2021版高考数学一轮温习第十二章不等式选讲课时达标69绝对值不等式202105072200

第69讲 绝对值不等式
[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．
1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )．
(1)解不等式f (x )≤5；
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．
解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．
(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立．
而|x －2|＋|x －a |≥|(2－x )＋(x －a )|＝|a －2|，
∴(|x －2|＋|x －a |)min ＝|a －2|，
∴|a －2|≥a ，
∴a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －22≥a 2，a >0，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．
2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |.
(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，
2x ，x >1，其图象如下．
按照图象易患f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，
对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4，
解得a ≥5或a ≤－3，
故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R .
(1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；
(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝3时，f (x )>0，
即|x －2|－|2x －3|>0，
等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧ 32<x <2，－3x ＋5>0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥2，－x ＋1>0， 解得1<x ≤32或32<x <53
或无解． ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
1<x <53. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |，
∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ，
即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，
即a <3x －2或a >x ＋2恒成立，∵x <2，∴a ≥4.
故a 的取值范围是[4，＋∞)．
4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．
(1)求m 的取值范围；
(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12. 解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|，
则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，
2x ＋6，x >1，
当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8，
当x >1时，f (x )>8.
综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]．
(2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，
等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧
x <3，3－x －2x ≤4，
等价于x ≥3或－13≤x <3. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≥－13. 5．(2021·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.
(1)求不等式f (x )≥1的解集；
(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，
3，x >2.
当x <－1时，f (x )≥1无解； 当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；
当x >2时，由f (x )≥1解得x >2.
所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．
(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .
而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54， 故m 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，54. 6．设函数f (x )＝|x －a |.
(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋1
2n
＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4. 解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.
因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫72，＋∞. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，
而f (x )≤1的解集是[0,2]，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝2，
解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)． 所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m 2n ≥4.。