解析函数的充要条件

y 0
y 0
lim1x2y
x0 y0
z
0l i m2x1y
x0
z
y0
0
H
10
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
∵函数 w =f (z)点 z可导，即
f(zz)f(z)
f'(z)lim
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz
lim(z)0
z0
H
9
令：f (z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib，
(Δz)=1+i2 故（1）式可写为
siny
, coys
. yR (2)
2i
2
推广到复变数情形
定义 sinzezi ezi , coszezi ezi (3)
2i
2
称为z的正弦与余弦函数
H
28
正弦与余弦函数的性质
1)s izn及 cozs是 T2的 周 期 函 数
e e i(z2) i(z2) eize2i eHale Waihona Puke ze2i[cozs(2 )
f(z)limf(zz) f(z)
z0
z
[u(x, yy)iv(x, yy)][u(x, y)iv(x, y)]
lim
y0
iy
u(x, yy)u(x, y)
v(x, yy)v(x, y)
lim
i lim
y0
iy
y0
iy
1uvviu i y y y y
H
6
f '(z)存在 u i v v i u
验证f'(Cz-)R条件u.iv1uv x x iy y
A
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼
成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两
个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
H
14
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
( 1 ) w z ;( 2 ) f ( z ) e x (c y i s o y ) i ； s ( 3 n ) w z 2
u ex siny u v
y v
ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosyisiny)在全平面可导，解析
f'(z ) u i v e x cy o is x e si y n f(z ) x x
H
16
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全平面不可导，不 析解 。
H
15
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u ex cosy x v ex siny x
例1 求Im(ezi)
例2
求
e
1 1 i
4
例3 解方e程 z 1
ey sinx
2
e
1 4
1
i
2
z 2 k i k 0 , 1 , 2 ,
H
27
二. 三角函数和双曲函数
由 指 数 函 数: 的 定 义
当x0时,
eiy
coysisiny ,
从
而
得 :
到
eiy coysisiny
eiyeiy
eiyeiy
T2ki k为任意. 整数
A 这个性质是实变指数函数所没有的。
又 ezezexx(cy osy)(isiy ny () )e011
eze1z
ez1 ez2
ez1z2
H
26
A (1)ez仅仅是个,符 它号 的定义为
ex(coysisiny)， 没有幂的意义.
(2)特别 z的 当 实 x部 0时就 , 到 得 Eu公 ler:式 eiycoysisin y
e x1 (cos y1 i sin y1 ) e x2 (cos y2 i sin y2 ) e x1 x2 [cos y1 cos y2 sin y1 sin y2
i(sin y1 cos y2 cos y1 sin y2 )] e x1 x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )]
解 f'(z)1uv0 u与v不全为 0
i y y
y y
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1ux/uy k2 vx/vy
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.
Cauchy-Riemann方程
uv, vu x y x y
上述条件满足时,有
f '( z ) u x ix v u x iy u v y iy u v y ix v
H
8
证明 "" （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。
a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2
H
21
§2.3 初等函数
1. 指数函数
2. 三角函数和双曲函数
3. 对数函数
4. 乘幂与幂函数
5. 反三角函数与反双曲函
数
H
22
内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等 函数推广到复变函数情形，研究这些初等函 数的性质，并说明它的解析性。
H
23
证明
f'(z)ux
i
vx
1
i
uy
vy
0
ux vx uy vy 0 uC1 vC2 f(z)C1iC2 C(复常数）
H
19
例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，
且f (z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、C2 是常
(3)f(z)exzp 在复平面上且 处 (e处 xz)p 解 exz析 p.
(见 § 2的例 1(2))
H
24
(4 ) 加法 :ez x 1 e定 p z x 2 e p理 x z 1 z p 2 )(
事实上 , 设 z j x j iy j ( j 1,2) 左 边 exp z1 exp z2
f(z z ) f(z ) u u
x
y
z z i x (1 i3 ) z (2 i4 ) z
| x| 1 , z
y
x
| z| 1 z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
z 0
z
x x
H
12
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可
一. 指数函 定义数对 zxiy 定义复 z的变 指数 数 exz函 如 p :数 下
f(z)exzp ex(co ysisiyn) (1)
A exzr e p g x ezx )(p y2kk0,1,2,
它与实变指数函数有类似的性质：
(1) z exz p0(事实 ,exz上 pex0) (2 )当 z为x 实 时 ,f(z)数 ex z e p x(y0)
H
4
若沿平行于实轴 z的 z 方z(式 y0)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
lim[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
x0
x
limu(xx, y)u(x, y)i
v(xx, lim
y)v(x, y)
x0
x
x0
x
u i v x x
H
5
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)
+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)
因此 Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy , Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy
lim( z0
z)0
lxi m 0 1 lxi m 0 2 0
且满足C-R条件：
u v y2x2 xy (x2 y2)2
,
u v 2xy yx(x2y2)2
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
H
18
dw u v y2 x2
2xy
d
i z x
x
(x2
y2)2
i
(x2
y2)2
(xi y)2
1
(x2 y2)2 z2
例3 若 f ' ( z ) 0 ,z D f ( z ) C ,z D
exp( z1 z2 ) 右边
为了方便，我们以e后 z 代用替expz .
H
25
由加法定理f可 (z)推 ez的 得周期: 性
f ( z T ) f ( z ), T 2 k i ,k Z
事实 , f上 (z2ki)ez2ki eze2ki
ez(co2ksisin 2k)ez f(z)
H
20
ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另
一条是铅直的, 它们仍互相正交。
练习: 若f(z)x2 a xyb y2 i(cx2 d xyy2) 问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处 ? 处解
2
2
eizeiz
cozs]
2
2) 在 复 平 面 上 处 处,且 解 析
(si nz)'cosz (cosz)'si nz
(sz)i n '1(eiz e i) z '1(eiz e i) zco z s
2 i
2
H
29
3)sinz是奇函 ,co数 zs是偶函 . 数
si n z) ( e iz eiz siz;同 n c理 o z)s c (z os 2 i
u2 x u2y v0 v0 x y x y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故 w z2仅在z 0处可导，但处处不。解析
H
17
例2 求证函数
x
y
wu(x,y)iv(x,y)x2y2 i x2y2
在 zxiy0处 解 析 ， dw. 并 求 dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
H
1
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
H
2
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) +
iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f
(z) 在 D内解析。
问题
如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
4) 由(3)式,Eul公 er式对z成 一立 切
eizcozsisinz
思考题
sinz,cozs作为复变,函 是数 否与实变函数 有类似的:结si果 nz 1, cozs 1.
H
30
5) 由正弦和余弦函及 数指 定数 义函数 的 加 法 定 理 可 推三 知角 一公 些式
scionzzs1(1( zz22)) scionzz1s1ccoozzs2s2csionzzs11ssiin nzz22 sin 2zco2sz1
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
H
3
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在点 zxiy可,导 则
f(zz)f(z) z
[u (x x ,y y ) i(v x x ,y y ) [ ]u (x ,y ) i(v x ,y )] x i y
满足Cauchy-Riemann方程
uv, vu x y x y
A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切
的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
A 利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.
H
13
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连
续性，
iii)
ii) 求导数：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3x4y
其 lx 中 i0m k0,(k1， 2,3,4)
y 0
H
11
f(z z)f(z) ui v
( u xi x v) x( u yi v y) y(1i3) x(2i4) y
由 C R 方 ( u x 程 i x v ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
x x y y u v v u
x y x y
定义 方程
A 记忆
u u x y v v x y
uv v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
H
7
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可