厦门市~学年下高一数学质量检测

厦门市2014～2015学年第二学期高一质量检测
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.在空间直角坐标系O-xyz,点P(1,2,3)关于xOy 平面的对称点是()
A .(-1,2,3)
B .(-1,-2,3)
C .(1,2,-3)
D .(1,-2,-3) 3
20π
的值为()
2323-212
1-已知1e ,2e 是互相垂直的两个单位向量，
若212e e a -=，则a 等于()
5如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三
角形，
那么这个几何体的体积为()
21316
1
已知l 是一条直线，βα，是两个不同的平面，则以下十个命题正确() A .若βαβα//,//,则l l ⊂B .ββα//,,l l l 则⊥⊥
βαβα⊥⊥⊂则,,l l .βαβα⊥⊂⊥l l 则,,
6.已知直线013)2(01=+-+=++y x a y ax 与互相垂直，则实数a 等于() 或或或或3
7.为了得到函数x x y 2cos 32sin -=的图像，只要把函数x y 2sin 2=的图像()
A .向左平移
3π个单位长度B .向左平移6π
个单位长度 C .向右平移3π个单位长度D .向右平移6
π
个单位长度
8.已知点()()4,0,0,2B A －,点P 在圆()()5=4+3-:2
2－y x C ,则使090=∠APB 的点P 的个数为
()
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，060=∠DAB .侧面PAD 为正三角形，
且平面⊥PAD 平面ABCD,则下列说法错误的是（）
A .在棱AD 上存在点D ，使AD ⊥平面PM
B B .异面直线AD 与PB 所成的角为090
C .二面角P-BC-A 的大小为045⊥平面PAC
10.已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22
y x C 上运动，则MQ
MP +的最小值为（）
152－1+52二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在答题卡相应
位置。

11.已知向量a=()2,1,b=()4,－m ,若a 图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则)+tan(βα=______________; 13.已知点()()()1,2,3,3,0,0C B A ,则ABC Δ的面积为. 14.如图，已知圆锥S0的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为.
15.已知二次方程0=tan +3+++22θy x y x （2
<<2π
θπ－）表示圆在，则θ的取
值范围为.
16.已知函数()sinx tan =－x x f ，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的序号） ①()x f 的周期为π；②()x f 的图象关于点()0,π对称；
③()x f 在（ππ
,2）上单调递增；④()x f 在（2
,2ππ－）上有3个零点. 三、解答题
17．（本题满分12分）
如图，正方体1111-D C B A ABCD 的棱长为2，E,F,G 分别是11C B ,E D AD 11,的中点.
18.（1）求证：FG E AA 11111D C B A （本小题满分12分）
如图，平行四边形ABCD （D C B A ,,,按逆时针顺序排列），AD AB ,边所在直线的方程分别是
01123,074=-+=-+y x y x ，且对角线AC 和BD 的交点为)02(，
M （1）求点A 的坐标
（2）求CD 边所在直线的方程 19.（本小题满分12分）
如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点
)5
4,53(),2321(-Q P ， （1）求POQ ∠sin ;
（2）设函数],0[,2sin cos 32)(2α∈+=x x x x f ，求
)(x f 的值域.
20.（本小题满分12分）
ABC ∆是边长为3的等边三角形，
)12
1
(<<=λλBC BF ,过点F 作BC DF ⊥交AC 边
于点D ，交BA 的延长线于点E .
（1）当32
=λ时，设b BC a BA ==,，用向量b a ,表
示EF ；
（2）当λ为何值时，FC AE •取得最大值，并求出最大值. 21.（本小题满分14分）
如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()f t A t b ωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<． （1）根据图象，求函数()f t 的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m (0)m >小时投产，求m 的最小值．
22．（本小题满分14分）
已知A ，B 为圆O :2
2
4x y +=与y 轴的交点（A 在B 上），过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点． （1）若弦MN 的长等于23，求直线l 的方程； （2）若,M N 都不与A ，B 重合时，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上．若存在，求出直线m 的方程；
若不存在，说明理由．
（第21题图）
O
6 12 t （小时）
O G P M
A
厦门市2014～2015学年第二学期高一质量检测
数学试题参考答案
一、选择题:
1-5CABDC6-10ADBDA
10.方法1：作y 轴关于点M 的对称直线6=x ，P 关于M 的对称点P '在直线6=x 上运动，
P M '-=
==+,
的最小值为325=-．
方法2：设)2,3(),,(),,0(00M y x Q a P ，)2,3(),2,3(00--=--=y x MQ a MP
()2
0204)6(-++-=a y x ，表示4)2()1(:22=++-y x C 上的点),(00y x 与
)4,6(a -的距离，可看作圆4)2()1(:22=++-y x C 上的点到定直线6=x 距离的最小值，
为325=-． 二、填空题：
11．2-12．313．
2314．3115．)4
,2(π
π-16．②③
16.答案②③
①错误．()tan()sin()tan sin ;f x x x x x πππ+=+-+=+Q ()()f x f x π+=不恒成立，故()f x 的周期不是π．
②正确．()()tan()sin()tan()sin()0f x f x x x x x ππππππ++-=+-++---==Q L ③正确．tan y x =Q 在(,)2ππ上单调递增，sin y x =在(,)2
π
π上单调递减，相减即增．
④错误．在同一坐标系中作出函数tan y x =和sin y x =在区间(,)22
ππ
-
上的图象，由图象探
知共有1个交点（或在该区间上解方程tan sin 0x x -=，得仅有一个根0x =）． 三、解答题： 17．本题考查空间线面位置关系、角的计算等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、
推理论证能力，考查化归与转化等数学思想．满分12分．
（Ⅰ）证明：ΘF 为1AD 的中点，且G 为E D 1的中点
∴FG 为1AED ∆的中位线
∴FG AE Θ⊄FG E AA 1⊂AE E AA 1∴FG E AA 111D A H FH HG
ΘFH A D A 11∆∴FH 1AA Θ⊥1AA 1111D C B A ∴FH ⊥1111D C B A ∴FGH ∠FG 1
111D C B A 11E AB ∆E
A 12
12
11E B B A +5ΘGH 11ED A ∆∴GH
21E A 25ΘFH 2
1
AA ∴FGH ∆
1
B
FGH
tan ∠552FG 1
111D C B A 5
5
2题考查直线的方程，直线与直线的位置关系，点线对称关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合数学思想．满分12分. 解：（Ⅰ）470
32110x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩
---------------------------------2分
解得3
1x y =⎧⎨
=⎩
----------------------------------5分 ∴(3,1)A ---------------------------------6分
（Ⅱ）解法一：
A 关于M 的对称点为C ，
∴(1,1)C -------------------------------------8分
又14
AB CD k k ==---------------------------------10分
∴CD 边所在的直线方程为11(1)4
y x +=--
即：430x y ++=----------------------------12分 （Ⅱ）解法二：
A 关于M 的对称点为C ，
∴(1,1)C ---------------------------------8分
设CD 边所在的直线方程为：40x y m ++=-----------------10分
∴14(1)0m +⨯-+=得3m =
∴CD 边所在的直线方程为430x y ++=---------------------12分
（Ⅱ）解法三：
设(,)P x y 为CD 边所在的直线上的任一点，
P 关于点M 的对称点为P '),(00y x ，-----------------------8分
则0
022
2
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩得004x x y y =-⎧⎨=-⎩------------------------10分
又P '在直线AB 上，
即430x y ++=--------------------------12分
19.本题考查任意角三角函数的定义，两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式及三角函
数的图象等知识，考查运算求解能力，考查转化与化归、数形结合思想方法.满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，得
1sin 22αα=
=，43sin ,cos 55
ββ==--------------2分 ∵,αβ分别是锐角，钝角
sin sin()sin cos cos sin
POQ βαβαβα
∴∠=-=-------4分
413=()525⋅--=------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3
π
α=----------------6分
()2sin 2f x x x =+-----------------7分
2sin(2)3
x π
=+分
∴2[,]33
x π
π
π+
∈ ∴sin(2)[0,1]3x π
+∈----------------------11分
∴()f x 的值域是2+----------------------12分
20.本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识，考
查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归的思想方法．满分12分.
解：(Ⅰ）由题意可知：b BF 32=232
3=⨯=，-----------------1分
4=，故a BA BE 34
34==，-------------------2分
3
2
34+-=-=---------------------5分
(Ⅱ)λλ333-==，--------------------6分
366-==λλ，---------------------8分
2
9
227960cos )33)(36(2-+
-=︒--=⋅λλλλFC AE -----10分 当4
3
29227
=⨯--=λ)1,21(∈时， ---------------------11分
FC AE ⋅有最大值16
9
. ---------------------12分
21.本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数
据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想.满分14分.
解：（Ⅰ）由图象可得： 2.5
1.5
A b A b +=⎧⎨-+=⎩，
解得1
,22
A b == ----------------------2分
周期12T =，2126
ππ
ω∴==，---------------3分
1()sin()226
f t t π
ϕ∴=++，
又Q ()y f t =过点(0,2.5)，
sin 1,ϕ∴=且0ϕπ<<，2
π
ϕ∴=
， -----------------5分 1()sin()2(0)
262f t t t ππ
∴=++≥
---------------6分
（Ⅱ）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226
f t t π
=+；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π
+=++；
两企业用电负荷量之和
1()()[cos ()cos ]4(0)266f t m f t t m t t ππ
++=+++≥；------8分
依题意，有19
()()[cos ()cos ]42662f t m f t t m t ππ++=+++≤恒成立，
即cos
()cos
16
6
t m t π
π
++≤恒成立,
展开有：(cos
1)cos
sin
sin
16
6
6
6
m t m t π
π
π
π
+-≤恒成立，------10分
（其cos
1sin
cos m m
π
π
φφ+=
=）；
1≤，-----------------------11分
整理得到：1
cos
62
m π
≤-，------------------------12分 依据余弦函数图像得：
2422,()363
k m k k Z πππ
ππ+≤≤+∈， 即124128k m +≤≤+，取0k =得：48m ≤≤
∴m 的最小值为4. -----------------------14分
22.本题考查直线、圆、用几何法与代数法研究直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理
论证能力，探究论证的能力，考查数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想．满分14分. 解：(Ⅰ)①当k 不存在时，4==AB MN 不符合题意-----------------------1分 ②当k 存在时，设直线l ：4y kx =+
||MN =Q 圆心O 到直线l
的距离1d ------------------3分
1=
，解得k =分
综上所述，满足题意的直线l
方程为4y =+-----------------------6分
(Ⅱ)根据圆的对称性，点G 落在与y 轴垂直的直线上 令(2,0)N -，则直线:
12424
x y
PN y x +=⇔=+-与圆22:4O x y +=联立得： 2516120x x +==，65M x ∴=-，68
(,)55
N ∴-，:32BM y x =--
所以直线:20AN x y -+=与BM 的交点G （-1,1）， 猜想点G 落在定直线1y =上.----------------------8分 下证：2
2
44
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩得：22(1)8120k x kx +++=
22122
122(8)48(1)081121k k k x x k x x k ⎧
⎪∆=-+>⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩
------------------------10分 直线AN ：
11
22y y x x --=，直线BM ：222
2y y x x ++=
消去x 得：
12
21
(2)22(2)y x y y y x --=
++ 要证：G 落在定直线1y =上，只需证：12
21
(2)1212(2)y x y x --=
++ 即证：
12
21
(2)13(6)kx x kx x +-=
+ 即证：121122636kx x x kx x x --=+ 即证：121246()0kx x x x ++= 即证：22
12846011k
k
k k
-=++ 显然成立.
所以直线AN 与BM 的交点在一条定直线上.--------------------------14分。