第十一章章末整合提升

放在 MN 的圆心处,再把另一小球 B 放在 MN 上最低点 C 很近的 B
点处,今使两球同时自由释放,则在不计空气阻力时有(
)
A.A 球先到达 C 点
B.B 球先到达 C 点
C.两球同时到达 C 点
D.无法确定哪一个球先到达 C 点
解析:A 球做自由落体运动,到达 C 点所需时间 tA=
2
,R 为圆弧
(3)由各时刻的位移变化过程可判断,t=0.1 s、0.7 s 时,质点的振
动方向为正方向;t=0.3 s、0.5 s 时,质点的振动方向为负方向。
(4)质点在 0.4 s 通过平衡位置时,首次具有负方向的速度最大值。
(5)质点在 0.2 s 时处于正向最大位移处,此时加速度首次具有负
方向的最大值。
号(表示方向),如 t1 时刻质点的速度较 t2 时刻质点的速度小,t1 时刻
质点的速度为负,t2 时刻质点的速度也为负(t1 时刻是质点由正的最
大位移处向平衡位置运动过程中的某一时刻,而 t2 时刻是质点由平
衡位置向负的最大位移处运动过程中的某一时刻);
5.从图象上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号,如
一密度均匀的小球 m,球的直径为 d,绳 l2、l3 与天花板的夹角
α=30°,则:
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动,则周期 T1 为多少?
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动,则周期 T2 又为多少?

2

2
解析:(1)小球以 O1 为圆心做简谐运动,所以摆长 l=l1+ =l0+ ,振


由对称性可知 t1-4 +
为 t3=T-t2=
1
-0.1
3
答案:0.9 s 或
2
2

1
= 2,所以 T=3 s,质点第三次到达 M 点的时间
7
s=
30
7
s
30
s。
点拨:本题还可以假定 M 点位置确定,而从平衡位置出发的方向
可能沿 x 轴正方向,也可能沿 x 轴负方向,从而带来两解,两种假设方
法,答案相同。
专题二 单摆的周期公式
1.单摆的周期公式:T=2π

。

2.对单摆周期公式的理解:
由公式 T=2π

知,某单摆做简谐运动(偏角小于

5 °)的周期只
与其摆长 l 和当地的重力加速度 g 有关,而与振幅或摆球质量无关,
故又叫作单摆的固有周期。
【例 2】
如图所示,MN 为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球 A
30 +
2
专题三
振动图象
如图所示,则
1.从图象上可知振动的振幅为 A;
2.从图象上可知振动的周期为 T;
3.从图象上可知质点在不同时刻的位移,t1 时刻对应位移 x1,t2 时
刻对应位移 x2;
4. 因为振动图象的本质是位移—时间图象,所以其斜率就是质
点的速度,所以从图象上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符
(6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内,从题中图象上可以看出,质点沿
负方向的位移不断减小,说明质点正沿着正方向由负方向最大位移
处向着平衡位置运动,所以质点做加速运动。
答案:(1)5 cm (2)1.25 Hz (3)见解析
(4)0.4 s 平衡位置 (5)0.2 s 正向最大位移处 (6)见解析
受力特点: = -

(变加速运动)
特点 运动特点: =
振动位移随时间的变化规律:正弦规律 = sin( + )
位移:以平衡位置为参考点
机
振幅()
械 简谐运动
物理量 周期()
振
频率()
动
描述
相位( + )
正弦(或余弦)曲线
振动图象 物理意义
图象信息
弹簧振子
理想化模型
T=4(t1+t')=4×(0.2+0.05) s=1 s,

1
质点第三次到达 M 点的时间为 t3=2+2t1= 2 + 2 ×
0.2 s=0.9 s。
第二种情况,质点由点 O 向 B 运动,然后返回到点 M,历时 t1=0.2
s,再由点 M 到达点 C 又返回 M 的时间为 t2=0.1 s。设振动周期为 T,
迁移训练 1
一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距 10 cm 的 A、
B 两点,历时 0.5 s(如图所示)。过 B 点后再经过 t=0.5 s 质点以大小
相等、方向相反的速度再次通过 B 点,则质点振动的周期是(
)
A.0.5 s
B.1.0 s
C.2.0 s
D.4.0 s
解析:根据题意,由振动的对称性可知,AB 的中点(设为 O)为平衡
大反向的加速度。
【例 1】 某质点做简谐运动,从平衡位置 O 开始计时,经 0.2 s
第一次到达 M 点,如图所示。再经过 0.1 s 第二次到达 M 点,求它再
经多长时间第三次到达 M 点?
解析:解本题的关键是要弄清简谐运动的对称性。
第一种情况,质点由 O 点经过 t1=0.2 s 直接到达 M,再经过 t2=0.1
(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置;
(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置;
(6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内质点的运动情况。
解析:(1)振幅为最大位移的绝对值,从题中图象可知振幅 A=5
cm。
(2)从题中图象可知周期 T=0.8 s,则
1
1
振动的频率 f= = 0.8 Hz=1.25 Hz。
动的周期为 T1=2π
0 +2

2 +
=2π
=2π 0 。


2

(2)小球以 O 为圆心做简谐运动,摆长 l'=l1+l2sin α+2=l0+l0sin

α+ ,振动周期为
2
答案:(1)2π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T2=2π
20 +
2
0 +0 sin+2
'
30 +
=2π
=2π
。


2
(2)2π
位置,A、B 两点对称分布于 O 点两侧。质点从平衡位置 O 向右运动
1
2
到 B 的时间应为 tOB= ×0.5 s=0.25 s。质点从 B 向右到达右方极端位
1
2
置(设为 D)的时间 tBD= ×0.5 s=0.25 s。所以,质点从 O 到 D 的时间
1
tOD= T=0.25
4
答案:C
s+0.25 s=0.5 s,解得 T=2 s。
t1 时刻的加速度较质点在 t2 时刻的加速度大,t1 时刻质点加速度符号
为负,t2 时刻质点加速度符号为正;
6.从图象可以看出质点在不同时刻之间的相位差。
【例 3】 下图是一个质点的振动图象。根据图象回答下列问
题。
(1)振动的振幅;
(2)振动的频率;
(3)在 t=0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s 时质点的振动方向;
s 由点 C 回到 M。由对称性可知,质点由点 M 到达 C 点所需要的时
间与由点 C 返回 M 所需要的时间相等,所以质点由 M 到达 C 的时间
2
为 t'= 2 =0.05 s。
质点由点 O 到达 C 的时间为从点 O 到达 M 和从点 M 到达 C

的时间之和,这一时间则恰好是4,所以该振动的周期为
到原来的状态,因此在处理实际问题中,要注意到多解的可能性。
2.对称性:
(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等
的速率。
(2)时间的对称性:系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的
时间相等。振动过程中通过任意两点 A、B 的时间与逆向通过的时
间相等。
(3)加速度的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等

轨道的半径。
因为圆弧轨道的半径 R 很大,B 球离最低点 C 又很近,所以 B 球
在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆
1
4
长为 R 的单摆),则运动到最低点 C 所用的时间是单摆振动周期的 ,

4
即 tB= =
π
2
答案:A

>tA,所以

A 球先到达 C 点。
迁移训练 2 如图所示,三根长度均为 l0 的绳 l1、l2、l3 共同系住
机
械
振
动

单摆:(在偏角很小, ≤ 5°时) = 2π

振幅逐渐减小
阻尼振动
外力作用
下的振动
振动能逐渐转化为其他形式的能
周期性驱动力作用下的振动
受迫振动 受迫振动的频率等于驱动力的频率
共振:当驱 = 固 时,振幅最大的现象
专题一
简谐运动的周期性和对称性
1.周期性:做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回