2024年江苏省扬州市树人学校中考数学一模试卷+答案解析

2024年江苏省扬州市树人学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2024的相反数是()
A. B. C.2024 D.
2.下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是()
A. B. C. D.
3.如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()
A. B. C. D.
4.若，则下列说法正确的是()
A. B. C. D.
5.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为()
A. B.
C. D.
6.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
7.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心O在格点上，则的正切值等于()
A. B. C.2 D.
8.平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设
为双曲线上一点点M异于点，直线AM，BM分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为()
A.0
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法表示为____.
10.当x_____时，分式有意义．
11.已知，则代数式的值为_____.
12.小明用火柴棒按如图所示的规律摆放下列图形，则摆放第n个图形共需要火柴棒____根．
13.如图，在中，，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为_________
14.若用半径为12的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为_______.
15.如图，在菱形ABCD中，，E在CD上，将沿AE翻折至，且刚好过BC 的中点P，则____.
16.如图，中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分，交DE于点F，若，，则EF的长是____.
17.若实数x，y满足关系式，则的最大值为_______.
18.如图，正方形的边ABCD长为8，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作分别交AB，CD于点E，当取最小值时，则AF的长是_______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。

19.计算：
；
化简：
四、解答题：本题共9小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.本小题8分
解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
21.本小题8分
随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟
通方式”调查问卷每人必选且只选一种，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次统计共抽查了______名学生；
将条形统计图补充完整：在扇形统计图中，“QQ”所对应的扇形的圆心角是______度；
若某校有2000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数．
22.本小题8分
小明和小红各自打算随机选择周日的上午、下午或者晚上去瘦西湖景区游玩．
用树状图或者列表法表示出所有等可能结果；
求他们两人中至少有一人选择晚上游玩的概率．
23.本小题8分
在今年的3月12日第46个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗，已知用1200元购买甲种树苗的棵数与用900元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少5元，求甲种树苗每棵多少元？
24.本小题8分
如图，点
A在的边ON上，于于于
求证：四边形ABCD是矩形；
若，求AD的长．
25.本小题8分
如图，AB是的直径，点在上，，点F在线段AB的延长线上，且
求证：EF与相切；
若，求的面积．
26.本小题8分
如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：作点A关于BC的对称点F；
将线段AB向右平移得到线段DE，DE与BC交于点M，使；
线段DE可以由线段BF绕点O顺时针旋转度而得到的对应点分别为D，，在图中画出点O
27.本小题8分
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点在B的左侧，与y 轴交于点
C，连接AC、BC，抛物线的顶点为
用a的代数式表示C、D的坐标；
当四边形ABDC的面积21时，求该函数解析式；
当为直角三角形时，求a的值．
28.本小题8分
如图，，点A、B分别在OM、ON上运动不与点O重合，BC是的平分线，BC的
反向延长线交的平分线于点
随着点
A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由．
如图
A、B、D的圆的圆心，当点A从点O运动到F点，点G也随之运动，直接写出点G的运动路径长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：
2.【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．据此判断即可．【详解】解：不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】根据组合体的形状即可求出答案．
【详解】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，左上角有一个正方形．
故选：
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、若，则，得不到，原说法错误，不符合题意；
B、若，则，原说法正确，符合题意；
C、若，得不到，原说法错误，不符合题意；
D、若，得不到，原说法错误，不符合题意；
故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
故选：
本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】【详解】解：原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B.原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C.原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D.原来数据的方差，
添加数字2后的方差，
故方差发生了变化．
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知，再结合图形根据正切的定义
进行求解即可得.
【详解】，
，
故选
本题考查了圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．8.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，确定直线AM，BM的解析式是解题的关键．设A，M，B三点坐标，根据题意可得，易得，即，分别表示出直线AM，BM的解析式，令可计算出点C和D的横坐标，相加即可得到结论．
【详解】解：直线与双曲线相交于A，B两点，
设，则，
，
为双曲线上一点，
，
，
，
设直线AM的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线AM的解析式为，
令，可得，解得，
，
设直线BM的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线BM的解析式为，
令，可得，解得，
，
，
，
D两点横坐标的和为
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成的形式，其中，n为整数．【详解】解：，
故答案是：
本题考查了小数的科学记数法表示，熟记指数n是左边第一个非零数字前面数字零个数的相反数是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【详解】解：分式有意义，
，
，
故答案为：
11.【答案】64
【解析】【分析】本题考查因式分解的应用．将代数式因式分解，然后根据，即可解答本题．
【详解】解：，
，
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多5根火柴棒，根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可．
【详解】解：搭第1个图形需要7根火柴棒，，
搭第2个图形需要12根火柴棒，，
搭第3个图形需要17根火柴棒，，
…，
搭第n个图形需要的火柴棒的根数是
故答案为：
本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】连接AD，OD，OE，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，OD，OE，
为直径，
，
，
，，
，，
弧DE的长为，
故答案为：
本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】6
【解析】【分析】本题考查的是圆锥的计算．根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，圆锥的底面周长，
，
解得，，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】由菱形的性质得出，，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由翻折变换的性质得：
，求出，即可得出的度数.
【详解】
解：连接AC，如图所示：
四边形ABCD是菱形，，
，，，
是等边三角形，
刚好过BC的中点P，
，
，
由翻折变换的性质得：，
，
；
故答案为
本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键.
16.【答案】
【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE、，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，计算即可．
【详解】解：、
E分别是BC、AC的中点，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数与不等式之间的关系，先求出，再根据偶次方的非负性得到，进而求出，再由可得当
时，有最大值，最大值为
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
解得，
，
当时，的值随x增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：
18.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质．根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；过F作于G，
证明≌得，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，
的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可．
【详解】解：过F作于G，则，，
正方形ABCD的边长为8，
，，
是
BC的中点，
，
，
，
，
，
≌，
，
将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则，，，当A、F、H三点共线时，的值最小，
此时，
，
故答案为：
19.【答案】解：
；
解：
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简，然后计算加减法即可；
先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．
20.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解的和是
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
21.【答案】解：喜欢用电话沟通的人数为20，百分比为，
此次共抽查了：名，
喜欢用短信的人数为：名，
条形图如下：
“QQ”所对应的扇形的圆心角：
名，
答：估计最喜欢用“微信”沟通的人数为800名．
【解析】【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形圆心角，画条形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用喜欢使用电话的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图，计算出QQ所占百分比即可求出圆心角；
利用样本估计总体，用2000乘以样本中最喜欢用微信进行沟通的学生所占的百分比即可．
22.【答案】解：列表如下：
上午下午晚上
上午上午，上午上午，下午上午，晚上
下午下午，上午下午，下午下午，晚上
晚上晚上，上午晚上，下午晚上，晚上
共有9种等可能的结果．
解：由表格可知，他们两人中至少有一人选择晚上游玩的结果有：上午，晚上，下午，晚上，晚
上，上午，晚上，下午，晚上，晚上，共5种，
他们两人中至少有一人选择晚上游玩的概率为
【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
根据题意直接列表即可．
由表格可得出所有等可能的结果数以及他们两人中至少有一人选择晚上游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23.【答案】解：设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：甲种树苗每棵20元．
【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种树苗每棵x元，则乙种树苗每棵元，根据用1200元购买甲种树苗的棵数与用900元购买乙种树苗的棵数相同，列出方程求解即可得到答案．24.【答案】证明：于B，于E，
在与中，
≌，
又，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形ABCD是矩形；
解：由知≌，
，
设，则，
在中，由得：，
解得
【解析】【分析】此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．注意利用勾股定理求线段AD的长是关键．根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可；
根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
25.【答案】证明：如图所示，连接OE，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
解：设半径为x，则，
，，
，
在中，，，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为4，则，
在中，，，，
，
，
【解析】【分析】利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立；
设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解．
本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26.【答案】解：如图所示;
由题可得AB和DE平行，只需要就是所求线段.如图所示;
由B，F的对应点分别为D，E可得到结果.如图所示.
【解析】【分析】根据点的对称可知A到B与F到B的距离相等.
根据平行线分线段成比例可得判断得出结论.
根据图形的旋转作图可做出图形.
本题主要考查了格点作图的知识点，准确理解题目中的意思，准确找准对应点是关键.
27.【答案】解：令，则，
；
令，则，
解得：，
，
抛物线的对称轴为：直线，
将代入解析式得：
；
解：连接OD，
则，
解得：，
；
解：①当时，过
D作轴，交y轴于点E，过B作，垂足为
，，
，
，
，
，即，
解得：负值舍去；
②当时，如下图，
同理可得：，
，即，
解得：负值舍去
综上，或
【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键．
令，则，；得到抛物线的对称轴为：直线，将代入解析式得：，即可求解；
由，即可求解；
①当时，证明，即可求解；
②当时，同理可解．
28.【答案】【详解】解：的大小不变，理由如下：
是的平分线，AD平分，
，，
，
，
，
，即，
，
故的大小不变．
解：如图，延长AB到H，MO到I，过D分别作DJ、DK、DL垂直AH、ON、MI，垂足分别为J、K、L，连接OD，
平分，
，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
是的平分线，
，
在与中，，，
，
，，
，
，
解：如图，取AB中点P，以P为圆心，OP为半径作圆P，于OD交点G，以点G为圆心，AG为半径作圆G，则圆G为外接圆，连接BF，
根据解析得：，
，
根据作图可知：，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
点G在OD上，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点A从点O向点F的运动过程中，运动路径长为，
点G的运动路径长
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，根据等量代换即可求解；
延长AB到H，MO到I，过D分别作DJ、DK、DL垂直AH、ON、MI，垂足分别为J、K、L，连接OD，
根据角平分线的判定和性质证明OD是的平分线，得出，证明
得出，即，求出即可；
取AB中点P，以P为圆心，OP为半径作圆P，于OD交点G，以点G为圆心，AG为半径作圆G，则
圆G为外接圆，连接BF，证明，得出点G在OD上，证明，
得出，说明，求出结果即可．
本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．。