高一数学衔接教材 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：二次函数y ＝ax2＋bx ＋c
的图像和性质
问题1 函数y ＝ax 2
与y ＝x 2
的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2
，y ＝
12
x 2
，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2
的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2
与y ＝x 2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2
的图象． … 从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2
的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y
＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝
12
x 2
，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2
的图象各点的纵坐标变
为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2
的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之
间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2
的图象（如图2
－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2
的图象向左平
移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2
＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a (x ＋h )2
＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
由于y ＝ax 2
＋bx ＋c ＝a (x 2
＋b x a )＋c ＝a (x 2
＋b x a ＋224b a
)＋c －24b a
224()24b b ac a x a a
-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2
的图象作左右平移、上下
平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
图2.2-2
图2.2-1
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b
a
-时，y 随着
x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2
44ac b a
-．
（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b
a
-时，y 随着
x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝2
44ac b a
-．
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在
今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y ＝－3x 2
－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2
＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点
B 和
C (，与y 轴的交点为
D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
图 2.2－
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有
70130,
50150,
k b k b =+⎧⎨
=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则
z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000
＝－(x －160)2
＋1600，
∴当x ＝160时，z 取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
函数y ＝x 2
的图像，求b ，c 的值．
解法一：y ＝x 2
＋bx ＋c ＝(x +2b )22
4
b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移
4个单位，得到22
(4)224
b b y x
c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，
2
40,220,4b
b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，
得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4
个单位，得到函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像．
由于把二次函数y ＝x 2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝
(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2
＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y ＝x 2
，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．
解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x
＝a 时，函数取最小值y ＝a 2
；
（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2
；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习
1．填空题
（1）二次函数y ＝2x 2
－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）已知二次函数y ＝x 2
+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当
m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y ＝－3(x ＋2)2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标
为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 满足 时，y 随着x 的增大而减小．
2．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．
（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2
．
4．已知函数y ＝－x 2
－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．
①
图2.2－6
②
③。