深圳菁华中英文实验中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已
知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）
A ．六边形
B ．五边形
C ．四边形
D ．三角形
2．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，1
12
CD BC =
=，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）
A ．2⎛ ⎝⎦
B ．6⎛ ⎝⎦
C ．(0,1]
D ．(
2
3．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）
A ．13
B ．213
C ．
26 D ．
226
4．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）
A ．[2,3]
B ．[2,5]
C ．[2,6]
D ．[2,7]
5．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥
B ．1
2l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定
6．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．
2
3
B 3
C ．
23
D ．
13
7．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．10 B 10 C ．15D 158．在长方体1111ABCD A BC D -中，1AB BC ==，13AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．
15
B ．
56
C ．
55
D ．
22
9．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
A ．1
1+22
+a b c B ．11
22a b c -+ C ．11
22
-
++a b c D ．
11
22
+-a b c 10．四棱锥P ABCD -中，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的高为（ ） A ．
5 B ．
15
C ．
25
D ．
25
11．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面
ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD
内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）
A 352
B ．23
C ．25-
D 332
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．2
二、填空题
13．若平面α的一个法向量为()n 1
22=，，，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，A ∉α，B ∈α，则点A 到平面α的距离为__________．
14．在平面直角坐标系中，点(1,0,2)A 到点(3,4,0)B -之间的距离为__________． 15．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，
2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线
PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定
值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）
16．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，
(3,6,)n z =-，则z =__________.
17．若空间直角坐标系中点()()2,5,1,1,4,2,C(3,3,)A B m n -----+-在同一条直线上，则m n +=_________．
18．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 .
19．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．
20．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，
90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________．
三、解答题
21．在三棱台ABC DEF -中，2,60AB BC DE DAB EBA ∠∠====，平面
ABED ⊥平面,.ABC BC BE ⊥
（1）求证：平面ABED ⊥平面BCFE ； （2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=，//AD BC ， PA AD ⊥，
PA AB ⊥，1
22
PA AB BC AD ===
=.
（Ⅰ）求证：//BC 平面PAD ；
（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
23．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，
3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.
（1）求证：//EF 平面SAB ；
（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.
24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，
4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．
（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值． （2）点A 到平面BDM 的距离．
25．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，
//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.
（1）证明：//GF 平面ABC .
（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值. 26．如图：三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且222AD AB CD ===，
2BC =BM AC ⊥，BN AD ⊥，垂足分别为M ，N .
（1）求证：AMN 为直角三角形； （2）求直线BC 与平面BMN 所成角的大小.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和
AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可
判断截面形状. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()1
25,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于()
,0,10Q Q x ，则()
20,0,5Q PQ x =-，
()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，
设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，
()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22M
x =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，
1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5N
y =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，
过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，
综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.
【点睛】
本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.
2．C
解析：C 【分析】
以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围. 【详解】
如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，
设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，
则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，
(1,1,1)AD =--，
异面直线PQ 与AD 成30的角，
||
cos302
||||
PQ AD PQ AD q ⋅∴=
=
=
⋅， 22182516q q λ∴+=-+， 201,5
16[0,11]q q q ≤≤
∴-+∈，
即22
182018211λ
λ⎧+≥⎨+≤⎩，解得22λ
-≤≤， 01,02
λλ<≤∴<≤
， 可得||||2(0,1]PA AP λ===∈. 故选：C. 【点睛】
利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】
以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x
轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设
AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，
则A 11，2），A 0，），C 1（0
，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1
，
3
2
）， 1A E =（0，12
-），1AC =（1，2），
设异面直线
A 1E 与AC 1所成角为θ，
则
cosθ
1111
1313
A E AC A E AC ⋅==
=
⋅．
∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为26． 故选C ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．C
解析：C 【分析】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知
222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性
质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】
过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD
2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+ //EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=
∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B
又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴ E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点
即F 在线段GH 上
min 1AF AG ∴==，max AF AH ==
min EF ∴=max EF
则线段EF 长度的取值范围为：
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.
5．A
解析：A
【分析】
求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系．
【详解】
由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，
2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．
6．A
解析：A
【详解】
试题分析：设1AB =11BD BC DC ∴=， 1BDC ∆面积为
3
211C BDC C BCD V V --=
131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3
d CD θ∴==
考点：线面角
7．B
解析：B
【分析】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．
【详解】
以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，
∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，
设平面1B BD 的法向量为()
,,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1
n BB ⊥， ∴220 20
x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,n BE
n BE n BE ⋅==⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5
n BE θ==
B ． 【点睛】
本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．
8．C
解析：C
【详解】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z
轴建立空间直角坐标系，则
11(0,0,0),(1,0,0),(1
,1,3),D A B D ,
所以11(1,0,3),(1,1AD DB =-=, 因为111111cos ,2AD DB AD DB AD DB ⋅=
==⨯，所以异面直线1AD 与1DB 所成角的余C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
9．C
解析：C
【分析】
根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】
由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112
BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222
AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.
【点睛】
在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.
10．A
解析：A
【分析】
求出平面ABCD 的法向量n ，计算法向量n 与AP 的夹角得出AP 与平面ABCD 的夹角，从而可求出P 到平面ABCD 的距离．
【详解】
解：设平面ABCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则n AB
n AD ⎧⊥⎨⊥⎩，
∴23020
x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =可得2y =，0z =，即(1n =，2，0)， cos ,||||526
n AP n AP n AP ∴<>==⨯， 设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin 526α=
⨯， 于是P 到平面ABCD 的距离为5||sin AP α=
，即四棱锥P ABCD -的高为5． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
11．C
解析：C
【分析】
若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解
【详解】
如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=
故答案选：C
【点睛】
本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题
12．A
解析：A
【分析】
由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长.
【详解】
设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c
=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=， 1
2AC t ∴=. 2m ∴=
故选：A .
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.
二、填空题
13．【分析】利用点到直线的距离公式借助平面的法向量利用公式即可求解【详解】由题意平面的一个法向量为且则所以点A 到平面的距离为【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法其中解答中熟记空间向量在几何问题中的
解析：13
【分析】 利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解.
【详解】
由题意，平面α的一个法向量为,,(1)22n =，
且(1,0,2),(0,1,4),,A B A B αα-∉∈，则(1,1,2)BA =-，
所以点A 到平面α的距离为12413
144BA n d n ⋅+-=
==++. 【点睛】
本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14．【解析】故的距离为故答案为 解析：26 【解析】
222(13)(04)(20)26AB =-+++-=，故AB 的距离为26，故答案为26. 15．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平
解析：①③④
【分析】
由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．
【详解】
解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；
对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；
对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；
对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=+++-．
由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 16．3【详解】∵且平面与平面的法向量分别为∴解得：
解析：3
【详解】
∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，
∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=-⋅-=--+=，
解得：3z =．
17．-10【解析】试题分析：因为点共线所以共线则解得所以考点：点共线与向量共线
解析： -10
【解析】
试题分析：(3,1,1)AB =--，(1,2,1)AC m n =++，因为点,,A B C 共线，所以,AB AC
共线，则121311m n ++==--，解得，所以10m n +=-．
考点：点共线与向量共线．
18．【详解】以D 为原点DADCDD1所在直线分别为x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系如图所示则A(100)B(110)D1(001)C1(011)O(1)=(010)=(-101)设平面ABC1D1的法向量
解析：
【详解】 以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),C 1(0,1,1),O (
12，12
,1), =(0,1,0),=(-1,0,1), 设平面ABC 1D 1的法向量n =(x,y,z),
由1·AB y 0{·AD x z 0n n ===-+=，，
得
令x =1,得n =(1,0,1).
又=(-12,12-,0), ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d=1
·n OD n ==.
19．【分析】如图过作交于连接求出后利用公式可求体积【详解】如图过作交于连接在等腰直角三角形和等腰直角三角形中由于故而所以故因为底面又故
【点睛】本题考查三棱锥体积的计算求出点到面的距离是关键本题属于基础题 解析：32a 【分析】
如图，过D 作DE AC ⊥交AC 于E ，连接BE ，求出DE 后利用公式可求体积.
【详解】
如图，过D 作DE AC ⊥交AC 于E ，连接BE ，
在等腰直角三角形DAC 和等腰直角三角形ABC 中，
由于2,AC a BE DE ==，故2DE BE a ==. 而BD a =，所以222BD DE BE =+，故DE BE ⊥，
因为BE AC E ⊥=，DE ⊥底面ABC ，
又212ABC S a ∆=，故23112232212
V a a a =⨯⨯=.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的计算，求出点到面的距离是关键，本题属于基础题.
20．【解析】连接因为所以根据即所以则而根据余弦定理得点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解以及余弦定理的应用同时考查了空间象限能力计算推理的能力属于中档试题立体几何是高中数学中的重要内容也是高考重点考查 85
【解析】
连接AC ，因为04,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =,
根据cos cos cos A AB A AC CAB ∠=∠⋅∠''，
即12cos 22
A AC '=∠⋅，所以045A AC ∠='，则0135C CA ∠=', 而5,5AC AA '==, 根据余弦定理得85AC '=.
点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）
4214
. 【分析】
（1）过E 作EH AB ⊥于H ，由面面垂直得EH ⊥平面ABC ，从而有EH BC ⊥，再结合已知,BC BE ⊥可得线面垂直后得线线垂直；
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，设2AB =，得出各点坐标，求出平面ABF 的法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．
【详解】
解：（1）过E 作EH AB ⊥于H ，因为面ABED ⊥面ABC ，面ABED ⋂面ABC BC =，
所以EH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以EH BC ⊥，
又,BC BE ⊥BE EH E =，,BE EH ⊂平面ABED ，
所以BC ⊥面ABED ，又BC ⊂平面BCFE
所以平面ABED ⊥平面;BCFE
（2）将三棱台ABC DEF -补体成三棱锥P ABC -，则,,D E F 分别是,,PA PB PC 的中点，PAB △是正三角形，设2AB =，
以B 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
()()(
)13330,1,3,0,2,0,2,0,0,1,,,0,,22P A C F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()131,1,0,0,2,0,1,,2DF BA BF ⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭
设平面ABF 的法向量为,,,n x y z
由00n AB n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，有01302y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =得()
3,0,2n =-. 42sin 14||||
n DF n DF θ⋅∴==⋅∣．
【点睛】
方法点睛：本题考查证明面面垂直，求直线与平面所成的角．求线面角的常用方法
（1）定义法，作出直线在平面内的射影（主要过直线上一点作平面的垂线），由直线与射影的夹角得出直线与平面所成的角（注意证明），然后解三角形得结论；
（2）空间向量法，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值得线面角的正弦值．
22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6. 【分析】 (Ⅰ)解法1.利用线面平行的判定定理证明; 解法2.以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量证明直线BC 与平面PAD 的法向量垂直，从而证明结论.
（Ⅱ）建立空间直角坐标系后，后利用空间向量的坐标运算求得两平面的法向量的坐标，进而计算.
【详解】
(Ⅰ)证明：
解法1. 因为//BC AD
BC ⊄平面PAD
AD ⊂平面PAD
所以//BC 平面PAD
解法2.
因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，
所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ， 平面PAD 的法向量为(1,0,0)t ， (0,2,0)BC = ，
因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，
BC ⊄平面PAD ，
所以//BC 平面PAD ；
（Ⅱ）解：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥，
所以以
A 为坐标原点，,,A
B AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C
所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ，
设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =
(2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，
所以2220042020x y z x y m PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩
， 令1(1,1,2)y m ==得 ， 16cos ,616
n m
n m n m ⋅<>===⨯
设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以cos 6θ=
. 【点睛】 本题考查利用空间向量证明线面垂直和求二面角问题，关键是平面的法向量的求解和夹角余弦值的计算，注意所求为两平面所成的锐二面角的余弦值，因此对两平面的法向量所成角的余弦值与两平面所成锐角的余弦值要注意区分与联系.
23．（1）证明见解析；（2）
7. 【分析】
（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.
【详解】
（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点，
∴//FI SA ，//IE AB ，且FI
EI I =， ∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ， 同理AB
平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ， 又∵FI EI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，
又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI
IE I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，
∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .
（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，
设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 因为2SD =，SB SC =，2EF =， 所以2222222222224
(3)(1)(2)33422x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪--⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎩，
求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，
设(,,)n x y z =⊥平面SBC ，
∴320220
n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则31,z x ==，
所以
3
,1,1
3
n
⎛⎫= ⎪
⎪
⎝⎭
，因为AD⊥平面SCD，所以取(1,0,0)
m=为平面SCD的法向量，∴
3
7
3
cos|cos,|
7
1
11
3
m n
m n
m n
θ
⋅
=〈〉===
⋅
++
，
所以二面角B SC D
--的余弦值为
7
7
.
【点睛】
方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S点坐标，考查了空间想象力及计算能力.
24．（1）
22
；（2）22．
【分析】
（1）根据题意可知OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM的法向量和PB的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.
（2）根据（1）可知AM的坐标和面BDM的一个法向量n坐标，根据公式
n
n
AM
⋅
，即可求出点A到平面BDM的距离.
【详解】
（1）∵四边形ABCD为菱形，AC BD
∴⊥，
又OP⊥面ABCD，OA
∴，OB，OP两两垂直，
∴以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz
-，
根据题可知4
OA=，3
OB=，4
OP=，且M为PC中点，
(4,0,0)
A
∴，(0,3,0)
B，(0,3,0)
D-，(0,0,4)
P，(4,0,0)
C-，(2,0,2)
M-，(0,3,4)
PB
∴=-，(2,3,2)
BM=--，(0,6,0)
BD=-，
设面BDM的法向量为()
,,
n x y z
=，
00
n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=，
cos 5||||2n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅，
∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为5
； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，
∴点A 到平面BDM 的距离|||cos |||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=
== ∴点A 到平面BDM 的距离为
【点睛】
方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||
n PB n PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解； （2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式
|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.
25．（1）证明见解析；（2）7-
. 【分析】
（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平
行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB BC =={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角．
【详解】
（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND .
在梯形ACDE 中，//DC EA 且12DC EA =
，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，12
MN EA = ∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN
又14
EG EB =，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点，
又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM
又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC
（2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H .
平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，BH AC ⊥，
∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，
又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时2AB BC ==
过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，
以{}
,,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -
则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D (1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-
设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则
1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以1111
1020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则
1100n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以2222
22020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以12
12127cos ,n n n n n n ⋅==⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为7-
.
【点睛】
本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角．
26．（1）证明见解析；（2）4π. 【分析】
（1）先证明CD ⊥平面ABC ，可得CD BM ⊥，则可得BM ⊥平面ACD ，即可得出BM AD ⊥，进而AD ⊥平面BMN ，即得出AD MN ⊥可说明；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.
【详解】 解：（1）AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，
1,2AB AD ==，3BD ∴=，
2,1BC CD ==，∴222BC CD BD +=，BC CD ∴⊥， AB BC B ⋂=，CD 平面ABC ，
BM ⊂平面ABC ，CD BM ∴⊥，
BM AC ⊥，AC CD C =，BM ∴⊥平面ACD ，
AD ⊂平面ACD ，BM AD ∴⊥，
BN AD ⊥，BN BM B ⋂=，AD ∴⊥平面BMN ，
MN ⊂平面BMN ，AD MN ∴⊥，∴AMN 为直角三角形；
（2）以B 点为原点，过B 做CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()2,0C ，()
2,0D -， ()0,2,0BC =，()2,1AD =--.
由（1）得AD ⊥平面BMN ，∴AD 为平面BMN 的法向量，
∴2sin cos ,2
AD BC
AD BC AD BC θ⋅===⋅ ∴直线BC 与平面BMN 所成角大小为
4
π. 【点睛】 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角
坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。