2020届高考数学一轮复习单元检测十计数原理A小题卷单元检测理含解析新人教A版

单元检测十计数原理(A)(小题卷)
考生注意：
1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
2．本次考试时间45分钟，满分80分．
3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为( )
A．60B．36C．24D．42
答案 A
解析当4名大学毕业生都被聘上时，则有C24A33＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当4名大学毕业生有3名被选聘上时，则有A34＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得不同的选聘方法种数为36＋24＝60，故选A.
2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3000的四位数，这样的四位数有( ) A．250个B．249个C．48个D．24个
答案 C
解析先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设条件的四位数共有A34＋A34＝2A34＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.
3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出现的最少的平局场数是( )
A．0B．1C．2D．3
答案 B
解析四支队得分总和最多为3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分只可能有6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，如四队得分为7,6,3,1时符合题意，故选B.
4．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是( ) A．16B．24C．8D．12
答案 A
解析根据题意分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排在第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课法的种数是2×2×4＝16，故选A.
5．8名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)，规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是( ) A．14B．13C．12D．11
答案 C
解析由题意可知8名选手所得分数从高到低为14,12,10,8,6,4,2,0时，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12.
6．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是( )
A．48B．98C．108D．120
答案 C
解析首选排列3个商业广告，有A33种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有C13A23种结果，故不同的播放方式的种数为A33C13A23＝108.
7．C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720的值为( )
A．C321B．C320C．C420D．C421
答案 D
解析C03＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C1720＝C15＋C25＋C36＋…＋C1720＝C26＋C36＋…＋C1720＝…＝C1721＝C421，故选D.
8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝270，则a等于( )
A．3B．2C．1D．－1
答案 A
解析二项式(a－x)5展开式的通项公式为T k＋1＝C k5a5－k(－x)k，其中T3＝C25a3(－x)2＝10a3x2，所以a2＝10a3＝270，解得a＝3.
9．在(1＋x－x2)10的展开式中，x3的系数为( )
A．10B．30C．45D．210
答案 B
解析(1＋x－x2)10表示10个1＋x－x2相乘，x3的组成可分为3个x或1个x2,1个x组成，故展开式中x3的系数为C310＋(－1)·C110·C19＝120－90＝30，故选B.
10．某班班会准备从包含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为( ) A．720B．520C．600D．360
答案 C
解析分两种情况讨论：
若甲、乙2人只有1人参加，有C12C35A44＝480(种)情况；若甲、乙2人都参加且发言的顺序不相邻，有C22C25A22A23＝120(种)情况，
则不同发言顺序的种数为480＋120＝600.
11．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x21＋x22＋x23＋x24≤4”的元素个数为( )
A．60B．65C．80D．81
答案 D
解析由题意可得x21＋x22＋x23＋x24≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x21＋x22＋x23＋x24＝0时，只有1种情况，即x1＝x2＝x3＝x4＝0；②当x21＋x22＋x23＋x24＝1时，即x1＝±1，x2＝x3＝x4＝0，有2C14＝8种；③当x21＋x22＋x23＋x24＝2时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝x4＝0，有4C24＝24种；④当x21＋x22＋x23＋x24＝3时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝0，有8C34＝32种；
⑤当x21＋x22＋x23＋x24＝4时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝±1，有16种，综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.
12．已知关于x的等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)等于( ) A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0)
C．(0，－3,4，－1) D．(－1,0,2，－2)
答案 C
解析因为x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b1＝C14(－1)＋4C03＝0，b2＝C24(－1)2＋4C13(－1)＋3C02＝－3，b3＝C34(－1)3＋4C23(－1)2＋3C12(－1)＋2＝4，b4＝C44(－1)4＋4C33(－1)3＋3C22(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若C2n A22＝42，则n！
3！(n－3)！
＝________. 答案35
解析 由n (n －1)2×2＝42，解得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！
＝35. 14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出5位相关专家对3个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣1位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答)
答案 36
解析 由题意可知，可分为两类，第一类：甲、乙在同一个地区时，剩余的3人分为2组，将3组派遣到3个地区，共有C 23A 33＝18(种)不同派遣方式；第二类：甲、乙和剩余的3人中的1人在同一个地区，另外2人分别在两个地区，共有C 13A 33＝18(种)不同的派遣方式．由分类加法计数原理可得不同的派遣方式共有18＋18＝36(种)．
15．在(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为________．
答案 －70
解析 (2x ＋y )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )
5－k y k ，令5－k ＝1，得k ＝4，令5－k ＝2，得k ＝3，所以(x －2y )(2x ＋y )5的展开式中，x 2y 4的系数为C 45×2－2C 35×22＝－70.
16．若(x －1)5－2x 4＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋a 4(x －2)4＋a 5(x －2)5
，则a 2＝________.
答案 －38
解析 令x －2＝t ，则x ＝t ＋2.由条件可得(t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋
a 5t 5，故t 2的系数为C 3
5－2C 24×22＝－38，即a 2＝－38.。