人教A版精编数学必修1练习：第一章 1.3 1.3.2 奇偶性 Word版含解析

[课时作业]
[A组基础巩固]
1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝1
x2，故①错误，
③正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y＝1
x，故②错误．若
y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝1－x2＋x2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．故选A.
答案：A
2．若奇函数f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上有( ) A．最小值5 B．最小值－5
C．最大值－5 D．最大值5
解析：当3≤x≤7时，f(x)≥5，
设－7≤x≤－3，则3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函数．
∴f(x)＝－f(－x)≤－5.
答案：C
3．y＝x＋1
x的大致图象是( )
解析：设f(x)＝x＋1
x，则f(－x)＝(－x)＋
1
－x
＝－(x＋
1
x)＝－f(x)
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
又x>0时，x>0，1
x>0，∴f(x)＝x＋
1
x>0.
答案：B
4．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是( )
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
解析：函数定义域为x∈R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)
∴f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．
答案：B
5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，
则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b ＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：D
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则x<0时，f(x)的解析式为________．
解析：设x＜0，则－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－(x2＋4x)＝－x2－4x.
答案：f(x)＝－x2－4x
7．已知f(x)是奇函数，F(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，则F(－2)＝________.
解析：∵f(x)是奇函数且f(2)＝4，∴f(－2)＝－f(2)＝－4.
∴F(－2)＝f(－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0.
答案：0
8．已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是________．
解析：本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f (2)＜f (3)＜f (π)， 所以f (－2)＜f (3)＜f (－π)． 答案：f (－2)＜f (3)＜f (－π)
9．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．
解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72， 又∵g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－7
2，
∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－72＋1＝－6.
10．函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的奇偶性并证明． 解析： (1)令x 1＝x 2＝1，
有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，
有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )为偶函数．
[B 组 能力提升]
1．函数f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2
是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶
解析：∵⎩⎨⎧
4－x 2
≥0，
|x ＋2|－2≠0，
∴f (x )的定义域为x ∈[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2
＝4－x 2
x .
又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2
x ＝－f (x )，
∴f (x )＝4－x 2
|x ＋2|－2为奇函数．
答案：A
2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13的
x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析：∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴－13＜2x －1＜13， 解得13＜x ＜23. 答案：A
3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.
解析：f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)， 又∵f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2. ∴f (7)＝f (－1)＝－2. 答案：－2
4．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x ) 在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0， 得－2<x －1<2， 即－1<x <3. 答案：(－1,3)
5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R. (1)试判断f (x )的奇偶性；
(2)若－12≤a ≤1
2，求f (x )的最小值． 解析：(1)当a ＝0时，
函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数． 当a ≠0时，
f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )， 此时， f (x )为非奇非偶函数．
(2)当x ≤a 时， f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝(x －12)2＋a ＋3
4； ∵a ≤1
2，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 当x ≥a 时，
函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋122－a ＋34，
∵a ≥－1
2，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增， 从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 综上得，当－12≤a ≤1
2时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.
6．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m
恒成立，求m －n 的最小值．
解析：∵x ＜0时，f (x )＝x 2
＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋322－1
4，
∴当x ∈[－3，－1]时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝－14，
f (x )max ＝f (－3)＝2. 由于函数为奇函数，
∴函数在x ∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，1
4， ∴m 的最小值为1
4，n 的最大值为－2. ∴(m －n )min ＝14－(－2)＝9
4. 即m －n 的最小值为9
4.。