北京市2022-2021年高三上学期第三次检测数学(文)试题

上学期第三次考试
高三数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由，故选B.
考点：集合的基本运算.
2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,所以共轭复数是。

故选A。

3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数
的图象向右平移个单位长度.
本题选择D选项.
4. 双曲线（）的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线的标准方程，则根据题意可得，即双曲线的标准方程为，其离心率为，选B
5. 如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（）
3 4 5 6
2.5 4 4.5
A. 4.5
B. 3.5
C. 3
D. 2.5
【答案】C
【解析】∵根据所给的表格可以求出
∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，，选B
点睛：本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．
6. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体，其体积，应选答案B。

7. 在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得平面区域为一个等腰直角三角形ABC，其中
，因此，选D.
考点：线性规划
【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
8. 已知函数，则其导函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∴其导函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除A，B，
当时，故排除D，故选：C．
点睛：本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于基础题．
9. 若（），则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：因为，，所以，所以
＝，故选B．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式．
10. 将函数（）的图象向右平移（）个单位长度后得到函数
的图象，若的图象都经过点，则的值不可能是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数向右平移个单位，得到
因为两个函数都经过，所以，又因为，所以，所以由题意所以此时
或此时故选D．
点睛：本题考查的知识点是函数的图象变换，三角函数求值，属中档题.解题时要注意，否则容易引起错误
11. 椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：设，直线的斜率分别为，则
，所以因为，所以，故选A.
考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率公式.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的几何性质及直线的斜率公式，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，本题首先根据双曲线的对称性，求出，再由的范围求得的范围.
12. 已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令，则，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
则,
所以，令，
则，，
则在区间上，，则单调递减，
又，所以在单调递增，单调递减，
所以，
所以，故选A。

点睛：本题考察导数的任意恒成立问题，先求的最大值为1，得
，分离参数法得，通过双次求导得到，所以得到。

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若向量，夹角为，且，，则与的夹角为__________．
【答案】
【解析】，
,
则，
所以。

点睛：利用数量积的公式得，所以要求出数量积，和模，解得
，，所以.
14. 已知点，，若点在线段上，则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】【解析】直线过点时取最大值
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15. 一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为
__________．
【答案】
【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，
∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，
∴外接球的表面积为故答案为：25π．
点睛：本题考查球的体积和表面积，确定直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角
线是解题的关键．
16. 已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由ln(b+1)+a−3b=0,得a=3b−ln(b+1),则点(b,a)是曲线y=3x−ln(x+1)上的任意一点，由2d−c =0,得c=2d ,则点(d,c)是直线y=2x上的任意一点，
因为(a−c)2+(b−d)2表示点(b,a)到点(d,c)的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以(a−c)2+(b−d)2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即曲线上与直线y=2x平行的切线到该直线的距离的平方。

，令y′=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d2= =1.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得公式为2，然后利用等差数列通项公式可得.
(2) 利用题意可得数列是首项为9，公比的等比数列，结合等比数列求和公式可得
.
试题解析：
（1）∵数列是等差数列，
由，得，∴，
由，所以公差，
∴数列的通项公式.
（2），，
∴数列是首项为9，公比的等比数列，
数列的前项和
18. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作不积极参加班级工作合计
学习积极性高18 7 25
学习积极性不高 6 19 25
合计24 26 50
（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？
（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？
（3）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．
附：
【答案】（1）；（2）；（3）有的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系
【解析】试题分析：本题主要考查样本估计总体、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，有已知表格知：不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以；第二问，将7名学生用字母表示
出来，用大小写字母将男生女生区分开来，任意抽取2名学生的所有情况全部表示出来，在其中选出符合题意的种数，计算出概率；第三问，利用已知的公式计算出，再根据表格判断是否有把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．
试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴
（Ⅲ）根据
∴我们有99．9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．
考点：样本估计总体、概率．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，
，为与的交点，为棱上一点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）由平面可得根据四边形是菱形，可得，从而证得平面，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；（2）由线面平行的性质定理可得，取中点，连结，则有，进一步证明可得平面，所以就是点到平面的距离，根据
即可求得其体积...................
试题解析：（1）证明：平面，平面，.
四边形是菱形，.又，平面，而平面，平面平面.
（2）平面，平面平面,.
是的中点，是中点，取中点，连结.
四边形是菱形，.
又
平面.
.
考点：空间中的平行与垂直关系的证明及棱锥的体积.
20. 已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆：上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线：交椭圆于，两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，利用已知条件列出的方程组，求出即可得到抛物线方程．
（2）利用已知条件推出的关系，求得，得到椭圆的方程，设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出的范围，通过原点在以线段
为直径的圆的外部，推出，然后求解的范围，最后求交集即可．
试题解析：（1）设点的坐标为．
由题可知，，解得，
∴抛物线的方程为；
（2）由（1）得，抛物线的焦点，
∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴椭圆的半焦距，
即，又椭圆的离心率为，
∴，即，
∴椭圆的方程为，
设，
由，得，
由韦达定理，得，
由，得，
解得或，①
∵原点在以线段的圆的外部，则，
∴
，
即，②
由①，②得，实数的范围是或，即实数的取值范围是
．
点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题.
21. 已知函数，，其中，均为实数，为自然对数的底数．（1）求函数的极值；
（2）设，，若对任意的，（），恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）极大值，无极小值；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数求导，得到，得到极值点，求出极值；（2）不
妨设，则等价于：，即
，分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．
试题解析：（1），令，得，列表如下：
∴当时，取得极大值，无极小值；
（2）当时，时，，，
∵在恒成立，∴在上为增函数，
设，∵在上恒成立，
∴在上为增函数，不妨设，则等价于：
，即，
设，则在上为减函数，
∴在上恒成立，
∴恒成立，∴，，
设，∵，，∴，∴，为减函数，
∴在上的最大值，∴，∴的最小值为.
考点：（1）利用导数研究函数在闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的极值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 在直角坐标系中，曲线是过点，倾斜角为的直线，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程；
（2）曲线与曲线相交于，两点，求的值．
【答案】（1），（为参数）；（2）
【解析】试题分析：（1）由极坐标和直角坐标互化公式转化极坐标方程为普通方程即可．直接利用直线的倾斜角，以及经过的点求出直线的参数方程：
（2）直线的参数方程代入椭圆方程，利用韦达定理，根据参数的几何意义求解即可．
试题解析：（1）∵，
∴，
即曲线的普通方程为，
由题得，曲线的一个参数方程为
（为参数）；
（2）设，
把，代入中，
得，整理得，，
∴，
∴．
23. 已知定义在上的函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，求证：．
【答案】（1）3；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可得，从而得的值；（2）利用柯西不等式，即可证明. 试题解析：（1）因为，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值等于，即.
（2）证明：由(1) 知，又因为是正实数，
所以，即.
考点：绝对值的几何意义；不等式的证明.。