BF ==， ∴△OFB 的面积＝
21313223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
4．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC
可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．
（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为
（x ，122
x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标． 【详解】
解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，
在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ，
∵CE ⊥x 轴，
∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，
∴∠ACK ＝∠CBE
在△AKC 和△CEB 中，
AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△AKC ≌△CEB （AAS ）
∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，
∵四边形AOEK 是矩形，
∴AO ＝EK ＝BE ，
由直线l ：y ＝﹣
13
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）
∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），
∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，
∴B 、C 、D 、E 四点共圆，
∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，
∴∠CED ＝45︒，
∴FE 平分∠CEO ，
过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．
∴PH ＝PQ ，
∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，
∴OE ＝4，
∴AP +PQ ≥4，
∴AP +PQ 的最小值为4．
（2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4），
设直线AC 解析式为：y ＝kx+b
把（0，2
），（4，4）代入得
2
44
b
k b
=
⎧
⎨
=+
⎩
解得
1
2
2 k
b
⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
∴直线AC解析式为：y＝1
2
2
x+，
设M点坐标为（x，1
2
2
x+），N坐标为（0，y）．
∵MN∥AB，∠CAB＝45︒，
∴∠CMN＝45︒，
△CMN为等腰直角三角形有两种情况：
Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．
∴
4
1
24
2
x y
x y
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
8
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴M点坐标为（﹣12，﹣4）
Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．
∴
44
1
244
2
x y
x
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴M点坐标为（12，8）
综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．
5．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②
34
a b =. 【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．
【详解】
（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.
∴90B A ∠=︒-∠ 9028=︒-︒
62=︒，
∵BC BD =，
∴1802
B BCD BD
C ︒-∠∠=∠= 180622
︒-︒= 59=︒.
∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠
9059=︒-︒
31=︒.
（2）①BD BC a ==，
∴AD AB BD =-
AB a =-.
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
AB =
=
∵2220x ax b +-=，
∴x =
a =-
a AB =-±.
∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.
②∵AE AD =，
又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==
， ∴2
b AD =. 在Rt ABC ∆中，
222AB AC BC =+， ∴2
222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 2
2224b a ab b a ++=+， ∴234
b ab =. ∵0b >， ∴
34b a =， ∴34
a b =. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
6．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=221.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，补全图形即可；
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC
=，利用等量代换可得AD CE
=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得
∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；
（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1
2
OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC
的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.
【详解】
（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，
②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，
∴AD AC
=，
∵CE CA
=，
∴AD CE
=，
∴∠EOC=∠AOD，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴∠OFC+∠FOC=90°，
∴∠OFC=∠ODC.
（2）连接BF，作BG⊥l于G，
∵B是OA的中点，⊙O半径为4，
∴OB=1
2
OA=
1
2
OC=2，
∵OA⊥CD，
∴∠OCD=30°，22
OC OB
-22
42
-3∴CD=2BC=43
由（1）可知∠OFC=∠ODC ，
∴FC=CD=43，
∵BG ⊥l ，OC ⊥l ，
∴OC//BG ，
∴∠CBG=∠OCD=30°，
∴CG=12
BC=3，BG=22BC CG -=3， ∴FG=FC+CG=53，
∴BF=22FG BG +=221.
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
7．（1）10；（2）1056+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可；
②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110
y x =，若要击杀则有(215610010
a x a x --=
，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．
【详解】 （1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，
可设2
(10)6y m x =-+，
将（0，2）代入，可得：125m =-
， ∴21(10)625
y x =--+，
当0y =，得10x =±(负值舍去)，
∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入
(2
y a x k =-+，得100k a =-；
②不存在． ∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122
=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110
y x =上，
令(2110010a x a x --=，
整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭， 当0=时符合条件，
221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭，
解得1a =，2a =． 开口向下，0a ＜，
∴1a ，2a 都可以，
将1a ，2a 分别代入(2110010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
8．（1）21322y x x =-
++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-
）． 【解析】
【分析】
（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（
2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；
（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点， 点D 为（2-，52
-），点B 为（3，0），
则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
， 解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩
， ∴抛物线的解析式为21322
y x x =-++； （2）∵22131(1)2222
y x x x =-++=--+， ∴点M 的坐标为（1，2）
令213022
x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点A 为（1-，0）；
令0x =，则32
y =，
∴点C 为（0，
32）； ∴OA=1，OC=32
， 过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：
∴2ME =，1OE =，2BE =， ∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =
•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形； （3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），
∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E 为AB 和11PQ 的中点，
∵E 为（1，0），
∵点Q 1为（0，y ），
∴点P 1的横坐标为2；
当2x =时，代入21
3
22y x x =-++， ∴3
2y =，
∴点13
(2,)2P ；
②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，
∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），
∴BQ 2中点的横坐标为3
2，
∵点A 为（1-，0），
∴点P 2的横坐标为4，
当4x =时，代入21322y x x =-
++， ∴52
y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52
-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；
∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），
∴AQ 3的中点的横坐标为12-
， ∵点B （3，0），
∴点P 3的横坐标为4-，
当4x =-时，代入21322y x x =-
++， ∴212
y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212
-）； 综合上述，点P 的坐标为：3
(2,)2或（4，52-
）或（4-，212-）． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．
9．（1）()90,3,4
--
；（2）48QH t =- ；（31或732或2532 【解析】
【分析】
（1）由于直线y ＝34t x －3过C 点，因此C 点的坐标为（0，-3），那么抛物线的解析式中c=-3，然后将A 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b 的值；
（2）求QH 的长，需知道OQ ，OH 的长．根据CQ 所在直线的解析式即可求出Q 的坐标，也就得出了OQ 的长，然后求OH 的长．在（1）中可得出抛物线的解析式，那么可求出B 的坐标．在直角三角形BPH 中，可根据BP=5t 以及∠CBO 的正弦值（可在直角三角形COB 中求出），得出BH 的长，根据OB 的长即可求出OH 的长．然后OH ，OQ 的差的绝对值就是QH 的长；
（3）本题要分①当H 在Q 、B 之间．②在H 在O ，Q 之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t 的值．
【详解】
（1）由于直线y ＝34t
x －3过C 点，C 点在y 轴上，则C 点的坐标为（0，-3）， 将A 点坐标代入解析式中，得0＝
34－b －3，解得b ＝－94； 故答案为 ()0,3-，94
-； （2）由（1），得y ＝34
x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．
∴OB ＝4，
又∵OC ＝3，
∴BC ＝5．
由题意，得△BHP ∽△BOC ，
∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5，
∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5，
∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ．
∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．
由y ＝34t
x －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ．
①当H 在Q 、B 之间时，
QH ＝OH －OQ
＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ．
②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH
＝4t －（4－4t ）＝8t －4．
综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜；
（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似．
t 121，t 2＝732，t 3＝2532
解析：①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ， 若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得
48334t t t -=，
∴t ＝732
． 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得
34834t t t -=， 即t 2＋2t －1＝0．
∴t 11，t 2＝1-（舍去）．
②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．
若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得
84334t t t -=， ∴t ＝2532
． 若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得
38434t t t -=， 即t 2－2t ＋1＝0．
∴t 1＝t 2＝1（舍去）．
综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝
732，t 3＝2532．
故答案为（1）()90,3,4
--
；（2）48QH t =- ；（31或732或2532． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
10．（1）详见解析；（2）3CD =或3；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；
（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一．
【详解】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点
∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴
12
AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽
∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠
∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形 ∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠
∴AEF EFG ∆∆∽
∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.
（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a =
∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴3DE a =
∵2AB =，6BD =
∴()22236a a ++=
312
a -=（负根已经舍弃）， ∴31AD =-
分为两种情况：
①如图3，当ABD BCD ∆∆∽时，
AD BD BD CD = ∴()
316CD -=，∴333CD =+
②如图4，当ABD BDC ∆∆∽时，
AB BD BD CD
= ∴26CD =，∴3CD =
综上，333CD =+或3
（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ，
∴AFE BEC ∠=∠，AF EF AF AE EC BE
==，∴AFE BEC ∆∆∽，∴90B ∠=
由“一线三等角”得
8
3 AF=.
②如图，当△AFE∽△FEC时，作CH⊥AD交AD的延长线于H，作OM⊥AD于M，连接OA．
∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM，四边形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴22
34
+，
∴CE=AH=8，设AF=x，则FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得AF
CH
=
AE
FH
，
∴
4
48
x
x =
-
，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．
③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF=EC=8．
综上所述，满足条件的AF的长为8
3
或4或8．（答案不唯一）
【点睛】
本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．（1）见解析；（2）EF＝3
2
51
+
；（3）存在
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ECB＝∠EBC，再判断出∠OCB＝∠OBC，即可得出结论；
（2）先求出EF，再分两种情况，利用锐角三角函数和相似三角形的性质即可得出结论；
（3）先利用面积关系得出
5
3
CO
FO
=，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结
论．
【详解】
解：（1）如图1，连接BC，
∵AC BD
=，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCD＝∠ECF＝∠ECB﹣∠OCB＝∠EBC﹣∠OBC＝∠OBA；（2）∵OA＝OB，
∴∠OAF＝∠OBA，
∴∠OAF＝∠ECF，
①当∠AFO＝90°时，
∵OA5tan∠OBA＝1
2
，
∴OC＝OA5OF＝1，AB＝4，
∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA 51 +
②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，
∴∠OAF＝∠OBA，
∴tan ∠OAF ＝tan ∠OBA ＝
12， ∵OA
∴OF ＝OA •tan ∠OAF
， ∴AF ＝52
， ∵∠OAF ＝∠OBA ＝∠ECF ，∠OFA ＝∠EFC ，
∴△OFA ∽△EFC ，
∴5
EF CF OC OF OF AF AF +===， ∴EF
OF ＝32, 即：EF ＝
32
； （3）存在，如图2，连接OE ，
∵∠ECB ＝∠EBC ，
∴CE ＝EB ，
∵OE ＝OE ，OB ＝OC ，
∴△OEC ≌△OEB ，
∴S △OEC ＝S △OEB ，
∵S △CEF ＝4S △BOF ，
∴S △CEO +S △EOF ＝4（S △BOE ﹣S △EOF ）， ∴
53CEO EFO S S ∆∆=， ∴53
CO FO =， ∴FO ＝35CO
， ∵△OFA ∽△EFC ， ∴53
CE AD CO EF FO FO ===， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝CE ﹣EF ＝
23EF ， ∴AF ＝AB ﹣BF ＝4﹣
23EF ， ∵△OAF ∽△EFC ， ∴CF EF FA FO
=，
∴
8
5
5
235
4
3
EF
=
-
，
∴EF＝3﹣
35
．
【点睛】
圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出
5
3
CE AD CO
EF FO FO
===是解本题的关键．12．（1）
1
2
；（2）tan EAD
∠=
1
3
；（3）
51
DE
CD
-
=
【解析】
【分析】
（1）先证明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再证明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根据O是AD的中点，AD=CD，即可得到答案；
（2）先证明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，进而得到∠OPD=90°，即可得到
△OPD∽△FAD，根据对应边成比例得到
DP OD
AD DF
=,设AF=OD=x，则AD=2x，5x，得到DP=
5
5
x
，求出PF=
35
5
x
，再证明△DEP∽△FAP，得到
2
3
DE
AF
=，根据AF=
1
2
CD，即可得到答案；
（3）先证明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，进而得到∠EPD=∠APD=90°，根据直角三角形的性质可得OP=OD=
1
2
AD，设OD=OP=x，则CD=2x，5x，可得PC=OC-5x x
-，根据△DPO∽△FPC，得到
51
OD
FC
+
=，进而得到
51
2
51
CF
CD
==
+
，即可得到结论.
【详解】
（1）如图①中，
∵四边形ABCD 是正方形，
PDA PDC ∴∠=∠，
DP DP =，DA DC =，
PDA ∴≌()PDC SAS ，
DAE DCO ∴∠=∠，
90ADE CDO ∠=∠=︒，AD CD =， ADE ∴≌()CDO ASA ，
OD DE ∴=，
AO OD ∴=，
CE DE ∴=，
12
DE DC ∴=． （2）如图②中，连接OF ．设OA OD a ==．
AF FB =，OA OD =，AB AD =， AF OD ∴=，
AD DC =，90FAD ODC ∠=∠=︒， FAD ∴≌()ODC SAS ，
FDA OCD ∴∠=∠，
90FDA CDP ∠=∠=︒，
∴ 90OCD CDP ∠=∠=︒，
90CPD ∴∠=︒，
90FAO FPO ∠=∠=︒，
∴A ，F ，P ，O 四点共圆，
PAO PFO ∴∠=∠，
1tan 2OP OPD PD
∠==， 5OP a ∴=，25PD a =， 5DF a =，
35PF a ∴=， 1tan tan 3
OP PFO PAO PF ∴∠=∠==， tan EAD ∴∠= 13
DE DE AD CD ==． （3）如图③中，连接EF ．设CF DE y ==，EC x =．
CF DE =，90FCD EDA ∠=∠=︒，CD DA =，
∴ FCD ≌EDA ()SAS ，
CDF EAD ∴∠=∠，
90CDF ADP ∠=∠=︒，
∴ 90DAE ADP ∠+∠=︒，
∴ 90APD ∠=︒，
OA OD =，
∴ OP OA OD ==，
∴ OAP OPA CPE ∠=∠=∠，
90ECF EPF ∠=∠=︒，
∴E ，C ，F ，P 四点共圆，
∴ CFE EPC ∠=∠，
∴ CFE DCF ∠=∠，
ECF DCF ∠=∠，
∴ FCE ∽DCF ，
∴ 2·CF CE CD =，
∴ ()2y x x y =+，
∴ 220y xy x --=，
∴ y x =x （舍弃），
∴ 12
y x +=，
∴ DE y CD x y ===+． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，求根公式法解一元二次方程，锐角三角函数及四点共圆等知识，用到的知识点较多，难度较大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。