组合数的应用

4 4
2 2
2 2
练习：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ⑤分为三组，每组4人。
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
C
10 16
类型三：分组问题
1、非均匀不编号分组
n个不同元素分成m组，每组元素数目均 不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是 否分完 例1：10人分成3组，每组人数分别为2、 3、5，其分法总数为：
例2：10人中选出6分成3组，各组人数 分别为1、2、3，其总的分法为：
例1：10人分成3组，每组人数分别为2、 3、5，其分发总数为：
m m
例1：10人分成3组，去参加不同的劳 动，每组人数分别为2、4、4，其分发 总数为：
C C C A /A
2 10
4 8
4 4
3 3
2 2
例2：10人中选出6人分成4组，参加不 同的劳动，各组人数分别为1、1、2、 2，其总的分法为：
C C C C A /( A A )
1 10
1 9
2 8
2 6
3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 2 3 9 2 3 3 9 0 5 3 9
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
(1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 (2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 种 C10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 1 有 C2 种取法,所以一共有 种取法. 2
3 (3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 C10 种 1 取法,3双鞋中取出1双有 C3 种方法,另2双鞋中各取1只 1 1 有 C2C2种方法故共有 种取法.
2 3 5 10 8 35 例2：10人中选出 6人分成 组，各组人
C CC
1 10 2 9
数分别为1、2、3，其总的分法为：
C C C
3 7
类型三：分组问题
2、均匀不编号分组
n个不同元素分成不编号的m组，各组间 无顺序之分，也不管是否分完。假设其中 有r组元素个数相等，其分法总数为：
r 非均匀不编号分组中分法数 A （ r r的全排列）。
C CC A
2 9 3 7
同的劳动，各组人数分别为1、2、3， 其总的分法为：
C C C A
1 10
3 3
类型三：分组问题
4、均匀编号分组
n个不同元素分成编号的m组，各组间有 顺序之分，也不管是否分完。假设其中有 r组元素个数相等，其分法总数为：
非均匀不编号分组中分法数 A （r的
r r
全排列） A（m的全排列）
B
A
组合类型（一）解析： 混合问题，先“组”后“排”
例1 对某种产品的6件不同的正品和4件 不同的次品,一一进行测试，至区分出所 有次品为止，若所有次品恰好在第5次 测试时全部发现,则这样的测试方法有种 可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品， 且第5次测试是次品。故有： 3 1 4 种可能。 4 6 4
C C A 576
例2、某学习小组有5个男生3个女生，从 中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动， 每项活动至少有1人参加，则有不同参赛 方法______种.
解：采用先组后排方法:
C C C A 1080
3 5 1 3 2 4 3 3
例3，3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所 学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?
m A n(n 1)(n 2)(n m 1) m n Cn m Am m!
n! C m!(n m)!
m n
我们规定：Cn 1.
0
定理 1:
C C
n
m
nm n
定理2：C
m n1
C C
m n
m1 n
课堂练习1
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； 1 4 C3C9 378 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
C 45 4 10 1 1 1 1 C10C2C2C2C2 3360
1 3 1 2 1 2
C C C C 1440
3 10
2 2
4 4
类型三：分组问题
3、非均匀编号分组
n个不同元素分成编号的m组，每组元素 数目均不相同，各组间有顺序之分，也不 管是否分完。其分法总数为：
非均匀不编号分组中分法数 A (m组的全排列)
m m
例1：10人分成3组，去参加不同的劳 动，每组人数分别为2、3、5，其分发 总数为：
2 3 5 3 10 6人分成 8 5 3组，参加不 3 例2：10人中选出
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合．
2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元 素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示.
复习巩固：
3、组合数公式:
C 6 6 58
正方体共面的四点组成12个， 所以共12C 48个
1 4
课堂练习：
4、四面体的一个顶点为A，从其他顶点 和各棱的中点的取法？
3C 3 33种
3 5
思考练习：
某市有7条南北向街道，5条东西向街道。
（1）图中共有多少个矩形？ （2）从A走到B最短路线走法有多少种？
如果再有k组均匀分组应再除以A
k k
例1：10人分成3组，每组人数分别为2、 4、4，其分发总数为：
例2：10人分成6组，各组人数分别为
C C C /A
2 6 2 4 2 2
2 10
4 8
4 4
2 2
1、1、2、2、2、2，其总的分法为：
C C C C C C /( A A )
1 10
1 9
2 8
C
17 19
例2、 从6个学校中选出30名学生参加 数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选 法?
C 4095
5 29
练习：
1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同 的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种 不同的分配方法？
C
4 7
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以 一步走一级，也可以一步走两级，若要求11 步走完，则有多少种不同的走法？
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
解法二：依次确定到第一、第二、 第三所学校去的医生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
C C A
6 4
2
2
3
540 3
(C C ) (C C ) 1 540
二：分类组合,隔板处理
例1、将20个优秀学生名额分给18个班， 每班至少1个名额，有多少种不同的分 配方法？
答案 ①C125.C74.C33 ④C124.C84.C44 ② C125.C74.C33 ⑤ C124.C84.C44 A33 ③ C125.C74.C33.A33
⑥C12
2. C10
5.C 5 5 A22
课堂小结:
类型四：分鞋问题
例8、 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中， 从中任意取出4只，试求满足如下条件各 有多少种情况：
课堂练习：
1、车间有11名工人，其中5名男工是焊工， 4名女工是车工，另外2名老师既能当车工 又能当焊工，现在要在这11名工人中选派 4名焊工4名车工修理一台机床，有多少种 选派方法？
4名女车工都在内有： 4名女车工有3名在内有： 4名女车工有2名在内有：
课堂练习：
2、以正方体的顶点为顶点，可以确定多 少个四面体？ 4 8 3、以正方体的顶点为顶点，可以确定多 少个四棱锥？