第五单元 备课

第五单元教材分析
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（六年级下）第62～70页教学内容。

1、第62～63页的教学内容。

成正比例的量及其图像。

2、第64～65页的教学内容。

成反比例的量及其图像。

3、第69～70页的整理与练习。

教学目标：
1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。

2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。

4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。

教学重点、难点和关键：
重点：结合实际情境认识成正比例和反比例的量的特点，加深对正、反比例量的理解。

难点：能跟据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。

关键：重视不同数学知识的综合应用，让学生感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。

教材分析：
本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。

正反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，而且还是今后进一步学习中学数学、物理、化学等知识的重要基础，因而学好这部分知识是非常重要的。

通过学习这部分知识，还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。

课时安排：
1、成正比例的量及其图像…………………………………2课时
2、成反比例的量及其图像…………………………………1课时
3、整理与练习………………………………………………1课时
第一课时认识成正比例的量
教学内容：教科书第62～63页例1，试一试、练一练，完成练习十三第1～3题。

教学目标：
1、使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。

2、让学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。

3、让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

教学重点：结合实际情境认识成正比例量的特点，加深对正比例量的理解。

教学难点：能跟据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。

教学过程：
一、导入
谈话：通过将近六年的数学学习，我们已经了解了一些数量之间的关系，例如行程问题中速度、时间、路程之间的关系，你知道这三个量之间的关系吗？再如购物问题中单价、数量、总价之间的关系，你知道这三个量之间的关系吗？这个单元我们要用一种新的观点，更深入地研究数量之间的关系，什么观点呢？事物变化的观点，让一些量变起来，从变化中发现规律。

二、教学例1
1、出示例1的表格。

提问：表中列出了哪两种量？（板书：时间和路程）观察表中的数据，哪一种量的变化引起了另一种量的变化？你是怎么看出来的？
指名回答。

谈话：时间变化，路程也随着变化，我们就说，路程和时间是两种相关联的量。

（板书：路程和时间是两种相关联的量。

）“关联”是什么意思？为什么说路程和时间是两种相关联的量？
2、我们已经知道路程和时间是两种相关联的量。

还要进一步研究，这两种量的变化有什么规律？学生自由发言。

（有的学生可能发现一种量扩大到原来的几倍，另一种量也随着扩大到原来的几倍；有的学生可能会发现一种量缩小到原来的几分之几，另一种量也随着缩小到原来的几分之几。

）
3、仔细观察表中的数据，这两种量在变化中有没有什么不变的规律呢？现在小组内讨论，再在班内交流。

（有的学生可能会发现两种量中所对应的两个数的比值不变）
根据交流情况，教师进一步引导：请写出几组对应的路程和时间的比，并求出比值，根据学生回答相机板书：
80 ：1＝80 160 ：2＝80 240 ：3＝80 ……
提问：观察这些比值，你发现了什么？这个比值80表示什么？（速度）你能用一个式子来表示上面的规律吗？根据学生回答，板书：＝速度（一定）
4、讲述：通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值一定（也就是速度一定）。

具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例；行驶的路程和时间成正比例的量。

（板书：路程和时间成正比例，路程和时间是成正比例的量）
结论中的这两句话的意思是精密相联的。

“成正比例”和“是成正比例的量”都是对两种量关系的表述形式。

就如同某两个人是同学关系，或互称同学一样。

5、谈话：这就是这节课我们所学习的正比例。

（板书课题）请阅读课本第62页的一段文字，各自默读，边读边画。

再指名读。

提问：你能读懂吗？
在这题中，哪个量和哪个量是成正比例的量？同桌互相说一说为什么时间和路程是成正比例的量，并在全班交流。

三、教学“试一试”
1、出示“试一试”，学生自由读题。

2、要求学生根据已知条件把表格填写完整。

3、学生根据表中数据，先尝试独立完成表格。

下面的四个问题，然后和同桌交流。

4、全班交流。

板书：总价和数量是相关联的量，总价÷数量＝单价（一定），总价和数量成正比例。

5、让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。

四、用含有字母的式子表示正比例关系
1、比较例题和“试一试”的相同点。

提问：观察上面的两个例子，它们有什么相同的地方呢？
① 都有两种相关联的量；
② 两种相关联的量相对应的两个数的比值总是一定的；
③ 两种量都成正比例。

2、谈话：如果用字母x 和y 分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？
根据学生的回答，板书：x
y ＝k （一定） 谈话：这是正比例关系式表达式，对这个式子要这样理解： 表示x 和y 两种相关联的量；x 和y 比的比值一定，我们就说x 和y 成正比例。

五、巩固练习
1、完成第63页“练一练”。

学生独立思考并作出判断，要用完整的语言说出判断的理由。

2、完成补充习题。

一辆自行车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。

先独立思考，再和同桌说一说。

全班交流，并讨论：成正比例的量必须符合哪些条件？
3、完成练习十三第1题。

（1）学生按题目要求尝试独立完成。

（2）全班交流，重点让学生说说为什么碾米机的工作时间和碾米数量成正比例，引导学生完整地说出判断的思考过程。

4、完成练习十三第2题。

（1）让学生独立判断，并说明理由。

（2）谈话：如果去掉“同一时间”这个前提，物体的高度和影长还成正比例吗？
5、完成练习十三第3题。

（1）说一说：将图中的正方形按怎样的比放大，放大后的正方形的边长各是几厘米?
（2）画一画：在书上画出放大后的图形。

（3）算一算：算出每个图形的周长和面积，并填在表中。

（4）讨论表格下面的两个问题。

谈话：两种量若要成正比例必须是相关联的量，但相关联的量不一定成正比例，只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才成正比例。

6、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。

于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。

”你认为小张的说法对吗？为什么？
六、全课总结
通过这节课的学习，你有什么收获？
教学反思：
第二课时认识正比例图像
教学内容：教科书第63～64页例2、练一练，完成练习十三第4～5题。

教学目标：
1、让学生通过经历描点的过程，初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，初步理解图像上的点所表示的实际意义，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

2、让学生初步认识正比例图像的过程中，进一步培养观察能力和解决实际问题的能力，初步感受数形结合的思想。

3、让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

教学重点：使学生了解图像的制作过程，初步了解正比例图像的特点。

教学难点：利用正比例图像根据其中一个量的值估计另一个量的值，初步体会正比例图像的应用价值。

教学过程：
一、复习
什么是正比例，它的两个量有什么特点？
二、教学例2
1、出示例1表中的数据，同时出示标有综轴、横轴及相关信息的方格图。

谈话：我们昨天认识了成正比例的量，其实例1表中的数据，我们还可以在方格图中绘制成一定的图像来表示。

2、描点。

（1）示范描点。

在方格图上，我们用横轴表示汽车行驶的时间,用纵轴表示行驶的路程。

那么汽车1小时行驶80千米可以用方格中的一个点来表示。

先在横轴上找到表示1小时的点，从这点起作纵轴的平行线，再在纵轴上找到表示80千米的点，从这点起作横轴的平行线，两线相交的点就表示“1小时行驶80千米”，（教师示范描出点）我们把它称为点。

（板书：）
想一想，图中的点表示什么？
（2）学生描点。

要求学生照样子描出表示其它各组数据的点，指名板演，其余学生观察正确与否。

（3）明确意义。

（教师在学生描点后命令一点为）提问：谁能说说这儿的点表示什么？你能再说出其他各点分别表示什么吗？
3、画出图像。

谈话：观察一下这些点所描的点的排布规律，图中所描的点在一条直线上吗？
明确：我们发现图中所描的点都在同一条直线上。

谈话：当汽车还没有启动的时候，也就是汽车的行车时间为0的时候，汽车行驶的路程是多少？那么图中哪个点可以表示这种状况？
现在我们就可以用一条直线把所描的点连起来。

（边讲述边作图）这条经过点、的直线就是正比例的图像。

（板书课题）大家看，直线上的每一个点，既能反映出行车的时间，又能反映出行驶的路程，说明它能反映出时间和路程是两个相关联的量，而且每一个点所反映的路程和时间的比又都是一个定值，所以我们说它是正比例图像。

4、利用图像进行判断。

出示问题，根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？行驶440千米需要多少小时？
让学生独立思考后同桌讨论结果。

教师根据学生回答作指导：根据图像判断这辆汽车2.5小时行驶多少千米时，我们可以先在横轴上找到表示2.5小时的点，并从这点起作纵轴的平行线，从而得到与已知直线的交点；再从交点起作横轴的平行线，从而得到与纵轴的交点，最后依据与纵轴的交点进行估计。

5、小结：通过刚才在方格图中描点，我们画出了正比例的图像，它是一条经过点和的直线。

直线上的每个点都表示一定的意义，而且我们可以利用图像解决实际问题。

三、巩固练习
1、完成“练一练”。

（1）让学生独立完成。

（2）指名回答第（1）题。

（3）展示两名学生画的图像，共同评议。

提问：你们画出的表示打字时间和打字个数关系的图像有什么特点？
（4）指名回答第（3）题。

追问：你是怎样判断打750个字用多少分钟的？
（5）估计7分钟、10.5分钟打多少个字？打450个字、625个字各用几分钟？
讲给同桌听。

2、完成练习十三第4题。

学生独立完成。

回答问题（1）后说明：即可以根据图像的特点（成一直线）来说明判断的理由，也可以从图像上选取几个点，根据这些点所表示的路程和时间分别求出比值，再作出判断。

学生回答问题（2）时要求进行估计，答案有些出入是允许的。

3、完成练习十三第5题。

（1）先让学生独立完成，再组织交流，帮助学生进一步明确方法，加深认识。

（2）讨论第（4）题后，引导学生再提出一些类似的问题并进行解答。

四、全课总结
今天我们认识了正比例的图像，（板书课题：认识）你又有了哪些新的认识？你知道今后还可以根据什么来判断两种量是否成正比例的量吗？
五、判断题
1、圆的面积和圆的半径成正比例。

…………（）
2、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。

…………（）
3、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。

…………（）
4、正方形的面积和边长成正比例。

…………（）
5、正方形的周长和边长成正比例。

…………（）
教学反思：
第三课时认识成反比例的量
教学内容：教科书第64～65页例3、试一试、练一练，完成练习十三第6～8题。

教学目标：
1、让学生经历从具体实例中认识成反比例的量的过程，初步理解反比例的意义，学会依据反比例的意义判断两种相关联的量是不是成反比例。

2、让学生在认识成反比例的量的过程中，初步体会数量之间相互互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。

3、让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

教学重点：理解反比例的意义。

教学难点：引导学生研究两种相关联的量的变化规律。

教学过程：
一、复习导入
1、谈话：在前面的学习中，我们一起认识了有关正比例的相关知识，接下来老师要考考大家。

（出示表格）
桌交流）
2、提出问题：上面3张表格中的两个量是不是都成正比例，为什么？指名回答。

3、谈话：表格3中的两个量不成正比例，有谁知道它们是什么关系吗？
二、探究新知
1、体验一——教学例3。

（1）再次组织学生观察表格3中的数据。

出示以下讨论题，先独立思考，再小组交流。

①表中的两种量是不是相关联的量？它们分别是怎样变化的？
②你能找出它们变化的规律吗？
③猜一猜，这两种量成什么关系？
全班交流时抓住以下几个环节。

当单价变化时，数量是否也随着变化？
这种变化与例1中两种量的变化有什么不同？
这种变化有没有规律？是什么规律？
（2）根据上面发现的规律，思考：这个乘积表示什么？上面的规律能不能用一个式子来表示？
根据学生的回答，板书：单价×数量＝总价（一定）
（3）自学书本第65页“试一试”上面的内容。

谈话：和同学们刚才猜的结果一样吗？这两种量成什么关系？（板书：单价和数量成反比例）引出课题。

（4）再次让学生根据板书，同桌间说说表中单价和数量成什么关系。

2、体验二——教学“试一试”。

（1）要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。

（2）根据表中的数据，依次讨论表格下面的三个问题，并作适当板书：因为每天运水泥的数量×时间＝总吨数（一定）所以每天运水泥的数量和时间成反比例。

（3）让学生根据板书完整地说说每天运水泥的数量和时间成什么关系。

3、抽象表达反比例的意义。

（1）观察上面两个例子，你发现它们有什么相同的地方？
学生可能回答：
○1变化规律相同；
○2乘积一定；
○3两个量是成反比例的量等等。

（2）启发学生思考：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，那么上面这种关系式可以怎样写呢？
根据学生回答，板书：y
x ＝k（一定）
提问：你能解释这个式子表示的意思吗？
三、巩固新知
1、完成第65页的“练一练”。

（1）独立思考并作出判断。

（2）交流，说明判断理由。

2、完成练习十三第6题。

（1）学生各自按要求算一算、想一想，再组织相应的交流。

（2）重点让学生完整说出每本的页数和装订本数两种量是否成反比例的思考过程。

3、完成练习十三第7题。

（1）学生独立进行判断，再指名说说判断的理由。

（2）注意引导学生有条理地说明判断的思考过程。

4、完成练习十三第8题。

（1）先让学生看懂题意，从左边方格图中收集数据，并把收集的数据填写在左边的表格中，同样再填写右边的表格。

（2）讨论下面的问题，指名回答。

提问：两个长方形的长和宽都是相关联的量，为什么有的成反比例，有的不成比例？
（3）只有当两种相关联的量乘积一定时它们才成反比例。

四、全课小结
这节课你学会了什么？通过这节课的学习，你还有哪些收获？
通过今天的学习，你能举一个反比例的例子吗？
板书设计：
认识成反比例的量
单价×数量＝总价（一定）
单价和数量成反比例
因为每天运水泥的数量×时间＝总吨数（一定）
所以每天运水泥的数量和时间成反比例。

x ＝k（一定）
y
教学反思：
第四课时整理与练习
教学内容：教科书第69～70页练习十三第9～13题。

教学目标：
1、通过练习，帮助学生沟通知识间的联系，加深对正、反比例意义的理解，提高判断成正比例、反比例的量的能力。

2、让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

教学重点：结合实际情境认识成正比例和反比例的量的特点，加深对正、反比例量的理解。

教学难点：能跟据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。

教学过程：
一、复习提问
两种相关联的量在什么情况下成正比例？在什么情况下成反比例？
二、基础训练
1、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（）与（）成正比例；
当高一定时，（）与（）成比例；
当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。

2、在被除数、除数、商这三种量中，
当（）一定时，（）与（）成正比例；
当（）一定时，（）与（）成反比例；
3、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。

a一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
（）一定，（）与（）成（）比例；
三、完成练习十三第9～13题
1、完成练习十三第9题。

（1）先引导观察每个表中的数据，并依次讨论教材提出的前三个问题。

（2）注意启发学生根据表中数据的变化规律，写出相应的关系式，再根据写出的关系式进行判断。

（3）组织学生讨论教材中提出的第四各问题，并启发学生根据条件直接写出关系式，再根据关系式作出判断。

2、完成练习十三第10题。

（1）教材中的第（1）小题学生自己填表。

（2）教材中的第（2）小题先指导学生根据一组图上距离和实际距离求出这幅图的比例尺。

至于图上距离和实际距离是否成比例，成什么比例，即可根据图像特点直接作出判断，也可以根据相关的计算结果作出判断。

使学生认识
到：同一幅地图的比例尺是一定的，所以这幅地图上的图上距离与相应的实际距离成正比例。

（3）教材中的第（3）小题，要启发学生运用有关比例尺的知识进行解答。

3、完成练习十三第11题。

（1）适当指导学生填写第二个表中的数据。

（2）同时组织学生对两个问题进行比较，进一步突出成反比例的量的特点。

4、完成练习十三第12题。

（1）先引导学生说说每题中的哪两种量是变化的；这两种量中，一种量变化，另一种量是不是也随着变化；能不能用相应的数量关系式表示出这种变化的规律。

（2）再让学生作出判断。

此外，要提醒学生注意有关题中隐蔽的不变量。

5、完成练习十三第13题。

（1）先让学生在小组里进行交流，再通过组织全班讨论，帮助学生进一步打开思路。

（2）学生填表。

四、全课小结
通过这节课的学习，你又有哪些新的收获？
五、补充巩固练习
判断。

（1）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。

……… ( ) （2）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。

………… ( ) （3）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。

………… ( ) （4）正方体的棱长和体积成正比例。

………………………………… ( ) （5）被除数一定，除数和商成反比例。

……………………………… ( ) （6）圆的周长和它的直径成正比例。

………………………………… ( ) 板书设计：
整理与练习
教学反思：。