中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第三章函数第14讲二次函数的综合与应用权威预测

第一部分 第三章 第14讲
1．已知，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过点A (－1,0)和C (0,3)． (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA ＋PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
解：(1)将A (－1,0)，C (0,3)代入y ＝－x 2
＋bx ＋c 中，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1－b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝3，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3.
(2)连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA ＋PC 取最小值，如答图1所示． 当y ＝0时，有－x 2
＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴点B 的坐标为(3,0)．
∵抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋d (k ≠0)， 将B (3,0)，C (0,3)代入y ＝kx ＋d 中，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3k ＋d ＝0，
d ＝3，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝－1，
d ＝3，
∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. ∵当x ＝1时，y ＝－x ＋3＝2，
∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1,2)． (3)设点M 的坐标为(1，m )， 则CM 2
＝1＋(m －3)2
，
AC 2＝10， AM 2＝4＋m 2，
分三种情况讨论：
①当∠AMC ＝90°时，有AC 2＝AM 2＋CM 2，即10＝4＋m 2＋1＋(m －3)2
， 解得m 1＝1，m 2＝2，
∴点M 的坐标为(1,1)或(1,2)；
②当∠ACM ＝90°时，有AM 2＝AC 2＋CM 2，即4＋m 2＝10＋1＋(m －3)2
，解得m ＝83，
∴点M 的坐标为(1，8
3
)；
③当∠CAM ＝90°时，有CM 2
＝AM 2
＋AC 2
，即1＋(m －3)2
＝4＋m 2
＋10， 解得m ＝－2
3
，
∴点M 的坐标为(1，－2
3
)．
综上所述：当△MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(1，83)或(1，－2
3
)．
答图
2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于A (－3,0)，B (1,0)两点，D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F 和点D 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ，F ，P ，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
9a －3b ＋3＝0，
a ＋
b ＋3＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2.
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
－2x ＋3. (2)∵y ＝－x 2
－2x ＋3＝－(x ＋1)2
＋4， ∴顶点坐标D (－1,4)， ∴F (－1，－4)，
若以点O ，F ，P ，Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q (x ，y )满足|y |＝EF ＝4， ①当y ＝－4时，－x 2
－2x ＋3＝－4， 解得x ＝－1±22，
∴Q 1(－1－22，－4)，Q 2(－1＋22，－4)，
∴P1(－22，0)，P2(22，0)；
②当y＝4时，－x2－2x＋3＝4，解得x＝－1，
∴Q3(－1,4)，∴P3(－2,0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(－22，0)或(22，0)或(－2,0)．
答图。