上海市长宁区2018年中考二模数学试卷含答案

2018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷
201804（考试时间：100分钟 满分：150分）
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（的图像不经过（ ▲ ）
（（A ） 第一象限；第一象限； （（B ） 第二象限；第二象限； （（C ） 第三象限；第三象限； （（D ） 第四象限．第四象限． 2．下列式子一定成立的是（．下列式子一定成立的是（ ▲ ）
（（A ） a a a 632=+； （（B ）4
2
8
x x x =¸； （C ） a
a 12
1=
； （（D ）63
21
)(a
a
-
=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（的同类二次根式是（ ▲ ） （（A ）4； （（B ）x 2； （（C ）
9
2
； （（D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （（B ） 4； （（C ） 2； （（D ）6.5．
5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（的值可以取（ ▲ ）
（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．
6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（下列四个命题中真命题是（ ▲ ）
（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；一定是等腰梯形； （C ） 若
OD
CO
OB AO =
，则四边形ABCD 一定是矩形；一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．一定是正方形．
二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--°0
)3(30sin ▲▲ ．． 8． 方程6+=
-x x 的解是的解是 ▲▲ ．．
9． 不等式组ï
îï
íì³
-<+-1)12(30
3x x 的解集是的解集是 ▲▲ ．． 10．已知反比例函数x
k
y =的图像经过点（的图像经过点（--2017，2018）
，当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而的值增大而 ▲▲ ．．
（填“增大”或“减小”） 11．若关于x 的方程032
=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是的值是 ▲▲ ．． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，张纸片中随机抽取一张，
抽到中心对称图形的概率是抽到中心对称图形的概率是 ▲▲ ．．
13．抛物线5222
++=mx mx y 的对称轴是直线的对称轴是直线 ▲▲ ．． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出月份的电话通话清单，按通话时间画出
频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的分钟的 通话次数的频率是通话次数的频率是 ▲▲ ．．
15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，的中点，
BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为的度数为 ▲▲ ．． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，
若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲▲ ．． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，
那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于，则它的周长等于 ▲▲ ．． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD
上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于的长等于 ▲▲ ．．
第14题图
题图 A
B C
D
E F
第15题图题图
第16题图题图
D C
B
A 第18题图题图
A
B
C
D
三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）分）
先化简，再求值：1
23
41311222
+-++¸-+-+x x x x x x x ，其中1
21+=x ．
20．（本题满分10分）分）
解方程组：îí
ì=-=-+②
12① 06522 ． ，y x y xy x 21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）分）
如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，
135
sin =
ÐABC ．
（1）求AB 的长；的长；
（2）若AD =6.5，求DCB Ð的余切值．的余切值．
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）分）
某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图．（元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；的函数解析式；
（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票
所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，万元，
且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？元，该年的门票价格应该定为多少元？
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）分）
如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点于点 G 、F ，且AG
GF BE AD =．
（1）求证：AB //CD ；
（2）若BD GD BC ×=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．是菱形．
A
C
D
B 第21题图题图
第22题图题图
A
C D
E
F
G
B
第23题图题图
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）分）
如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD D 的面积；的面积；
（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）分）
在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．
（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；的长；
（2）如图2，设AC =x ，y S S OBD ACO
=D D ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．的长．
备用图备用图
第24题图题图
长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议
2018.3
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-
； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大；．增大； 11．4
3
-=m ； 12．53；
13．1-=x ；14．7.0；15．°
140； 16．®®-a b 21； 17．255或535++； 18．
2
1
5-． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78
分）
19. （本题满分10分）解：原式= )
1)(3()1()1)(1(3112
++-´
-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(1
11
+--+x x x (2分) =
2)1(1
1++-+x x x (1分) 
=
2
)1(2
+x (1分) 
当12121-=+=
x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2
)
2(2
=1 (3分) 20．（本题满分10分）
解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x
得06=+y x 或0=-y x （2分）
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）îíì=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）îíì=-=-120
y x y x （2分）
解方程组（Ⅰ）ïî
ïíì
-==
131136y x ， 解方程组（Ⅱ）îíì==11y x （4分） 所以原方程组的解是ïî
ïíì-==1311361
1
y x ， îíì==1122y x . （2分）
另解：由②得12-=x y ③ （1分）
把③代入①，得0)12(6)12(52
2
=---+x x x x （1分）
整理得：0619132
=+-x x （2分）
解得：1,13
62
1
==
x x （2分）
分别代入③，得1,13
12
1=-=y y （2分）
所以原方程组的解是ïî
ïíì
-==13113611y x ， îí
ì==11
22y x . （2分）
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E 
又∵AB =AC ∴BC BE 2
1
= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）
在ABE Rt D 中，°=Ð90AEB ，13
5sin ==ÐAB AE ABC （1分）
设AE=5k,AB=13k ∵2
2
2
BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F 
∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5 ∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ °
=Ð=Ð90DFB AEB ∴ DF AE //
∴
BD
AB
BF BE DF AE =
= 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,2
15
==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）
在DCF Rt D 中，°=Ð90DFC ，5
42
156cot ===ÐDF
CF DCB （1分）
22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）设)0(¹+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）
代入解析式得：îí
ì=+=+25050100
200b k b k （2分）
解之得：î
íì=-=3001
b k （1分）
所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：元，依题意可得：
11500)300)(20(=+--x x （2分）
整理得：整理得： 0175003202
=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去）（舍去） （2分）
答：门票价格应该定为70元. （1分）
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
证明：（1）∵BC AD // ∴∴BG DG BE AD = （2分）
∵
AG
GF BE AD = ∴AG GF
BG DG =
（1分） ∴ CD AB // （2分）
（2）∵BC AD //，CD AB // ∴四边形∴四边形ABCD 是平行四边形是平行四边形 ∴∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ×=2∴ BD GD AD ×=2即AD
GD BD AD =
又 ∵BDA ADG Ð=Ð ∴ADG D ∽BDA D （1分） ∴ABD DAG Ð=Ð
∵CD AB // ∴BDC ABD Ð=Ð ∵BC AD // ∴E DAG Ð=Ð
∵BG =GE ∴E DBC Ð=Ð ∴DBC BDC Ð=Ð （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32
-+=bx ax y 上 ∴îí
ì=-+=--033903b a b a ，解得îíì-==21
b a （ 2分）
∴抛物线的表达式为322
--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=
AD
∴2
2
2
AD AC CD += ∴°=Ð90CAD （ 2分）
22
2AC AD )
PH )2
AB 2
2
=-=AC AO 258|4|32
2
2
2
2
+-=-+=+=x x x HC HO ，5
25882+-×-=×=×=D D D x x x x OD OC BC AC S S S S S S OBC ACO ACO x
x x x 54025
82-+
-=
则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO
×=×=D 2121
Q ∴
OF OB OH
AB AE ==×=5
24 在Rt △AOF 中，°=Ð90AFO Q ，AO =5，
∴57
2
2=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5
142==AF AD . （3分）
②当OA //BD 时，时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，
则由①的方法可得524
==BM DG ， 在Rt △GOD 中，°=Ð90DGO Q ，DO =5，
∴572
2=-=
DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，
在Rt △GAD 中，°=Ð90DGA Q ，∴62
2
=+=DG AG AD （ 3分）
综上得65
14或=AD。