解析函数的等价条件综述

解析函数的等价条件综述
程晓亮;张旭;苗艳
【摘要】解析函数包括单变量解析函数、多变量解析函数.本文讨论单变量解析函数的若干等价命题,进而讨论了多变量解析函数及解析映照等问题.
【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(038)002
【总页数】5页(P46-50)
【关键词】解析函数;等价命题;柯西-黎曼方程
【作者】程晓亮;张旭;苗艳
【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000
【正文语种】中文
【中图分类】O186
解析函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的开创性工作，历经众多数学家的努力，目前已经形成了非常系统的理论.1825年，柯西给出了函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析的柯西积分定理[1-2]，即当C为D 内任意一条围线时，积分年，维尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数指的是在区域内每一个小圆盘上都能表示成幂级数的和的函数，即对于D中的任意点z0，在任意圆盘U={|z-z0|lt;r}⊂D中该函数可表示为收敛幂级数的和的形式[1-2]，即这也就是通常所说的泰勒级数.1851
年，黎曼论证了复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析的充要条件是其实部和虚部的二元实函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数满足=，=-，也就是我们现在所说的柯西-黎曼方程(C-R条件)[2].关于解析函数的不同定义在20世纪被证明是等价的，下面就是解析函数的定义及等价命题.
若f(z)在z0的某邻域内可导，称f(z)在z0解析，z0为该函数的解析点.若函数f(z)在z0处不解析，但在z0的任一邻域总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点[1-2].
定义1.1[2] 若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在区域D内解析，f(z)是区域D内的一个解析函数，也叫全纯函数或正则函数.
根据解析函数的定义，从函数的实部和虚部满足的C-R方程和共轭调和关系，复积分和幂级数展开等角度分析解析函数概念的等价性.
命题2.1[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：
(1) 二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微；
(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.
证明⟹设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处的导数为a+ib，则
⟹因为二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内可微且满足C-R方程，有
命题2.2[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：
(1) 二元函数u(x,y)与v(x,y)具有连续的偏导数；
(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.
证明⟹设f(x)在区域D内解析，由解析函数的无穷可微性得到f ′(z)在区域D内也解析，所以f ′(z)在区域D内连续，即u(x,y)与v(x,y)的偏导数，，，在区域D内连续，C-R方程成立.
⟹设，，，在区域D内连续，由二元实函数可微的充要条件可知，二元函数u(x,y)与v(x,y)在区域D内可微，则f(z)在区域D内解析得证.
命题2.3[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：在区域D内函数v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.
证明⟹因为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析，则由C-R方程
⟹由已知得f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数.由共轭调和函数的定义知道u(x,y),v(x,y)具有二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程+=0，+=0,且，，，连续，又因为u(x,y),v(x,y)满足C-R方程，故f(z)在区域D内解析.
命题2.4[1-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：
(1) f(z)在区域D内连续;
(2) 对任一围线C，只要C及其内部全含于D内，就有
证明⟹设C是一条围线，D为C的内部，函数f(z)在D内解析，在上连续，则
⟹设F(z)=f(ζ)dζ(z0∈D)在D内解析，且F′(z)=f(z)(z∈D).由于解析函数F(z)的导函数F′(z)还是解析的，得到f(z)在D内解析.
命题2.5[1-2] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：f(z)在D 内任一点z0的一个完全属于D的邻域内可展成关于z-z0的幂级数，即泰勒级数. 证明⟹设f(z)在区域D内解析，a∈D,只要圆K：|z-a|lt;r⊂D则f(z)在K内能展成幂级数f(z)且展式唯一.
⟹由阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆
多变量解析函数是当今数学研究的热点问题，被广泛的应用于流体力学、物理学等各个方面，下面我们就对多变量解析函数的定义进行研究.
定义3.1[5] 称函数f(z)在点z∈Cn是解析的(全纯的)，如果它在这个点的某个邻域中为C-可微.
定义3.2(全纯映射)[5] 设D为Cn中的一个区域， f=(f1，…，fm)：D→Cm；如果这个映射的每个分量fμ(μ=1，2，…，m)在D中全纯，则称此映射为全纯的.特别的，如果D⊂C,则称f为全纯曲线.
如果U为z∈Cn的一个邻域，f:U→Cm为全纯映射，则对具任意充分小的|h|的
向量h∈Cm成立展开式f(z+h)=f(z)+df(h)+o(h)，C-线性映射，df(h)=f ′(z)h称为映射f在点z的微分，其中f ′(z)=为雅可比矩阵，而h是列向量.
定义3.3(双全纯映射)[5] 称区域D⊂Cm的映射为双全纯是说，如果它在D中全纯并且有逆映射g=f-1，它在G=f(D)中全纯.
雅可比Jf(z)≠0当且仅当f在点z为局部双全纯.特别的，由此得到，任意全纯的相互一一映射f:D→f(D)为双全纯.
在ngt;1时，双全纯性质与共形性质并不相同.
命题3.1[5] 函数f(z)是全纯的充要条件是它满足C-R条件
证明由全纯函数的Riemann定义，即f(z)在z∈Cn全纯是指f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．即=，=-(C-R方程).
命题3.2[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足2n个实方程的方程组=，=-，v=1，2，…，n.
证明由全纯函数的Riemann定义知f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．
命题3.3[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足n个复方程组
命题3.4[5] 函数f(z)是全纯的，它可展开为多重幂级
注如果向量值函数解析，那么其中的每个分量函数解析；每个分量函数解析，其
中的每个变量都解析.
如果向量值函数F:(f1(z1，…zn),…，fm(z1，…，zn))是解析的，根据定义有：F
中的每个分量函数f1(z1，…，zn),…，fm(z1，…，zn)是解析的；也就是F的每一个分量函数fi(z1，…zn)都解析，得到对任意变量zi解析，即=0.
定理4.1(黎曼存在与唯一性定理)[1-2] 扩充z平面上的单连通区域D，其边界点不止一点，则有一个在D内的单叶解析函数ω=f(z)，它将D共形映射成单位圆
|ω|lt;1；且当复合条件f(a)=0，f′(a)gt;0(a∈D)时，这种函数f(z)就只有一个.
在C2中映射(z1,z2)→(z1,2z2)为双全纯，然而并不是共形的，而共形映射
z→z/|z|2既不是全纯的也不是反全纯的.
双全纯映射f:D→G=f(D)也称为(全纯)同构，而存在这种映射的区域D和G被称为双全纯等价.区域D到自身的全纯同构被称做(全纯)自同构.
关于平面单连通区域的黎曼定理不可能推广到空间区域.这与在ngt;1时的超定条件有关：对区域Cn的映射f=(f1，…，fn)，柯西-黎曼条件=0由关于n个未知复函数的n2个复微分方程组成.
关于单变量解析函数和多变量解析函数的定义及其比较以及相关问题的讨论，还可参阅其他文献[6-10].
【相关文献】
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