2019年福建省泉州市百奇民族中学高三数学文模拟试题含解析

2019年福建省泉州市百奇民族中学高三数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量与共线，且，，则( )
A． B.
C. D.
参考答案：
C
2. 已知函数，若对于任意，都有成立，则的最小值为( ).
A.
B. C.
D.
参考答案：
C
略
3. 设函数，则下列结论正确的
是（）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．的最小正周期为，且在上为增函数
D．把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像
参考答案：
D
4. 已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 若函数，则属于（）．
A． B． C．
D．
参考答案：
B
6. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，且a2，+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S6＝（）
A．62 B．64 C．126 D．128
参考答案：
C
设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，a1=2，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2
（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S6=.
故选C.
7. 已知复数z=（a∈R）的虚部为1，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数z===+i（a∈R）的虚部为1，
∴=1，解得a=1．
故选：A．
8. 若，则的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，） C．（，1）D．（0，1）∪（1，+∞）
参考答案：
C
略
9. 已知函数在点（2，f（2））处的切线为由y=2x-1，
则函数在点（2，g（2））处的的切线方程为。

参考答案：
略
10. 函数，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的图
象可由函数的图象向左平移个单位得到；④若，则的值域是.其中，正确的命题的序号是（）
A．①② B. ②③ C．①④ D. ③④
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数则的解集为________。

参考答案：
略
12. 已知的夹角为的单位向量，向量，若，则实数
参考答案：
13. 已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b?f（a）的取值范围是．
参考答案：
考点：函数的零点；函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a＞b≥0时，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则b?f（a）的取值范围可求．
解答：解：由函数，作出其图象如图，
因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，
所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），
必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．
由不等式的可乘积性得：b?f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．
点评：本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题．
14. 若不等式的解集是空集，则正整数的取值集合为____________。

参考答案：
15. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140
人，为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 .
参考答案：
答案：50
16. 已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则的值为．
参考答案：
考点：1.函数的图象；2.等比中项的性质.
【思路点晴】本题主要考查余弦函数图象像和性质，等比数列的通项公式与求和公式，是一个小综合题。

首先在同一坐标系中作出和的图象，得两个图象在
上有三个交点，满足关于对称且关于对称,结合三个根从小到大依次成等比数列,列出横坐标的方程组,解出可得的值,从而得出实数的值.
17. 从某电线杆的正东方向的A点处测得电线杆顶端的仰角是，从电线杆两偏南的B处测得电线杆顶端的仰角是，A,B间的距离为35米，则此电线杆的高度是_____米．参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐
标方程为，曲线的参数方程为，（为参数，）。

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）．
试题分析：
解题思路：（1）利用极坐标方程、参数方程、普通方程的互化公式将曲线方程化成普通方程即可：（2）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，结合数形结合思想求值.
规律总结：涉及直线与曲线的极坐标方程、参数方程的问题，要注意先将极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化，再利用有关知识进行求解.
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为,
∴曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，
如下图所示，曲线为一族平行于直线的直线，
当直线过点时，利用得，
舍去，则，
当直线过点、两点时，，
∴由图可知，当时，
曲线与曲线有两个公共点.
考点：1.直线的极坐标方程；2.圆的参数方程；3.直线与圆的位置关系.
19. 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.
(1)若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；
(2)设直线L为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线L与曲线y＝g(x)相切．
参考答案：
略
20. 设A,B是椭圆上的两点，为坐标原点.（Ⅰ）设，,
.求证:点M在椭圆上;
（Ⅱ）若,求的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）设,则
则
故点M在椭圆上.
(Ⅱ)设,,,
则
则
从而故
略
21. 已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为6π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α﹣）=，f（3β+π）=，求cos（α+β）的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期求出函数关系式．
（2）根据（1）的结论，利用关系变换求出对应的sin，，最后求出cos （α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx﹣cosωx+1=2sin（ωx﹣）+1
由于：函数的最小正周期为6π．
所以：
解得：ω=
（2）由（1）知：f（x）=2sin（x﹣）+1
=
所以：
所以：sin
α，β∈[0，]，根据同角三角函数恒等式，
所以：sin，
所以：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣
22. 如图，在中，是其垂心，的延长线与边和的外接圆分别交于点、，且.
（1）求的大小；
（2）证明：.
参考答案：
（1）在中，是其垂心，有，
又，所以，故.
（2）由（1）知，则，即，连接，则，所以，可知，从而有
.。