上海市莘庄中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析

上海市莘庄中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为的导数，若对于任意的都成立，则
A． B．
C． D．和的大小关系不确定
参考答案：
B
略
2. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（）
A.或
B.
C.
D.以上均不对
参考答案：
A
3. 已知直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，则实数a的值为（）
A．0 B．﹣4或2 C．0或6 D．﹣4
参考答案：
C
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，它们的斜率之积等于﹣1，解方程求得a的值．【解答】解：直线ax+2y﹣1=0与直线（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，
a≠0时，它们的斜率之积等于﹣1，可得﹣×=﹣1，
a=0时，直线y=和x=垂直，适合题意，
故选：C．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，属于基础题．
4. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A．2 B．C．D．4
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得， +=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
5. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B=4c sin C，cos A=－，则=
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
参考答案：
A
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
6. 若|，且，则与的夹角是( )
A. B. C.
D.
参考答案：7. 设向量若是实数，则的最小值为（）
参考答案：
B
8. 已知函数,且,则,,的大小关系是( )
A. >>
B. <<
C. >>
D. >>
参考答案：
B
9. 向边长分别为5，6，的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率
为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 如图，天花板上挂着三串小玻璃球，第一串挂着2个小球，第二串挂着3个小球，现在射击小球，射击规则是：每一串中下面的小球被击中后方可以射击这串上面的小球，若小球A恰好在第五次射击时被击中，小球B恰好在第六次射击时被击中（假设每次都击中小球），则这9个小球全部被击中的情形有（）
A. 36种
B. 72种
C. 108种
D. 144种
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将5个相同的小球放到4个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，共有_____种放法
参考答案：
4 略
12. 下列四个结论，其中正确的有 ．
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；
②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；
③一个样本的方差是s 2= [（x 1﹣3）2+（x 2﹣3）2+…+（x 20﹣3）2]，则这组样本数据的总和等于
60；
④数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为 δ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为4δ2
．
参考答案：
①②③④
考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图． 专题：概率与统计．
分析：根据频率分布直方图中平均数、中位数以及样本的平均数与方差的关系，对每一个命题进行分析判断即可．
解答：解：对于①，频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等， 都等于，∴①正确；
对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a ，这一组数的平均数变为﹣a ， 方差s 2不改变，∴②正确；
对于③，一个样本的方差是s 2= [（x 1﹣3）2+（x 2﹣3）2+…+（x 20﹣3）2]，
∴这组样本数据的平均数是3，数据总和为3×20=60，∴③正确；
对于④，数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为δ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为（2δ）2=4δ2，∴④正确； 综上，正确的命题序号是①②③④． 故答案为：①②③④．（填对一个给一分）．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题目．
13. 若平面向量则
=。

参考答案：
（-1，1）或（-3，1）
14. 若函数
在上有意义，则实数的取值范围
是 ▲ ． 参考答案：
略
15. 已知椭圆C ：
的左、右焦点分别为
、，点P 是椭圆C 上的一点， 且
，则
．
参考答案：
12 16.
若函数
是幂函数，则
_________。

参考答案：
1
17. 若双曲线
右支上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离是 .
参考答案：
16
因点P在右支上，点P到左焦点的距离－8＝8，所以点P到左焦点的距离＝16.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量与每吨产品的价格P（元）之间的关系为
，且生产吨的成本为。

问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入—成本）
参考答案：
略
19. （本小题满分12分）椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点
的准线了l与x轴相交于A，|OF1|=2|F1A|.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆C的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l，交椭圆于P、Q两点，若点M在轴上，且使MF2为的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点；(3)根据(2)中的结论，猜测椭圆的“左特征点”的位置．
参考答案：
解：（1）由条件知，可设椭圆方程为
又
椭圆方程为…………4分
(2)设左特征点为，左焦点为，
可设直线的方程为
由与，消去得
又设，则
①
②…………6分
因为为的角平分线，所以，即
③
将与代入③化简，
得④
再将①②代入④得
即左特征点为
…………10分（3）因为椭圆的左准线与轴的交点为，
故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点．…………12分
20. （本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(Ⅱ)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
参考答案：
如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，
解得，
21. （本小题满分12分）设
（Ⅰ）比较与的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．
参考答案：
（Ⅰ），∴ . (5分)
（Ⅱ）由（1）得
类似的，，（7分）
又；
（9分）
∴
（12分）
略
22. （本小题满分14分）如图，长方体中，，，为
的中点。

（1）求证：直线∥平面；
（2）求证：平面平面；（3）求证：直线平面。

参考答案：
解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是，BD的中点，故PO//，
所以直线∥平面--（4分）
（2）长方体中，，
底面ABCD是正方形，则AC BD
又面ABCD，则AC，
所以AC面，则平面平面
（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。

PC，
同理PA，所以直线平面。

略。