广东省普宁英才华侨中学高二数学下学期第一次月考试题

普宁市英才华侨中学2015—2016学年下学期第一次调研考试
高二数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公
斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是
A.平均数增大，中位数一定变大
B.平均数可能不变，中位数可能不变
C.平均数增大，中位数可能不变
D.平均数可能不变，中位数可能变小
3.设随机变量ξ服从正态分布()
21N σ，，则函数()2
=2f x x x ξ++不存在零点的概率为
A.
1
2
B.
23
C.
34
D.
45
4．数列{a n }{中，已知a 1=1，a 2=2，a n+1=a n +a n+2（n ∈N +），则a 7=（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1
D ．2
5．已知函数f （x ）=sin （2x+），则要得到函数f （x ）的图象只需将函数g （x ）=sin2x
的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移
个单位长度 D ．向右平移
个单位长度
6.已知点12F F ，为双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右
支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o
，则双曲线的离心率为
A.
31
2
+ B.
51
2
+ C. 3
D. 5
7.如图所示的程序框图，输出S 的值为
A. 99223
-
B. 100223-
C. 101223-
D. 102223
-
8.已知,x y R ∈，且满足34,2y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则
2z x y =+的最大值为
A.10
B.8
C.6
D.3
9.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为
A.1：2
B.1：8
C.1：6
D.1：3
10.已知抛物线2
4x y =，直线y k =（k 为常数）与抛物线交于A,B 两个不同点，若在抛物
线上存在一点P(不与A,B 重合)，满足0PA PB ⋅=uu r uu r
，则实数k 的取值范围为
A. 2k ≥
B. 4k ≥
C. 02k <≤
D. 04k <≤
11．某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（ ）
A．B．5πC．7πD．
12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x）=k（2＜k≤3）的根的个
数不可能为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）
13．已知A=，B={x|log2（x﹣2）＜1}，则∁U A∩B=．14．将按由大到小的顺序排列为．15．原点O在直线l上的射影为点H（﹣2，1），则直线l的方程为．
16．A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中平面ABC，AD=2，，则该球的表面积为．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．甲箱子里装有3个白球m个黑球，乙箱子里装有m个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖
（1）当获奖概率最大时，求m的值；
（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则ξ=0，求ξ的分布列和Eξ．
18．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：
性别与看营养说明列联表单位：名
男女总计
看营养说明50 30 80
不看营养说明10 20 30
总计60 50 110
（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为10的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？
（2）根据以上列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系？
下面的临界值表供参考：
p（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005] 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD 所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；
（Ⅱ）求f（x）的极值．
21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．
理科数学答案
BCACC,ACCDD BC
13. a∈． 14，略 15.略 16 略
17. 【解答】解：（1）∵甲箱子里装有3个白球m个黑球，乙箱子里装有m个白球，2个黑球，
在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖，
∴获奖概率或3时，．（4分）
（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1﹣）4=，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=×=，
P（ξ=4）==，
∴ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4 0
P
．（12分）
18. 【解答】解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有名，样本中不看营养说明的女生有名；
（2）假设H0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K2应该很小．
根据题中的列联表得
由P（K2≥6.635）=0.010可知
在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否看营养说明之间有关系．
19.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
20、解：（1）函数f（x）=x﹣1+的导数f′（x）=1﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，
∴a=e；
（2）导数f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，e x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；
e x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna﹣1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．
21.解：（1）设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H
由得，
即（1）
而点B（2+r，y0）在椭圆上，（2）由（1）、（2）式得15r2+8r﹣12=0，
解得或（舍去）
（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx（3）
则，即32k2+36k+5=0（4）
解得
将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，
则异于零的解为
设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），
则
则直线FE的斜率为：
于是直线FE的方程为：
即
则圆心（2，0）到直线FE的距离
故结论成立．。