湖南省醴陵市高二数学下学期开学考试试题 理

湖南省醴陵市2017-2018学年高二数学下学期开学考试试题 理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． “q p ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的是 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若
11
0(,)a b R a b
<<∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a b <
B ．a b ab +>
C ．a b >
D ．2ab b <
3．与椭圆
112
162
2=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是（ ）
A ．13
2
2=-y x B ．13
22
=-y x C ．1834322=-y x D ．18
3432
2=-x y 4 ．函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是 （ ）
A ．)3,0(
B. )4,1( C ．),2(+∞ D ．)2,(-∞
5． 若曲线b ax x y ++=2
在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则（ ） A ．1,1==b a B. 1,1=-=b a
C ．1,1-==b a
D ．1,1-=-=b a
6．若动点P 到定点(2,0)F 的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则动点P 的轨迹方程是
（ ） A ．x y 82
-=
B ．x y 162
-=
C ．x y 82
=
D ．x y 162
=
7．已知命题p ：“ 2>x 是2
4x >的充要条件”， 命题q ：“,20x
x R ∀∈>”. 则下列结论正
确的是 （ ） A ．
q p ∨为假
B ．q p ∧ 为真
C ．()p q ∨⌝为假
D ．q p ,均为真
8.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A ．12
B ．4
C ．
D ．
9．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤112y y x x y ，则y x +2的最大值是（ ）
A ．3
4 B ．3 C ．2- D ．2
10．
已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点,
若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为 （ ）
A ．
2
2 B ．
3
2 C ．
3
3 D ．
2
3 11．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,
0)(')(>⋅+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为（ ）
A ．)1,0()0,1(⋃-
B ．),1()0,1(+∞⋃-
C ．),1()1,(+∞⋃--∞
D ．)1,0()1,(⋃--∞
12.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如
3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（ ）
A ．64
B ．65
C ．71
D ．72
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）
13．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .
14．定积分
⎰-=+22
)cos 1(π
πdx x .
15.已知双曲线的渐近线方程是y =，且过点(1,3)M -， 则双曲线的标准方程是 。

16．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),2
1[+∞, 则m 的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）
已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:
02
00”“=+++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,, 且cos (2)cos 0a C c b A +-=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积为32，且32=a ．求c b +的值．
19.（12分）
如图，在直棱柱
1111//ABCD A B C D AD BC -中，，
190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===
(Ⅰ)证明：1AC B D ⊥；
(Ⅱ)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值. .
20．（12分）已知正项等比数列{}n a 中，,621=+a a .2443=+a a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）数列{}n b 满足n n a b 2log =，求数列{}n n b a +的前n 项和n T ．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：222
21(0)x y a b a b +=>>的离心率为23
，且椭圆C 经过点(0,1).
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，以PQ 为直径的圆恒过原点O ，试问原点
O 到直线l 的距离d 是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．
22. （12分）已知函数).2
1
(ln )(21)(22≤---=
a x x a a x x f (1) 若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2) 讨论函数)(x f 的单调性;
1-5.A D A C A 6-10.C C B B C 11-12 B D
13.00,sin 1∃∈>x R x 14.2+π
15.22
16
2y x -= 16.21-
17.解: .1)(min 2
=≤⇔x a p ……………………………………………………3分
.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分
∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即1≤a 或1 2.≤-≥或a a 1⇒≤a 或 2.≥a
∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞⋃-∞………10分
18.解（Ⅰ）cos cos 2cos a C c A b A +=
sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+= ·
····················2分 即()sin sin 2sin cos A C B B A +== ·····················4分
∴1
cos 2
A = ∵0A π<< ∴ 3
A π
=
····················6分
（Ⅱ）11sin 22S bc A bc ===∴8=bc ·······························8分
()bc bc c b A bc c b a --+=-+=2cos 22
222()bc c b 32
-+=
∴()362412322
=+=+=+bc a c b
∴6=+c b ··························12分
19.解：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，
B 1(t,0,3)，
C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，
D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．
从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．
因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2
＋3＋0＝0.解
得t =
或t =(舍
去)．.................. ...................................... ....................... ............ ....................3分 于是1B D ＝
(3，－3)，AC ＝
1,0)．
因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．.........6分 (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝
1,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则
10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n
即0,330.y y z +=+=⎪
⎩ 令x ＝1，则n ＝(1
，
．.........9分 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝
1111
B C B C ⋅⋅n
n
＝
7=. 即直线B
1C 1与平面ACD 1...........12分 （Ⅱ）数列{}n b 满足n n a b 2log =，求数列{}n n b a +的前n 项和n T ． 20.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0,>q q .
则⎩⎨⎧=⋅+⋅=⋅+246
3
121
11q a q a q a a ································2分
解得：⎩
⎨⎧==22
1q a ··································5分
∴n n n n q a a 222111=⋅=⋅=-- ·································6分
21.
22.解: (1) 由,0)2(',1)
1()('=---
=f x
a a x x f 得1-=a 或2=a (舍去) 经检验, 1-=a 时, 函数)(x f 在2=x 处取得极值…………………………..3分
1-=a 时, .2)1(',2
1
)1(,12)(',ln 221)(2-=-=--=--=
f f x x x f x x x x f 所以所求切线方程为.0324),1(22
1
=-+--=+y x x y 即………………….6分
(2) )(x f 的定义域为).,0(+∞
,)
1)(()(1)('222x
a x a x x a a x x x a a x x f -+-=---=---=
令,0)('=x f 得.1a x a x -==或 当2
1
≤a 时, .01,1>--≤a a a 且..…8分 ① 当21=
a 时, .0)(',02
1
1>>=-=x f a a )(x f ∴在定义域),0(+∞上单调递增; …………………………………….9分
② 当0≤a 时, )(x f 在)1,0(a -上单调递减, 在),1(+∞-a 上单调递
增; ………………………………….……………………………………..11分 ③ 当2
1
0<
<a 时, )(x f 在),0(a 和),1(+∞-a 上单调递增, 在)1,(a a -上单调递减. ………………………………….………………………....12分 ④。