2020-2021学年数学第二册教案：第3章3.3第1课时 二项式定理含解析

2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第二册教案：第3章3.3 第1课时二项式定理
含解析
3.2数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
（略)
3.3二项式定理与杨辉三角
第1课时二项式定理
学
习目标核心素养
1。

能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．（重点）
3。

能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。

2。

借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养。

三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小,形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果?每一种结果有多少种情形？
问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？
二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念
公式(a＋b）n＝C0，n a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…
＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n（n∈N＋）称为二项式定理二项式系
数
各项系数C r，n(r＝0，1,2,…，n）叫做展开式的二项式
系数
二项式通
项
C错误!a n－r b r是展开式中的第r＋1项，可记做T r
＋1
＝C 错误!a n－r b r(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋）
二项展开
式
C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r
＋…＋C n n b n(n∈N＋）
[提示］二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．
二项式系数是指C0，n，C错误!,…，C错误!，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关,而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式（a＋b）n与(b＋a）n展开式的第k＋1项是否相同？
[提示］不同．（a＋b）n展开式中第k＋1项为C错误!a n－k b k，而（b＋a）n展开式中第k＋1项为C k，n b n－k a k。

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×")
（1）（a＋b）n展开式中共有n项．
（2）在公式中,交换a，b的顺序对各项没有影响． ()
(3）C错误!a n－r b r是(a＋b）n展开式中的第r项．(）
(4)（a－b）n与(a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同．
[答案］(1）×(2)×(3）×(4)√
2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于（）
A．9B．10
C．11 D．12
B[由n＋1＝11，可知n＝10.]
3．（y－2x）8展开式中的第6项的二项式系数是（)
A．C错误!B．C错误!（－2)5
C．C错误!D．C错误!(－2)6
C［由题意可知第6项的二项式系数为C错误!。

]
4．(x＋2）6的展开式中x3的系数是________．
＝C错误!x6－r2r，160[法一：设含x3的项为第r＋1项，则T r
＋1
令6－r＝3，则r＝3。

故x3的系数为C错误!·23＝160。

法二：(x＋2）6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即C错误!·x3·23＝160x3。

］
二项式定理的正用、逆用
错误!错误!
（2)化简：C0n(x＋1)n－C错误!（x＋1)n－1＋C错误!(x＋1)n－2－…＋（－1）r C错误!（x＋1）n－r＋…＋（－1）n C错误!。

［思路点拨］(1）二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形
式,逆用二项式定理求解．
［解］(1）错误!错误!＝C错误!（2x）5＋C错误!(2x）4·错误!＋…＋C错误!错误!错误!
＝32x5－120x2＋错误!－错误!＋错误!－错误!。

（2)原式＝C错误!（x＋1)n＋C错误!（x＋1)n－1(－1）＋C错误!(x＋1)n－2·(－1）2＋…＋C错误!(x＋1）n－r(－1）r＋…＋C错误!(－1）n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝x n.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征,准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数,各项幂指数的规律以及各项的系数．
错误!
1．（1）求错误!错误!的展开式；
（2)化简：1＋2C错误!＋4C错误!＋…＋2n C错误!.
［解］(1）法一：错误!错误!＝C错误!(3错误!）4＋C错误!（3错误!)3·错误!＋C错误!（3错误!）2·错误!错误!＋C错误!（3错误!)错误!错误!＋C错误!错误!错误!
＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!。

法二：错误!错误!＝错误!
＝错误!(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!.
（2）原式＝1＋2C1n＋22C错误!＋…＋2n C错误!＝(1＋2）n＝3n.
二项式系数与项的系数问题
错误!错误!
数和第6项的系数；
（2)(教材P33习题3。

3A T2改编)求错误!错误!的展开式中x3的系数．
［思路点拨]利用二项式定理求展开式中的某一项,可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
［解]（1)由已知得二项展开式的通项为T r＋1
＝C r，6（2错误!）6－r·错误!错误!
＝(－1）r C错误!·26－r·x错误!，
∴T6＝－12x错误!.
∴第6项的二项式系数为C错误!＝6，
第6项的系数为C错误!·（－1)·2＝－12.
（2）T r＋1＝C r9x9－r·错误!错误!＝（－1）r·C错误!·x9－2r，
令9－2r＝3,∴r＝3，即展开式中第四项含x3,其系数为（－1）3·C错误!＝－84。

1．二项式系数都是组合数C错误!（r＝0,1，2，…，n），它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C r n.例如,在(1＋2x)7的展开式中,第四项是T4＝C错误!17－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35,而第四项的系数是C错误!23＝280。

错误!
2．求错误!错误!的展开式的第三项的系数和常数项．
[解]T3＝C错误!（x3)3错误!错误!＝C错误!·错误!x5，所以第三项的系数为C错误!·错误!＝错误!。

通项T r＋1＝C错误!(x3)5－r错误!错误!＝错误!错误!·C错误!x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝C错误!(x3)2错误!错误!＝错误!。

求展开式中的特定项
1．如何求错误!错误!展开式中的常数项？
[提示]利用二项展开式的通项C错误!x4－r·错误!＝C错误!x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2,所以错误!错误!展开式中的常数项为C错误!＝错误!＝6。

2．（a＋b)（c＋d）展开式中的每一项是如何得到的？
［提示]（a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项再把积相加而得到．
3．如何求错误!（2x＋1)3展开式中含x的项?
[提示]错误!(2x＋1）3展开式中含x的项是由x＋错误!中的x与错误!分别与（2x＋1）3展开式中常数项C错误!＝1及x2项C错误!22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C错误!＋错误!·C错误!（2x）2＝x＋12x ＝13x。

即错误!（2x＋1）3展开式中含x的项为13x。

【例3】已知在错误!错误!的展开式中，第6项为常数项．（1)求n;
（2）求含x2项的系数;
（3）求展开式中所有的有理项．
［思路点拨］错误!→错误!
→错误!→错误!→错误!
→错误!→错误!
→错误!
［解］通项公式为:
T r
＝C错误!x错误!(－3）r x错误!＝C错误!(－3)r x错误!。

＋1
（1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时,有错误!＝0,即n＝10。

(2)令错误!＝2,得r＝错误!(10－6）＝2，
∴所求的系数为C错误!(－3)2＝405.
(3）由题意得，错误!
令错误!＝k（k∈Z），
则10－2r＝3k，即r＝5－错误!k。

∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0,－2，即r＝2，5，8，
所以第3项,第6项与第9项为有理项,
它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2。

1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1）求第k项，T r＝C错误!a n－r＋1b r－1;
（2)求含x r的项（或x p y q的项)；
（3)求常数项;
(4）求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2）对于有理项,一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求,令其属于整数，再根据数的整除性来求解;
(3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
错误!
3．(1)在（1－x3)(1＋x）10的展开式中，x5的系数是________．（2）若错误!错误!展开式的常数项为60,则常数a的值为________．
(1)207(2）4[(1）x5应是（1＋x）10中含x5项、
含x2项分别与1,－x3相乘的结果,
∴其系数为C5，10＋C210（－1）＝207。

（2)错误!错误!的展开式的通项是
＝C错误!x6－r·(－错误!）r x－2r＝C错误!x6－3r(－错误!)r，T r
＋1
令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，
T r
为常数项,即常数项是C错误!a，
＋1
根据已知得C错误!a＝60，解得a＝4.］
1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅指C错误!,C 错误!，…，C错误!，…,而后者指的是除字母以外的所有系数(包括符号）．
2．要牢记C错误!a n－k b k是展开式的第k＋1项,而非第k项．
3．对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解．
1．在（x－错误!)10的展开式中，含x6的项的系数是（)
A．－27C错误!B．27C错误!
C．－9C错误!D．9C错误!
D[含x6的项是T5＝C错误!x6（－错误!)4＝9C错误!x6。

]
2．在错误!错误!的展开式中常数项是（）
A．－28 B．－7
C．7 D．28
＝C r，8·错误!错误!·错误!错误!＝（－1)r·C错误!·错误!错误!·x C［T r
＋1
错误!,当8－错误!r＝0,即r＝6时，T7＝（－1）6·C错误!·错误!错误!＝7。

］3．（1－x）10的展开式中第7项为________．
210x6[T7＝C6，10（－x)6＝210x6.]
4．化简:C错误!2n＋C错误!2n－1＋…＋C错误!2n－k＋…＋C错误!＝________。

3n[原式＝(1＋2）n＝3n。

］
5．设(x－错误!)n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
［解](x－错误!）n的展开式中第二项和第四项分别为:
T2＝C错误!·x n－1(－错误!)＝－错误!nx n－1，
T4＝C错误!·x n－3·（－错误!）3＝－2错误!C错误!x n－3.
由题意可知错误!＝错误!，即n2－3n－4＝0，
又n∈N＋，解得n＝4.
设（x－错误!）4的展开式中含x2的项为第k＋1项，
则T k＋1＝C错误!·x4－k·（－错误!)k（k＝0,1,2,3,4)
根据题意可知4－k＝2，解得k＝2.
所以(x－错误!)4的展开式中含x2的项为T3＝C错误!·x2·(－错误!）2＝12x2。

学必求其心得，业必贵于专精
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。