河北省张家口市第一中学2020-2021学年高一4月月考数学试题(衔接班)

河北省张家口市第一中学【最新】高一4月月考数学试题（衔
接班）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合2{|320}A x x x =-+<，{|13}B x x =<<，则( )
A ．A
B =
B ．A B ⊇
C ．A B ⊆
D ．A B ⋂= 2．sin 240︒=（）
A ．12
B ．12-
C
D ． 3．已知三棱锥S ABC -，ABC 是直角三角形，其斜边8AB =，SC ⊥平面ABC ,6SC =,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A ．100π
B ．68π
C ．72π
D ．64π 4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积( )
A ．
B ．1
C
D ．(21 5．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )
A ．相交
B ．平行
C ．异面而且垂直
D ．异面但不垂直
6．已如向量()1,1,0a =，()1,0,1b =-，且ka b +与a 互相垂直，则k =（ ）． A ．13 B ．12 C ．1
3- D ．12
- 7．已知0a >，0b >，并且
1a ，12，1b 成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9 C ．5 D ．4
8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是
A ．(,2)-∞-
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(4,)+∞ 9．等比数列{}n a 中，118a =
，2q ，则4a 与8a 的等比中项是( ) A ．4± B ．4 C ．14± D ．14
10．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C ->，则ABC ∆是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形 11．下列点不是函数()tan 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象的一个对称中心的是（ ） A ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ． ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．已知向量a 与向量b 夹角为
6π，且3a =，()2a a b ⊥-，则(b = )
A B ．C ．1 D ．2
二、填空题 13．若关于x 的不等式20ax x b ++>的解集是()1,2-，则a b +=______．
14．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．
15．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，
1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是_______.
16．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是______(写出所有正确命题的序号)
①若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂；
②若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβ；
③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；
④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥
三、解答题
17．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.
(1)求证：P A ⊥BD ；
(2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ；
(3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积．
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．
()1求{}n a 的通项公式；
()2求14731n a a a a ++++⋯+．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83
，求该四棱锥的侧面积．
20．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos cos 2cos 2
C a B b A C a a +=- ()1判断ABC 的形状；
()2
若23B π=，点D 为AB 边的中点，CD =，求ABC 的面积．
21．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AD 2AB =，E ，F 是线段BC ，AB 的中点．
(Ⅰ)证明：ED PE ⊥；
(Ⅱ)在线段PA 上确定点G ，使得FG //平面PED ，请说明理由．
22．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5,4
AE CF EF ==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，
OD '=（1）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（2）求二面角B D A C '--的正弦值.
参考答案
1．C
【解析】
因为集合{}
()2|3201,2A x x x =-+<=,{}|13B x x =<<∴A B ⊆.故选C. 2．D
【分析】
利用诱导公式可直接求得结果.
【详解】
()3sin 240sin 18060sin 60=+=-=-
本题正确选项：D
【点睛】 本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题.
3．A
【解析】
如图所示，直角三角形ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点D ，过D 作面ABC 的垂线，球心O 在该垂线上，过O 作球的弦SC 的垂线，垂足为E ，则E 为SC 的中点，球半径
R OS ===114,3,522
CD AB SE SC R ====∴=，棱锥的外接球的表面积为24100R ππ=，故选A.
【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用
22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）
；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球
心和半径.
4．A
【分析】
由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
【详解】
解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB =，
所以原图形的面积为：1×=． 故选A ．
【点睛】
本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力．
5．D
【解析】
解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
6．B
【分析】
计算()1,,1ka b k k +=-，根据向量垂直得到答案.
【详解】
()1,1,0a =，()1,0,1b =-，则()1,,1ka b k k +=-，
ka b +与a 互相垂直，则()10a k k b k a +=⋅-+=，12
k =
. 故选：B.
【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.
7．A
【分析】
根据题意，由等差中项的定义分析可得
11a b +=1，进而分析可得a +9b ＝（a +9b ）（11a b +）＝109b a a b
++，由基本不等式的性质分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，a ＞0，b ＞0，且
1a ，12，1b 成等差数列， 则11a b +=212
⨯=1；
则a +9b ＝（a +9b ）（
11a b +）＝109b a a b ++≥=16； 当且仅当9b a a b =，即a 4,b ==43
时取到等号， ∴a +9b 的最小值为16；
故选A ．
【点睛】 本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到11a b
+=1． 8．D
【解析】
由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t =228x x --，则y =ln t ，
∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；
x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；
y =ln t 为增函数，
故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D. 点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()
y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()
y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()
y f g x =也单减；
当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()
y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.
9．A
【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a =，即可得出． 【详解】
解：设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得26
48a a a =，6x a ∴=±． 4a ∴与8a 的等比中项561248
x a =±=±⨯=±． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
10．C
【解析】
试题分析：由ABC ∆中，若222sin sin sin A B C ->，根据正弦定理得
222222
a b c a c b ->⇒>+，所以222
cos 02b c a A bc +-=<，所以角A 为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选C.
考点：三角形的形状的判定.
11．B
【解析】
【分析】
根据正切函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
解：对于函数f （x ）＝tan （2x 3
π+）的图象，
令2x 32k π
π+
=
，求得x 32
4612
k k ππ-=
-=π，k ∈Z ， 可得该函数的图象的对称中心为（32
12
k -π，0），k ∈Z ． 结合所给的选项，A 、C 、D 都满足， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题． 12．C 【解析】 【分析】
()2a a b ⊥-，可得()
222a a b a a b ⋅-=-⋅=0，代入解出即可．
【详解】
解：∵()
2a a b ⊥-，
∴()
2
22a a b a a b ⋅-=-⋅=3﹣6
b cos π
⨯=0，
解得b =1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．1 【分析】
根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可． 【详解】
关于x 的不等式ax 2+x+b ＞0的解集是（-1，2）， ∴-1，2是方程ax 2+x+b=0的两个根， ∴-1+2=-
1
a ，-1×
2=b a
， 解得a=-1，b=2； ∴a+b=-1+2=1． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值． 14．36π 【解析】
三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径， 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，
可得11
2932
r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.
球O 的表面积为：2436r ππ= .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
15．
7
8
【解析】
因为2222
11436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 22
11114123234
FD BC
BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），
因此2
2513,82
FD BC =
=，2222
114167
.22448
ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
16．①④ 【分析】
利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论． 【详解】
解：①若m ∥α，且m ∥n ，分两种情况：n 在α内或不在，则m ∥α或m ⊂α故正确； ②若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，m ，n 相交，则α∥β，故不正确；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；
④由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，因为m ⊥α，所以m ⊥γ，故正确． 故答案为①④． 【点睛】
本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1
3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由13
BCD
V S DE =
⨯⨯即可求解.
试题解析:（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.
（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA 平面BDE ，平面PAC ⋂平面BDE DE =， 所以PA DE .
因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=
，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直. 18．（1）2n a n =-（2）()()1232
n n +-
【分析】
（1）根据等差数列的前n 项和公式解方程组即可求{a n }的通项公式；
（2）易得14731n a a a a ++++⋯+表示首项为1且公差为﹣3的等差数列的前n +1项和，由求和公式可得． 【详解】
解：()1由等差数列的性质可得1133054552a d d
a +=⎧⎪
⎨⨯+=-⎪⎩
， 解得11a =，1d =-，
则{}n a 的通项公式()112n a n n =--=-； （2）
{}n a 为等差数列，{}32n a -以1为首项，以3-为公差的等差数列，
()()()()()14731
111312312
2
n n n n n a a a a n +++-⨯-+-∴+++⋯+=++=
. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力． 19．（1）证明见解析；（2
）6+【详解】
试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设
PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且
,2
AD PO a ==
，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四
棱锥的侧面积.
试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB
平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．
（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．
由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．
设AB x =，则由已知可得AD =
，2
PE x =
． 故四棱锥P ABCD -的体积311
33
P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得
318
33
x =，故2x =．
从而2PA PD ==，AD BC ==，PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
111
222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21
sin6062
BC +︒=+． 20．（1）直角三角形或等腰三角形；（2）3． 【解析】
试题分析：（1）要判断三角形的形状，可先得出三角形的边的关系或角的关系，已知条件中有边有角，观察已知等式，利用正弦定理化边为角，再由三角函数恒等变形公式变形得
sin cos sin cos C C A C =，因此有2
C π
=
或A C =，这里不能约分；（2）由23
B π
=
，知
6
A C π
==
，要求三角形面积，就要求边长，为此设设2c m =，则b =，利用余弦
定理表示出CD 后可求得m ，从而得三边长，最终求得面积． 试题解析：（1）由()2
cos cos cosC 2cos
2
C
a B
b A a a +=-得： ()2cos sin cos cosC sin 2cos 12C sinA B B A A ⎛⎫+=-
⎪⎝
⎭ 即：()cos sin cos cosC sin cos sinA B B A A C += 即：sin cos sin cos C C A C = 故2
C A C π
=
=或，ABC ∆为直角三角形或等腰三角形
（2）若23B π=
，则6
A C π
==，设2c m =，则b = 在ACD ∆中，22222cos 7CD AC AD AC AD A m =+-⋅⋅=
1m =
1
sin 2
ABC S AC AB A ∆=
⋅= 考点：三角形判状的判断，正弦定理，余弦定理，三角形面积． 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由P A ⊥平面ABCD 先证明DE ⊥P A ．连接AE ，由勾股定理证明DE ⊥AE ，通过证明DE ⊥平面P AE ，即可得证PE ⊥ED ．
（2）过点F 作FH ∥ED 交AD 于点H ，再过点H 作HG ∥DP 交P A 于点G ，通过证明平面平面//GFH 平面PED ，然后证明//FG 平面PED ，． 【详解】
解：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD ，得.DE PA ⊥连接AE ，
因为2AD AB =，
所以由勾股定理可得DE AE ⊥． 所以DE ⊥平面P AE ， 因此.PE ED ⊥
(2)过点F 作//FH ED 交AD 于点H ，则//FH 平面PED ，且有1
4
AH AD =
． 再过点H 作//HG DP 交P A 于点G ，则//HG 平面PED ，且1
4
AG AP =． 由面面平行的判定定理可得平面//GFH 平面PED ， 进而由面面平行的性质得到//FG 平面PED ， 从而确定G 点位置1
.4
AG AP =， 【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
22．（1）证明见解析；（2【详解】
试题分析：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平几条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直（2）一般可利用空间向量的数量积求二面角的大小， 首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值. 试题解析：(1)由已知得AC BD ⊥，AD CD =,又由AE CF =得AE CF
AD CD
=，故AC ∥EF ，因此
EF HD ⊥，从而EF ⊥D H '.由5
6AB AC ==，得4DO BO ===.
由AC ∥EF 得
1
4
OH AE DO AD ==.所以1OH =,3D H DH '==. 于是222223110D H OH D O +=+='=',故D H OH '⊥.又D H EF '⊥,而
OH EF H =,
所以D H '⊥平面ABCD .
如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则
()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,6,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，()3,4,0AB =-，()6,0,0AC =，
()3,1,3AD '=.
设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量， 则0
{
m AB m AD '⋅=⋅=，即11111340
{
330
x y x y z -=++=，可取()4,3,5m =-.
设()222,,n x y z =是平面ACD '的法向量，
则0{0
n AC n AD '⋅=⋅=，即222260
{330x x y z =++=，可取()0,3,1n =-
于是cos ,25m n m n m n ⋅=
==-， 设二面角的大小为θ
，sin 25θ=
.因此二面角B D A C '--
的正弦值是25
. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”
，构建恰当的空间
直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。