高中数学：21(函数的单调性(1))教案(苏教版必修1) 教案

第六课时 函数的单调性（1）
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学习要求 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性； 3．提高观察、抽象的能力．； 自学评价 1．单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，
2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
2．单调减函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，
当12x x <时，都有 12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减函数，I 称为)的单调 减 区间． 函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区
间上的图像是 下降 的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）
4．函数单调性证明的步骤：
（1） 根据题意在区间上设12x x < ；
（2） 比较12(),()f x f x 大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .
【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间： 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）22y x =-+； （2）1y x =； （3）21, 0()22, 0
x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩． 【解】
（图略）
（１）函数2
2y x =-+的单调增区间为(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞；
（２）函数1y x
=在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和(0,)+∞．
（３）函数21, 0()22, 0
x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩在实数
集R 上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)= －x 3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数
证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)= －x 13+1+x 23
－1
=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12
)
因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12
>0
所以f(x 1) －f(x 2)>0即
f(x 1)>f(x 2)
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
追踪训练一
1. 函数11
1--=x y (C)
()A 在(1,)-+∞内单调递增
()B 在(1,)-+∞内单调递减
()C 在(1,)+∞内单调递增
()D 在(1,)+∞内单调递减
2. 函数822+--=x x y 的单调增区间为 (4,1)--．.
3. 求证：1
()f x x x =+在区间(0,1)上是减
函数．
证明：设1201x x <<<，则
21120,01x x x x -><<
∴21()()f x f x - 2121212121211212211211()()11()()()()(1)()0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+=-+--=---=-< 即21()()f x f x < 故1()f x x x =+在区间(0,1)上是减函数． 【选修延伸】 如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集： 例３: 函数1y x =在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？ 分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的12,x x ，并加以说明． 【解】 该命题是假命题；例如121,1x x =-=时， 12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且12()()f x f x <，所以＂函数1y x =在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数＂是不成立的． 点评:
听课随笔
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；
2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间． 追踪训练
1．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是
（B ）
A (]
B [)
C (]
D [)
．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞3
43
43
434
2. 若函数()f x 是R 上的增函数，对于实数,a b ，若0a b +>，则有(A )
()A ()()()()f a f b f a f b +>-+-
()B ()()()()f a f b f a f b +<-+-
()C ()()()()f a f b f a f b ->---
()D ()()()()f a f b f a f b -<---
3. 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是
[2,0]-，则f(x)的单调递减区间是__[1,1]-______．
4. 函数y=⎩⎨⎧<--≥+0
101，x x ，x x 的单调减区间为
(－∞，0). 5．讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性. 解：1()2ax f x x +=+ 21221212ax a a x a x ++-=+-=++ 设122x x -<<，则 2121(2)(2)0,0x x x x -->-> ∴21()()f x f x - 211221121222()(12)(2)(2)a a x x x x a x x --=----=--- ∵1221()0(2)(2)x x x x -<-- 当12a <时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当12a >时，21()()f x f x >，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数； 【师生互动】 听课随笔。