第十讲 等差数列 教师版--五年级数学思维拓展

第10讲等差数列
(2) 2，4，6，8，10，12，14，16，......
(3) 1，4，9，16，25，36，49，......
上面三组数都是数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项.....以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项。

项的个数叫做项数。

一个数列中，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。

相邻两项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列:4，7，10，13，16，19，22，25，28。

首项是4，末项是28，公差是3。

这一讲我们学习有关等差数列的知识。

例1在等差数列1，5，9，13，17，.....，401中，401是第几项?
解(401-1)÷4+1=101
答:401是第101项。

【思路点拨】求401是第几个，就是求这个等差数列的项数。

求项数将401看作未项，1看作首项，这个数列的公差是4，求项数的方法是:
项数=(末项-首项)÷公差+1。

例2有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加1根，
一共堆了28层，最下面一层有多少根?
解 5+1x(28-1)=32(根)
答:最下面的一层有32根。

【思路点拨】将每层圆木根数写出来是: 5，6，7，8，9，10，.....，可以看出是一个等差数列。

将每层的圆木根数抽象成等差数列是解题的关键，在这个等差数列中，已知首项是5，公差是1，项数是28，求最下面的一层有多少根就是求这个等差数列的第28 项，即末项。

因为第2项比第1项多1根，也就是多一个公差“1”，求第28项，就是求比第一项(首项)多27个公差是多少根。

求末项的方法是:末项=首项+公差×(项数-1)
例31+4+7+10+13+......+94+97+100=?
解 (1+100)x34÷2=1717
答:和是1717。

【思路点拨】 仔细观察，可发现数列中的数可以这样排列:1+100=101，
4+97=101,7+94=101，......一共有多少个101呢?因为一共有(100-1)÷3+1=34(个)数，每两个数一对，所以一共有34÷2=17(对)，也就是说有17个 101。

只要选其中的一对求和再乘上对数就可以了。

这里求等差数列的和，用的是配对方法求和，一般情况下:
和=(首项+未项)x 项数÷2
例4 求100以内所有被5除余1的自然数的和
解 (96-1)÷5+1=20
(1+96)×20÷2=970
答:100以内所有被5除余1的自然数的和是970。

【思路点拨】将100以内被5除余1的自然数求出来分别是1，6，11，16，21，..... 96，这是一个等差数列，然后求这个等差数列的各项之和。

要注意，在被5除余1的自然数中，最小的是1，而不是6。

根据被5除余1的数的特点，这组数成等差数列，要求和必须知道首项、末项和项数这三个条件，这里可先找出最小的数(首项为1)和最大的数(末项为96)，而项数是多少不知道，所以不能直接求和。

这里最小的是1，最大的是96。

根据求项数的方法，用(96-1)÷5+1，求出项数20，然后根据“和=(首项+末项)x 项数÷2”来计算。

例5 计算下列数字方阵中所有数的和。

1，2，3，.....，48，49，50
2，3，4，.....，49，50，51
3，4，5,......，50，51，52
......
50，51，52，......,97，98，99
解 (1+50)x50÷2=1275:
(50+99)x50÷2=3725;
(1275+3725)x50÷2=125000
答:这个数字方阵中所有数的和是125000。

【思路点拨】在观察横行时，发现第二行中的每个数都比第一行中与之对应的数大1，每行有50个数，所以第二行中的50个数的和比第一行中50个数的和大50，再观察，第三行中的每个数都比第二行中与之对应的数大1，所以第三行中50个数的和比第二行中50个数的和大
50......一共有50行。

下面每一行50个数的和都比上面一行50个数的和大50。

显然，这50个和数成等差数列，最后求出这组等差数列的和，解法是:1275x50+50x(1+2+ ......+
49)=125000。

解这道题要学会从整体入手，不仅要看出每行是一个等差数列，而且要看出每行的和排列起来，也是一个等差数列。

同步精练
1.在数列 7，10，13，16，......中，907是第几项?第907个数是多少?
【答案】第301个数，2725
2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米? 【答案】1米
3.求自然数中所有三位数的和。

【答案】494550
4.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，后面每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位?
【答案】1254 个
5.求所有除以4余1的两位数的和。

【答案】1210
6.0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+......+0.99 的和是多少?
【答案】27.25
7.一个梯子最高的一级宽32厘米，最低一级宽110厘米，其间还有9级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米?
【答案】71 厘米
8.小王和小胡两人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。

小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜?
【答案】小胡取胜(提示:小王 1+1.1+1.2 +..... + 1.8+1.9 = 14.5 米小胡1.5x10 =15 米) 9.一个物体从高空自由落下，已知第一秒下落的距离是4.9米，以后每秒下落的距离都比前一秒多9.8米，50秒后物体落地，求物体最初距地面的高度。

【答案】12250米
10.求下面数字方阵中所有数的和。

1，2，3，......,98，99，100
2，3，4，......,99，100，101
3，4，5，......,100，101，102
.....
100，101，102，......，197，198，199
【答案】1000000
课后作业
1.计算:(1+3+5+……+2005+2007)+(2+4+6+……+2006+2008)
[答案] 原式=2017036
提示:本题实际上是求1+2++3+……+2007+2008的和,根据等差数列求和公式有:(1+2008)x2008÷2=2017036。

2.计算:0.2+0.4+0.6+0.8+0.10+0.12+0.14+0.16+……+0.98
[答案] 原式=26.3。

提示:0.2+0.4+0.6+0.8+0.10+0.12+0.14+0.16+0.18+……+0.98
=(0.2+0.4+0.6+0.8)+(0.10+0.12+0.14+0.16+0.18+……+0.98)
=2+24.3
=2+(0.10+0.98)x45÷2
=26.3
3.某机械装置安装的五个滑轮,其直径成等差数列,已知最小的和最大的滑轮直径分别为120毫米和216毫米,求中间三个滑轮的直径。

[答案] 中间三个滑轮的直径分别为144毫米、168毫米、192毫米。

提示:先求公差,(216-120)÷(5-1)=24，再求出三个滑轮的直径,120+24=144,144+24=168,168+24=192。

4.求所有除以8余1的两位数的和。

[答案] 和为627。

提示:所有除以8余1的两位数有17,25,33,……,89,97。

先求个数:(97-17)÷8+1=11,再求和:(17+97)x11÷2=627。

5.小刚与小明两人赛跑,限定时间12秒,谁跑的距离长谁就胜。

小刚第一秒跑1.5米,以后每秒都比前一秒多跑0.2米,小明自始至终每秒都跑1.9米。

谁能获胜?
[答案] 小刚能胜。

提示:先求小刚跑的距离:1.5+0.2x11=3.7,1.5+1.7+……+3.7=(1.5+3.7)x12÷2=31.2(米),再求小明跑的距离:1.9x12=22.8(米),31.2>22.8。

6.在等差数列6,13,20,27,……,1987,1994中,从左向右数第283个数是多少.
[答案] 这个数是1980
提示:(1994-6)÷7+1=285,这列数共有285个,从左向右第283个相当于从右向左第3个,依次写出是1994、1987、1980,所以是1980
7.在1,4,7,10,13,……,100中,在每个数前面添上一个小数点,小数点前面再添上一个0后,得到的总和是多少?
[答案]总和是17.35。

提示: 0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+...+0.97+0.100
=(0.1+0.4+0.7)+( 0.10+0.13+……+0.97)+0.100
=1.3+(0.1+0.97)x30÷2
=17.35。

8.求下面所有数的和。

1 3 5 7 9 (101)
3 5 7 9 11 (103)
5 7 9 11 13 (105)
: : : : : :
101 103 105 107 109 (201)
[答案] 和为262701。

提示:每行各有51个数,如第一行:(101-1)÷2+1=51;再看每行的第一个数,可知一共有51行。

现在把第一行与最后一行做这样的变换:从最后一行的最后一个数201中拿出100给第一行的第一个数1,使得这两个数都变成了101;同样,从最后一行的倒数第二个数199中拿出98给第一行的第二个数3，使得这两个数也都变成了101....以此类推第一行和最后一行中所有的数都变成101。

按同样的办法第二行与倒数第二行，第三行与倒数第三行.....中的数都可以互相变换,最后所有的数都变成了101。

所以总和为101x51x51=262701。

9.等差数列72,68,64,60，...中,从第N项开始小于0,则N的值是多少?
[答案] N的值为20。

提示:分析题中数据,发现每个数都是4的倍数,所以这组数中肯定有0,算一下0是第几个,(72-0)÷4+1=19,第19个数是0,所以从第20个数开始小于0。

10.盒子里装着写有1,2,3,...,134,135,136的红色卡片各一张,现在从盒里任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内,经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色卡片上的数分别是19和97,求那张黄色卡片上所写的数。

[答案]黄色卡片上的数是3。

提示:可以一下子取134个数(除19、97外其他都取)来求和,1+2+3+……+135+136=9316,9316-19-97=9200,9200÷17=541……3,所以是3。