人教A版数学必修四高二第六次模拟考试理科数学试卷.doc

江西省宜丰中学2011届高二第六次模拟考试
数学(理)试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.α、β、γ是三个平面,a 、b 是两条直线,有下列三个条件:
①a ∥γ,b ⊂β ②a ∥γ,b ∥β ③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a, b ⊂γ,且 ________ , 则 a ∥b ”为真命题, 则可以在横线处填入的条件是 ( ) (A)①或② (B)②或③ (C)①或③ (D)②
2.在0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成的七位数中,不出现“246”或“15”形式(如1523406,1024635)的个数有 ( ) (A) 3606 (B)3624 (C)3642 (D)4362
3.设正方形ABCD, 点P 在线段CD 的延长线上, 且P 点到A 点的距离为1, 那么四边形ABCP 的面积的最大可能值是 ( ) (A)
425+ (B)2 (C)2
1
5+ (D)15+ 4.设O 点 在△ABC 内部 , 且有032=++OC OB OA ,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为 ( )
(A)2 (B)23 (C)3 (D)3
5
5.定义在R 上的函数f(x)、g(x)都有反函数，又f(x-1)与g 1-(x-3)的图象关于直线y=x 对称，若g(5)=2009,则f(4)= ( ) (A)2009 (B)2010 (C)2011 (D)2012
6.数列{a n } 满足 a n +a 1+n =
2
1
,a 2=1,S n 为前n 项和，则S 21的值为 ( ) (A)4 (B)4.5 (C)5 (D)5.5 7.若(㏒23)x +(㏒53)y -≥(㏒23)y -+ (㏒53)x ,则 （ ） （A ）x+y ≤0 (B)x+y ≥0 (C)x-y ≥0 (D)x-y ≤0 8.已知集合M ={x ︱x 2
-4>0},N ={x ∈Z ︱x 2
- 6x + 13a - 4<0},M ∩N 的子集的个数4，则实数a 的取值范围是 （ ）
（A ）[
139，1312） （B ）[139，1312] （C ）（139，1312） （D ）（139，13
12
] 9.已知f(x)是偶函数，且在(-∞,0)上递减，若x ∈[0.5,1]时，f(ax+1)≤f(x+2)恒成立，则
实数a 的取值范围是 （ ） (A) [-4,2] (B) (-∞,2] (C) [-4,+∞) (D) [-4,-2]
10.已知函数f(x) = ㏒2
1(x 2
-ax-a)的值域为R,且f(x)在(-3,1-3)上是增函数，则a 的取
值范围是 （ ） （A ）0≤a ≤2 （B ）-
2
9
≤a ≤-4 （C ）-4<a<0 （D ）a<0 二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 如果函数 f (x)满足: 对任意的实数 x,y 都有f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=2 , 则
=+++++)
10()
20(......)4()8()3()6()2()4()1()2(f f f f f f f f f f ____________ 12. 一个酒杯的轴截面是抛物线x 2
=2y(0≤y<15)的一部分,若在杯內放入一个半径为3的玻璃球, 则球的最高点与杯底的距离是______________
13. 在算式“1×□+4×□=30”的两个□中,分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，
则这两个数的和为_________. 14.定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(-43,0)对称,且满足f(x)=- f(x+2
3
), f(-1)=1, f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)的值为_______。

15已知两点M （1，45），N （-4，-4
5
），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0②x+y=3③1222=+y x
④12
22
=-y x ，在曲线上存在P 满足NP MP =的所有曲线方程是_______________. 三．解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC = 6 , AB 与BC 的夹角为θ。

(1) 求θ的范围。

(2)求函数f(θ)=
θ
π
θsin )
42cos(21--的最大值.
17.小王有一天收到6位好友分别发来的1，2，2，3，3，4条短信， 当天他从这6位好友中任取3位的短信阅读，并且只阅读已选取的好友的全部短信。

（1）求小王当天阅读的短信条数ξ的所有可能取值；（2）求ξ的数学期望。

18．已知正方体A 1B 1C 1D —ABCD 的棱长为2，P 、Q 分别是BC 、CD 上的动点，且∣PQ ∣=2. （1）确定P 、Q 的位置，使B 1Q ⊥D 1P ；
（2）当B 1Q ⊥D 1P 时,求二面角C 1—PQ —A 的大小。

19.已知函数 f(x)=
31x 3+2
1
(b-1)x 2+cx. (1)当b=-3,c=3时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(-∞,x),(x 2,+∞)上递增,在(x ,x 2)上递减, x 2-x ＞1,求证:b 2＞2(b+2c); (3)在(2)的条件下，若t ＜x ,试比较t 2+ bt +c 与x 的大小。

20.已知正项数列{a n }满足a=1,且a 1+n =
1
2+n n
n
a a (n ∈N *) (1)求数列的通项a n ；(2)求lim ∞→n ∑=+-n
k k k k 1
212a k ；(3)求证:2≤n
n
n n n )1)(12(+-a n ＜3.
21．已知||EF = 2c,||EF = 2a(a>c),2EH =EG ,2EO =EF ,HP ·EG =0(G 为动点) (a>c)。

(1)建立适当的平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程；
(2)若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B,且线段AB 的中垂线与EF(或EF 的延长线)
有唯
一的交点C,证明:︱OC ︱＜a
c 2
数学答案
CCACD BBAAA
11．2046 12. 8 13. 15 14. 2 15．②③④ 16解：（1）
∵
)sin(2
1
6
cos θπθ-⋅⋅=
=⋅⋅=⋅BC AB S BC AB BC AB ∴S=33tan 3
3
33tan ≤≤∴
≤≤θθS 又 ∴]4
,6[
π
πθ∈。

（2）]4,6[)4sin(22)(πππ
θθ在-
=f 上递增，∴0)4
()(max ==π
θf f 17．解：（1）.10,9,8,7,6,5=ξ
（2）
∴2
15
=ξE
18．（1）P ，Q 分别为所在棱的中点。

证明：（略） （2） 二面角的 大小为22arctan -π
19．（1）0)3(,3
4
)1(===
=f y f y 极小极大 （2）为212
,)1()(x x c x b x x f ∴+-+='0)1(2
=+-+c x b x 的两根， ∴21x x -=)2(2,14)1(2212c b b c b x x +>∴>--=
-
（3）.x x x x x c bx x x x x x c x b x +--=++∴--=+-+))(())(()1(21212
∴t x t x t c bt t +--=++))((212
,12112
))((x t x t x t x c bt t -+--=-++, =)1)((21+--x t x t ,∵t x x x x +>+>∴>-11,11212,∴012<+-x t ∴)1)((21+--x t x t >0.∴12
x c bt t >++ 20.解：（1）
n n n a a 2111
=-
+，叠加得：1
21
-=n n a （2）第n 项=11111
1111211222
=∴+-=∴+-=+=-⋅+-极限和n n n n n n n n n . (3)中间的式子=2)1()1(11)11(221≥++⋅+⋅+=+
n
n n n n n n C n C n C n 。

又n
n n n n n C n C n C )1()1(11221++⋅+⋅+
=1+1+n n n n n n n n n n n n n !1)2)(1(!3)2)(1(!2)1(32 --+
+--+- 1221
212111!1!31!2111-+++++<+++++≤n n
31
21
3<--=n
21．解：（1）)(2EF a FG PF PG PF PE >==+=+ ，∴点P 的轨迹为椭圆
∴轨迹方程为12
2
2
22=-+c a y a x （2）设A B A y x B y x ,).,(),,(2211的中点M )0,(),,(00t C y x 。

ξ
5 6 7 8 9 10
P
201
51 41 41 51 20
1
当CM k 不存在时，显然成立。

当CM k 存在时，CM k =
t
x y -00。

由“点差法”得： 002
22y x a
c a k AB
⋅--= ∵1-=⋅CM AB k k 。

a c OC a c t a c
t a a x c t a x 2
2220220<
<∴<-∴<-=即。